1.6. Siły bezwładności (temat nadobowiązkowy)

Każdy z nas odczuł działanie sił bezwładności, na przykład znajdując się w tramwaju ruszającym z przystanku lub gwałtownie hamującym. Stojąc w tramwaju gwałtownie przyśpieszającym, musimy trzymać się mocno poręczy, gdyż siła bezwładności ciągnie nas do tyłu. Gdy tramwaj gwałtownie hamuje, siła bezwładności działa do przodu.

Podobne działanie sił bezwładności zauważamy również wtedy, gdy znajdujemy się w innych pojazdach poruszających się z przyśpieszeniem. W każdym układzie odniesienia poruszającym się z przyśpieszeniem występują siły bezwładności. Układ, który porusza się z przyśpieszeniem (np. zmieniające swą prędkość tramwaj, samochód, samolot czy winda), nazywa się układem nieinercjalnym. Natomiast układ poruszający się bez przyśpieszenia (np. poruszające się ruchem jednostajnym tramwaj, łódź, samochód, samolot czy winda), nazywa się układem inercjalnym.

Należy tu doprecyzować, że słowa „porusza się z przyspieszeniem” czy „porusza się ruchem jednostajnym” oznaczają – domyślnie – ruch względem wcześniej ustalonego inercjalnego układu odniesienia. Istnienie inercjalnych układów odniesienia jest postulowane w pierwszej zasadzie dynamiki Newtona. Postulat ten jest przedstawiony i omówiony jako zasada bezwładności w rozdziale 2.1. Pierwsza zasada dynamiki Newtona tomu II e-podręcznika.

Dla potrzeb praktycznych przyjmuje się często – w przybliżeniu – że inercjalnym układem odniesienia jest powierzchnia Ziemi.

W celu prześledzenia działania sił bezwładności rozważmy przypadek, gdy na ruchomej platformie znajduje się wózek mogący poruszać się prawie bez tarcia (il. 1.52). Gdy platforma porusza się w prawo ze stałym przyśpieszeniem, to wózek względem platformy porusza się w lewo z przyśpieszeniem o takiej samej wartości, ale skierowanym przeciwnie.

Opiszemy ruch wózka z punktu widzenia dwóch różnych obserwatorów: jednego – „nieruchomego”, znajdującego się na ziemi w układzie inercjalnym, oraz drugiego – „ruchomego”, znajdującego się na platformie, czyli w układzie nieinercjalnym. Poniżej podajemy, jak obaj obserwatorzy interpretują ten sam fakt doświadczalny: ruch wózka względem platformy.

Ilustracja 1.52. **Ruch wózka względem platformy**

a) dla obserwatora „nieruchomego” wózek jest w spoczynku; na wózek nie działa żadna siła (platforma wysuwa się z pod niego), b) dla obserwatora „ruchomego” wózek o masie $m$ ma przyśpieszenie $\vec{a}_{b}=-\vec{a}$ ; na wózek działa siła bezwładności $\vec{F}_{b}$

Obaj zgodnie stwierdzą, że siła ciężkości działająca na wózek „w dół” jest równoważona przez siłę reakcji podłoża (czyli platformy), która jest skierowana „do góry”. Sił tych nie umieszczamy więc na il. 1.52.

Układ nieinercjalny (obserwator „ruchomy”)

Na wózek nie działają żadne siły, które by pochodziły od innych ciał, a mimo to wózek ma przyśpieszenie względem platformy, które wynosi: $\vec{a}_{b}=-\vec{a}$ . Uzasadniamy ten fakt następująco: siła bezwładności $\vec{F}_{b}$ nadaje wózkowi przyśpieszenie zgodnie z druga zasadą dynamiki:

\vec{F}_{b}=-m\vec{a}_{b}

( 1.17 )

Znak „-” w tym wzorze oznacza, że siła bezwładności ma zwrot przeciwny do ogólnego przyspieszenia układu.

Układ inercjalny (obserwator „nieruchomy”)

Na wózek nie działają żadne siły i wózek pozostaje w spoczynku względem ziemi, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona. Platforma zaś porusza się z przyśpieszeniem $\vec{a}$

Mamy tu zdecydowanie odmienne opisy tego samego zjawiska w dwóch różnych układach odniesienia. W układzie inercjalnym siła bezwładności nie występuje, obserwator „nieruchomy” w ogóle nie zauważy jej występowania, chyba że się porozumie ze swoim „ruchomym” kolegą. Natomiast kolega, będący w układzie nieinercjalnym, odczuwa działanie siły bezwładności. Określi ją jednak mianem siły pozornej (fikcyjnej), gdyż nie będzie mógł wskazać żadnego obiektu, który tę siłę wywiera. Zasadniczą cechą sił bezwładności jest to, iż nie spełniają one III zasady dynamiki Newtona. Mimo to, siłę bezwładności można zmierzyć. Innym argumentem potwierdzającym, że pozorny charakter sił bezwładności jest to, że siły te nie istnieją w układzie inercjalnym.

Jeżeli obserwator zaczepi sprężynę znajdującą się na końcu wózka do podpórki na platformie (il. 1.53), to sprężyna zostanie napięta, wydłuży się, a wózek będzie w spoczynku względem platformy. Wydłużenie tej sprężyny jest miarą siły bezwładności w układzie nieinercjalnym. Jednakże obserwator „nieruchomy” zinterpretuje wydłużenie sprężyny inaczej: to platforma, poruszając się ruchem zmiennym, działa na wózek siłą napinającą sprężynę, a wydłużenie sprężyny jest miarą oddziaływania platformy na wózek zgodnie z zasadami dynamiki i właściwościami sił sprężystych.

Ilustracja 1.53. **Naciągnięta sprężyna jest miarą siły bezwładności w układzie nieinercjalnym platformy**

Dla obserwatora zewnętrznego w układzie inercjalnym jest to siła, z jaką platforma działa na wózek

Siła bezwładności

\vec{F}_{b}=-m\vec{a}_{b}

jest to siła pozorna działająca na ciało będące w układzie nieinercjalnym, spowodowana przyśpieszeniem układu.

Przy rozwiązywaniu różnych problemów fizycznych warto korzystać z sił bezwładności w układach nieinercjalnych, ponieważ to często ułatwia osiągnięcie celu.

Poniższe przykłady oraz doświadczenie pozwolą ci bliżej zapoznać się z siłami bezwładności.

Ilustracja 1.54. **Wskazania wagi w windzie informują nas o sile bezwładności**

Pomiaru siły bezwładności możesz dokonać samodzielnie, stając na wadze łazienkowej w windzie (il. 1.54). Wskazania wagi, gdy winda porusza się z przyspieszeniem, dają możliwość pomiaru siły bezwładności działającej na twoje ciało. Gdy winda jest w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym, waga wskazuje twój ciężar. Gdy przyspieszenie windy jest zwrócone w górę, wartość wskazywana przez wagę jest większa od twojego ciężaru o wartość siły bezwładności. Natomiast gdy przyspieszenie windy jest zwrócone w dół, waga wskazuje wartość mniejszą od twojego ciężaru o wartość siły bezwładności.

Opisz sytuacje, w których przyspieszenie windy jest zwrócone do góry. W jakich sytuacjach przyspieszenie windy jest zwrócone w dół? Pamiętaj przy tym, że jeśli kierunek wektora przyspieszenia jest taki sam jak kierunek wektora prędkości, to ciało przyspiesza (wartość prędkości rośnie). Jeśli wektor przyspieszenia skierowany jest przeciwnie do wektora prędkości, ciało zwalnia (wartość prędkości maleje).

Przykład: Winda

W windzie u sufitu zawieszono na sprężynie klocek o ciężarze $P$ . Określ siłę działającą na sprężynę w następujących przypadkach ruchu windy:

a) w górę z przyśpieszeniem zwróconym w górę,

b) w górę bez przyśpieszenia,

c) w górę z przyśpieszeniem zwróconym w dół,

d) w dół z przyśpieszeniem zwróconym w dół,

e) w dół bez przyśpieszenia,

f) w dół z przyśpieszeniem zwróconym w górę.

Rozwiązanie: Na rysunku (il. 1.55) przedstawiono działanie sił bezwładności w każdym z wymienionych przypadków, a także w siódmym, dość specyficznym, którym zajmiemy się na końcu. Siła bezwładności $\vec{F}_{b}$ działa zawsze przeciwnie do przyśpieszenia windy, niezależnie od tego, czy winda jedzie w górę, czy w dół.

Siła bezwładności w przypadku a), gdy winda jedzie w górę z przyśpieszeniem zwróconym ku górze, jest zwrócona w dół; tak samo jak w przypadku f), gdy winda jedzie w dół i hamuje, czyli gdy przyśpieszenie windy jest zwrócone ku górze. W obu tych przypadkach siła bezwładności dodaje się do ciężaru $\vec{P}$ . W przypadku c), gdy winda jedzie w górę i hamuje, czyli jej przyśpieszenie jest zwrócone ku dołowi, siła bezwładności zwrócona jest ku górze; tak samo jak w przypadku d), gdy winda jedzie w dół i przyśpiesza. W obu ostatnich przypadkach siła bezwładności odejmuje się od ciężaru $\vec{P}$ .

W przypadkach b) i e) nie występuje żadna siła bezwładności, ponieważ winda nie ma przyśpieszenia. To oznacza, że jest ona układem inercjalnym (niezależnie od tego, czy winda jedzie w górę, czy w dół).

Ilustracja 1.55. **Winda**

Na rysunkach a), c), d) i f) zwrot siły bezwładności jest zawsze przeciwny do przyśpieszenia windy, niezależnie od tego, czy winda jedzie w górę, czy w dół; na rysunkach b) i e) winda jedzie bez przyśpieszenia, więc siła bezwładności nie występuje; w przypadku g) w swobodnie spadającej windzie panuje „stan nieważkości”

Rozważmy jeszcze jeden przypadek (il. 1.55g) – gdy winda spada swobodnie. Przyśpieszenie spadającej windy jest równe przyśpieszeniu ziemskiemu $(a=g)$ , więc siła bezwładności $\vec{F}_{b}=-m\vec{g}$ . Oznacza to, że $\vec{F}_{b}$ ma tę samą wartość co ciężar, ale przeciwny zwrot. Klocek nie rozciągnie więc sprężyny. Mamy tu do czynienia ze stanem nieważkości. W podobnych warunkach ćwiczyli pierwsi kosmonauci, zanim wystartowali na orbitę ziemską. Ćwiczenia wykonywano na dużych wysokościach nad Ziemią w pikującym samolocie, który wspomagany siłą ciągu silników (by przezwyciężyć opór powietrza) poruszał się z przyśpieszeniem równym przyśpieszeniu ziemskiemu. Dzięki siłom bezwładności adepci kosmonautyki mogli przez krótki czas odczuwać stan nieważkości. W podobnej sytuacji znajduje się przez moment ktoś, kto jest na huśtawce. W bardzo krótkim czasie, gdy huśtawka, zawracając, opada, człowiek odczuwa stan niedociążania, a nawet stan nieważkości przy wychyleniu huśtawki o 90 stopni.

Przykład: Rakieta

Wyobraźmy sobie rakietę, która opuściła Układ Słoneczny i porusza się, z wyłączonymi silnikami, „ruchem bezwładnym” (jednostajnym prostoliniowym). Jeśli przyjmiemy, że siła grawitacji działająca na rakietę i kosmonautów jest znikoma, gdyż nie ma w pobliżu żadnych ciał kosmicznych, to kosmonauci odczuwają stan nieważkości. Taka sytuacja, jeżeli trwa przez dłuższy czas, jest niekorzystna dla zdrowia. Aby stworzyć kosmonautom komfortowe warunki, można wywołać „sztuczną grawitację”. W jaki sposób?

Rozwiązanie: Należy włączyć silniki wywołujące przyśpieszenie rakiety $a_{r}$ . Kosmonauci będą wtedy w układzie nieinercjalnym. Na wszystkie ciała w rakiecie będzie działać siła bezwładności (il. 1.56).

Ilustracja 1.56. **Rakieta**

a) kosmonauci znajdujący się w rakiecie, która leci w przestrzeni poza zasięgiem sił grawitacji z wyłączonymi silnikami, znajdują się w układzie inercjalnym – odczuwają nieważkość, b) podczas pracy silników rakieta uzyskuje przyśpieszenie i staje się układem nieinercjalnym, kosmonauci odczuwają siły bezwładności – powstaje „sztuczna grawitacja”

Jeżeli siłę napędową silników rakiety dostosuje się tak, aby nadawała rakiecie przyśpieszenie o wartości równej przyśpieszeniu ziemskiemu $a=g$ , to każdy kosmonauta odczuje siłę bezwładności, której zwrot będzie przeciwny do zwrotu przyśpieszenia rakiety i która będzie taka sama, jak siła ciężkości na Ziemi:

F_{b}=ma=mg

Siła odśrodkowa

Wyobraźmy sobie, że kręcimy się na karuzeli w wesołym miasteczku. Czujemy siłę wciskającą nas w krzesełko. Nic dziwnego – znajdujemy się bowiem w układzie nieinercjalnym, krzesełko porusza się z przyspieszeniem dośrodkowym. Działa na nas siła bezwładności, zwana siłą odśrodkową. Siła odśrodkowa działa wzdłuż promienia okręgu, po którym porusza się ciało, a skierowana jest na zewnątrz. Można wykazać, że wartość siły odśrodkowej dana jest wzorem $F_{o}=\frac{mv^{2}}{r}$ .

Siłę odśrodkową dobrze znają kierowcy. Wiedzą, że jeśli nie zwolnią na zakręcie, siła odśrodkowa wyrzuci samochód z drogi. Jest to określenie popularne – precyzyjne wyjaśnienie tego zjawiska wymaga dużo bardziej rozbudowanego rozumowania (należałoby sobie wyobrazić na przykład platformę tira, na której stoi samochód: gdy tir wchodzi w zakręt ze zbyt dużą prędkością, samochód może się zsunąć z platformy na zewnątrz zakrętu pod wpływem siły odśrodkowej – siły bezwładności).

Ilustracja 1.57. **Stacja orbitalna (fot. ESA)**

Kosmonauci w stacji orbitalnej znajdują się w stanie nieważkości. Stan ten wynika z kompensowania się siły przyciągania Ziemi z odśrodkową siłą bezwładności występującą na orbicie

Wartość siły odśrodkowej silnie zależy od prędkości, z jaką obraca się nieinercjalny układ odniesienia (we wzorze mamy prędkość do kwadratu). Dwukrotne zwiększenie prędkości zwiększa aż czterokrotnie siłę odśrodkową.

Naturę siły odśrodkowej można wyjaśnić następująco: Człowiek stojący na obracającej się tarczy trzyma na nitce kulkę. W pewnym momencie nitka pęka. Jak ruch kulki wygląda dla obserwatora w układzie inercjalnym (nieruchomym) i dla obserwatora w układzie nieinercjalnym (obracającej się tarczy)? Obserwator w układzie nieruchomym stwierdza początkowo istnienie siły dośrodkowej – realnej siły oddziaływania nitki na kulkę. Gdy nitka ulega przerwaniu, siła dośrodkowa znika i kulka porusza się dalej po linii prostej, stycznej do okręgu. Natomiast obserwator stojący na tarczy widzi, że na kulkę działa siła odśrodkowa, która po przerwaniu nitki wyrzuca kulkę na zewnątrz wzdłuż promienia.

Siła odśrodkowa – siła bezwładności występująca w układach poruszających się po okręgu. Jest skierowana od środka okręgu i dana wzorem

F_{o}=\frac{mv^{2}}{r}

Rozważmy sytuację kosmonautów na stacji kosmicznej poruszającej się po kołowej orbicie okołoziemskiej. W układzie nieinercjalnym (stacja kosmiczna) na pasażerów działa siła przyciągania Ziemi $\vec{F}_{G}$ i równa jej siła odśrodkowa $\vec{F}_{od\acute{s}}$ . W rezultacie kosmonauci nie odczuwają działania żadnej siły – są w stanie nieważkości. Dla obserwatora w układzie inercjalnym, który patrzy na to z zewnątrz, kosmonauci poruszają się z takim samym przyspieszeniem dośrodkowym jak stacja. W jego układzie na kosmonautów działa tylko rzeczywista siła grawitacji. Zwróćmy uwagę, że sytuacja jest podobna do przypadku windy spadającej swobodnie. Ogólnie możemy powiedzieć, że stan nieważkości występuje w układach poruszających się swobodnie w polu grawitacyjnym.

Ilustracja 1.58. **Stacja kosmiczna na orbicie okołoziemskiej**

Przykład: Opis ruchu kulki

Kulka o masie $m=100\, g$ zawieszona na nitce o długości $l=60\, cm$ porusza się jednostajnie, zakreślając w płaszczyźnie poziomej okrąg (kąt nachylenia nitki do pionu wynosi $\alpha=30^{\circ}$ ).

a) Narysuj wszystkie siły działające na kulkę w układzie inercjalnym – nieruchomym. Określ kierunek i zwrot siły wypadkowej. Ustal, czy siła wypadkowa spełnia rolę siły dośrodkowej.

b) Narysuj rozkład sił w układzie nieinercjalnym – związanym z wirującą podstawą, tak aby uwidocznić siłę odśrodkową.

Ilustracja 1.59. **Kulka zawieszona na nitce porusza się jednostajnie, opisując w płaszczyźnie poziomej okrąg**

Rozwiązanie:

Ad a) Na il. 1.60 przedstawiono siły działające na kulkę w układzie inercjalnym. Na kulkę działa siła ciężkości $\vec{P}=m\vec{g}$ oraz siła naciągu nici $\vec{F}_{N}$ . Skoro wiemy, z treści zadania, że pod wpływem tych sił kulka porusza się po okręgu w płaszczyźnie poziomej, to wnioskujemy, że wypadkowa tych sił musi mieć kierunek poziomy i być skierowana do środka zataczanego okręgu.

Uwaga! Jeśli rysujemy siły działające na kulkę, to punkty przyczepienia tych sił muszą leżeć w środku kulki, zgodnie z il. 1.60

Ilustracja 1.60. **Siły działające na kulkę w układzie związanym z Ziemią**

Ad b) Na il. 1.61 przedstawiono rozkład siły ciężkości $\vec{P}=m\vec{g}$ działającej na kulkę w układzie nieinercjalnym związanym z kulką. Kulka doznaje przyśpieszenia dośrodkowego $\vec{a}_{r}$ wzdłuż promienia $r$ . Zatem kulka znajduje się w układzie nieinercjalnym (doznaje przyśpieszenia), czyli na kulkę działa siła bezwładności $\vec{F}_{o}$ przeciwnie skierowana do przyśpieszenia dośrodkowego $\vec{a}_{r}$ :

\vec{F}_{o}=m\vec{a}_{r}

Nazywamy ją siłą odśrodkową. Siła odśrodkowa działa na kulkę w poziomie wzdłuż promienia zataczanego przez nią okręgu (il. 1.61). Można powiedzieć, że siła odśrodkowa odchyla nić o kąt $\alpha$ od pionu. Na kulkę działa też siła ciężkości $\vec{P}$ i siła naciągu nici $\vec{F}_{N}$ .

Ilustracja 1.61. **Siły działające na kulkę w układzie nieinercjalnym związanym z kulką**

Ad c) Na il. 1.62 przedstawiono kulkę w dwóch przeciwnych położeniach. Wtedy nić tworzy trójkąt równoramienny, ale ponieważ w naszym przypadku $\alpha=30^{\circ}$ , więc kąt wierzchołkowy wynosi $60^{\circ}$ i pozostałe dwa u podstawy też wynoszą po $60^{\circ}$ . Zatem jest to trójkąt równoboczny. Z tego wynika, że jego podstawa równa $2r$ wynosi $l=60\, cm$ , więc $r=30\, cm$ .

Ilustracja 1.62. Nić tworzy trójkąt równoboczny w dwóch przeciwnych położeniach kulki

Na il. 1.63 pokazano, że trójkąt utworzony przez $l$ – nić i $r$ – promień jest podobny do trójkąta utworzonego przez siłę $\vec{F}_{N}$ i $\vec{F}_{r}$ . Zatem skoro $r/l=1/2$ , to i $F_{r}/F_{N}=1/2$ , lub

F_{N}=2F_{r}

( 1.18 )

Z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

F_{N}^{2}=P^{2}+F_{r}^{2}

( 1.19 )

Po wstawieniu (1.18) do (1.19), otrzymamy:

4F_{r}^{2}=P^{2}+F_{r}^{2}

Stąd: $4F_{r}^{2}-F_{r}^{2}=P^{2}$ , czyli $3F_{r}^{2}=P^{2}$ . Ostatecznie:

F_{r}=\frac{P}{\sqrt{3}}

( 1.20 )

Skoro $P=mg=0,1\, kg\cdot9,81\, m/s^{2}=0,981\, kg\, m/s^{2}=0,981\, N$ , to (1.20) obliczymy wartość siły dośrodkowej: $F_{r}=0,566\, N$ .

Siła odśrodkowa jest równa co do wartości sile dośrodkowej, zatem $F_{o}=0,566\, N$ .

Ilustracja 1.63. Zaznaczone kolorem trójkąty są trójkątami podobnymi

Ad d) Obliczymy teraz prędkość $v$ kulki.

Ponieważ $F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}$ oraz $r=l/2$ , więc:

v=\sqrt{\frac{F_{r}r}{m}}=\sqrt{\frac{0,566\cdot0,3}{0,1}}\,\frac{m}{s}=1,3\,\frac{m}{s}

Prędkość kulki wynosi:

v=1,3\,\frac{m}{s}

Pytania i problemy

Wyjaśnij, co to jest układ inercjalny i układ nieinercjalny. Podaj po trzy przykłady takich układów.
Rozważ, w jaki sposób, będąc w zamkniętym pomieszczeniu (na przykład, w kabinie statku), można stwierdzić, czy jest to układ inercjalny.
Podaj wzór na siłę bezwładności działającą na ciało o masie $m$ w układzie poruszającym się z przyśpieszeniem $a$ . Określ, jaki jest kierunek tej siły.
Czy siły bezwładności występują w układach inercjalnych? Odpowiedź uzasadnij.
W windzie poruszającej się ruchem jednostajnym w dół z prędkością $v=1,3\,\frac{m}{s}$ stoi na wadze sprężynowej człowiek o masie 65 kg. Ustal, jaki ciężar wskazuje waga.
Wyjaśnij, w jaki sposób można wywołać „sztuczną grawitację”.
Rozważ, w jakim celu na zakręcie tory kolejowe są pochylone w ten sposób, że zewnętrzna szyna łuku jest ułożona wyżej od wewnętrznej.
Wskazówka: Rozważ wszystkie siły działające na pociąg pokonujący zakręt.
Podaj kierunek i zwrot siły odśrodkowej. Podaj przykłady sytuacji, w których odczuwasz siłę odśrodkową.
Wyjaśnij, dlaczego kosmonauci w statku kosmicznym na orbicie okołoziemskiej są w stanie nieważkości.
Promień Ziemi wynosi 6 340 km, doba 24 h. Wyjaśnij, jak ruch wirowy Ziemi wpływa na ciężar ciał znajdujących się na jej powierzchni.
1. Oblicz, ile wynosi siła odśrodkowa działająca na ciało o masie $m=60\, kg$ znajdujące się na równiku.
2. Oblicz, ile razy szybciej niż w rzeczywistości musiałaby obracać się Ziemia, aby ciała na równiku nic nie ważyły.