1.7. Prędkości kosmiczne i sztuczne satelity

Prawo grawitacji pozwala obliczyć prędkość, jaką należy nadać ciału, aby mogło okrążać Ziemię jako sztuczny satelita. Pierwszym człowiekiem, który zauważył taką możliwość, był nie kto inny, ale sam Izaak Newton! Przeprowadził on następujące rozumowanie:

Niech stojące na wysokiej górze działo „strzela” w kierunku poziomym pociskami z coraz większymi prędkościami. Wtedy zasięg pocisków będzie się stawał coraz większy. Jeśli pominęlibyśmy opory ruchu, to przy pewnej prędkości pocisk w ogóle nie upadłby na Ziemię, ale zacząłby ją okrążać jak na il. 1.64. W ten sposób pocisk stałby się sztucznym satelitą Ziemi.

Ilustracja 1.64. **Przy dostatecznie dużej prędkości zasięg rzutu poziomego pocisku staje się tak duży, że pocisk okrąży Ziemię, stając się jej sztucznym satelitą**

Współczesne rakiety startują z powierzchni Ziemi, wylatują poza obszar atmosfery otaczającej Ziemię i tam, na wysokości ponad 160 km, umieszczają satelity. Chodzi o to, aby opór powietrza nie zmniejszał prędkości satelity, co nieuchronnie spowodowałoby jego upadek. Rakieta nie od razu nabywa odpowiedniej prędkości, lecz rozpędza się na określonej drodze, pokonując zarówno przyciąganie ziemskie, jak i opór powietrza. Opis ruchu rakiety w takim przypadku jest skomplikowany.

My uprościmy sobie zadanie i obliczymy prędkość, jaką należy nadać ciału, aby mogło krążyć po orbicie kołowej nad Ziemią, z pominięciem oporu powietrza. Przyjmijmy, że promień orbity – mierzony względem środka Ziemi – wynosi $r,$ zaś promień Ziemi – $R .$ Prędkość satelity na orbicie oznaczmy przez $v_{orb}$ . Wiemy już, że aby ciało mogło poruszać się po orbicie kołowej, musi na nie działać siła dośrodkowa. Rolę siły dośrodkowej spełnia siła grawitacji, możemy zatem porównać wyrażenia na obie te siły:

\frac{mv_{orb}^{2}}{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}

( 1.21 )

gdzie : $M$ – masa Ziemi, $m$ – masa satelity, $G$ – stała grawitacji.

Po uproszczeniu przez $r$ otrzymujemy:

mv_{orb}^{2}=G\frac{Mm}{r}

( 1.22 )

Po przekształceniu tej zależności otrzymujemy wzór na wartość prędkości satelity na orbicie kołowej:

v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

( 1.23 )

Jeżeli satelita ma orbitę bliską Ziemi, to promień orbity $r$ bardzo mało różni się od promienia Ziemi $R$ . Wtedy we wzorze (1.23) możemy podstawić $R=r$ i otrzymamy wzór na tak zwaną pierwszą prędkość kosmiczną:

v_{1}=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}

( 1.24 )

Wykorzystaliśmy tu wzór (1.15) dla ciał w pobliżu Ziemi, z którego wynika, że: $g=\frac{GM}{R^{2}}$ . Ostatecznie więc:

v_{1}=\sqrt{gR}=\sqrt{9,81\,\frac{m}{s^{2}}\cdot6,37\cdot10^{6}\, m}=7,92\cdot10^{3}\,\frac{m}{s}\approx8\,\frac{km}{s}

Pierwsza prędkość kosmiczna wynosi około 8 km/s, czyli jest prawie o rząd wielkości większa od typowej prędkości kuli karabinowej.

Pierwsza prędkość kosmiczna – prędkość, jaką należy nadać ciału, aby mogło okrążać Ziemię w pobliżu jej powierzchni, z pominięciem oporu powietrza. Wynosi ona:

v_{1}=\sqrt{gR}=8\,\frac{km}{s}

Jeśli oczekujemy, że ciało ucieknie poza zasięg oddziaływania grawitacyjnego Ziemi, to musimy nadać mu jeszcze większą prędkość.

Nazywamy ją drugą prędkością kosmiczną $v_{2}$ lub prędkością ucieczki. Można wykazać, że druga prędkość kosmiczna jest większa od $v_{1}$ – pierwszej prędkości kosmicznej, o czynnik pierwiastek z dwóch, czyli $v_{2}=\sqrt{2}v_{1}$ .

Oto wzór na prędkość ucieczki $v_{2}$ z zasięgu oddziaływania grawitacyjnego kulistego ciała kosmicznego o masie $M$ i promieniu $R$ :

v_{2}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}

( 1.25 )

Druga prędkość kosmiczna – prędkość, jaką należy nadać ciału, aby mogło opuścić zasięg oddziaływania grawitacyjnego Ziemi:

v_{2}=\sqrt{2gR}=11,2\,\frac{km}{s}

Od czego zależy okres obiegu satelity?

Prędkość satelity $v_{s}$ , krążącego po kołowej orbicie o promieniu $r$ , zgodnie ze wzorem (1.3), jest równa:

v_{s}=\frac{2\pi r}{T}

( 1.26 )

Na satelitę działa siła dośrodkowa (1.8) równa sile grawitacji (1.14), zatem:

\frac{mv_{s}^{2}}{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}

Po uproszczeniu przez $r$ i $m$ otrzymujemy:

v_{s}^{2}=G\frac{M}{r}

Po wstawieniu wzoru (1.26), otrzymamy:

\frac{4\pi^{2}r^{2}}{T^{2}}=G\frac{M}{r}

Po przekształceniach mamy:

r^{3}=\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}

( 1.27 )

Prawa strona równania (1.27) jest stała, więc sześcian promienia orbity $r^{3}$ oraz kwadrat okresu obiegu satelity $T^{2}$ to wielkości wprost proporcjonalne. Korzystając z tego wzoru, można wyznaczyć okres ruchu satelity w zależności od promienia orbity:

T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\cdot r^{3}

( 1.28 )

Im większy promień orbity, tym dłuższy okres ruchu satelity.

Zależność ta dotyczy nie tylko satelitów krążących wokół Ziemi, ale również planet okrążających Słońce (oczywiście w tym przypadku $M$ oznacza masę Słońca). Proporcjonalność sześcianu promienia orbity planety $r^{3}$ oraz kwadratu okresu ruchu planety $T^{2}$ odkrył w pierwszej połowie XVII wieku Kepler. Zależność ta znana jest jako trzecie prawo Keplera.

Skoro okres obiegu satelity zwiększa się wraz z promieniem orbity, można znaleźć orbitę, dla której okres ruchu będzie równy okresowi ruchu wirowego Ziemi. Satelita poruszający się w płaszczyźnie równika po takiej orbicie będzie znajdował się zawsze nad tym samym punktem Ziemi. Takiego satelitę nazywamy satelitą geostacjonarnym.

Przykład: Satelita telekomunikacyjny

Telekomunikacyjny satelita stacjonarny znajduje się stale nad jednym punktem równika Ziemi. Na jakiej wysokości $h$ znajduje się satelita? Z jaką prędkością okrąża Ziemię? Promień Ziemi wynosi $R=6\,370\, km$ . Czas trwania doby $T=23\, h\,56\, min\,4\, s=86\,164\, s$ .

Ilustracja 1.65. W punkcie Z na równiku – na powierzchni Ziemi – znajduje się obserwator, nad nim na wysokości $h$ w punkcie $S$ znajduje się satelita geostacjonarny

Satelita w swoim ruchu orbitalnym może utrzymywać się stale nad punktem $Z$ tylko wtedy, gdy podczas obrotu Ziemi, w określonym czasie, promień $O Z$ $(R)$ obróci się o ten sam kąt $\alpha$ co promień $O S$ $(R+h$

Rozwiązanie: Oznaczmy przez $r$ promień orbity satelity. Oczywiście:

r=R+h

( 1.29 )

Promień satelity wyznaczamy ze wzoru (1.27):

r^{3}=\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}

( 1.30 )

Możemy tu wykorzystać zależność (1.15), którą zastosowaliśmy przy „ważeniu Ziemi”:

mg=G\frac{mM}{R^{2}}

Stąd:

gR^{2}=GM

Po wstawieniu tego wzoru do (1.30) otrzymamy:

r=\sqrt[3]{\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}

( 1.31 )

Po podstawieniu danych $T=86\,164\, s$ , $R=6,37\cdot10^{6}\, m$ , $g=9,81\, m/s^{2}$ otrzymujemy promień orbity satelity geostacjonarnego:

r=42\,159\, km

Zgodnie z (1.29) wysokość satelity nad powierzchnią Ziemi:

h=r-R=35\,789\, km

Znając wartość $r$ , możemy łatwo ze wzoru (1.26) obliczyć prędkość satelity na orbicie geostacjonarnej:

v_{s}=\frac{2\cdot3,14\cdot42\,159}{86\,164}\frac{km}{s}=3,073\,\frac{km}{s}=11\,062\,\frac{km}{h}

Jak widać, jest to prędkość bardzo duża w skali typowych zjawisk zachodzących na Ziemi.

Warto się jeszcze zastanowić, z jaką prędkością porusza się punkt $Z$ , a więc i wszystkie przedmioty spoczywające na równiku Ziemi:

v_{z}=\frac{2\pi R}{T}

czyli

v_{z}=\frac{2\cdot3,14\cdot6\,370}{24}\frac{km}{h}=464,3\,\frac{m}{s}=1\,671\,\frac{km}{h}

Uzyskana prędkość również jest duża (odpowiadająca prędkości szybkich samolotów odrzutowych), ale jest ona kilkakrotnie mniejsza od prędkości satelity geostacjonarnego.

Satelita geostacjonarny znajduje się jakby na szczycie niezwykle wysokiej niewidzialnej wieży, obejmując swym zasięgiem około 1/3 powierzchni Ziemi. Współczesna technika satelitarna daje możliwości, które inżynierom lądowym nawet się nie śniły. Należy sobie wyobrazić, jakie ilości materiałów konieczne byłyby do zbudowania wieży o takiej wysokości oraz jak szeroka u podstawy musiałaby być ta wieża (porównaj np. z wieżą Eiffla; byłaby ona wyższa od wieży Eiffla około 120 tysięcy razy). Oczywiste jest, że przedsięwzięcie takie byłoby niemożliwe do zrealizowania.

Pytania i problemy

Wyjaśnij, dlaczego satelity są umieszczane na wysokościach ponad 160 km nad powierzchnią Ziemi.
Podaj definicję pierwszej prędkości kosmicznej. Oblicz, ile razy ta prędkość jest większa od maksymalnej prędkości jazdy dozwolonej na autostradzie (140 km/h).
Podaj definicję drugiej prędkości kosmicznej. Policz, ile razy ta prędkość jest większa od pierwszej prędkości kosmicznej.
W przykładzie Satelita telekomunikacyjny obliczaliśmy wysokość, na której krąży satelita stacjonarny: $h=35\,789\, km$ . Czy może on znajdować się wyżej lub niżej od tego poziomu, będąc nadal satelitą geostacjonarnym? Odpowiedź uzasadnij.
Rozważ, dlaczego telewizyjne satelity stacjonarne krążą nad równikiem. Zastanów się, czy można byłoby umieścić satelitę geostacjonarnego tak, aby jego orbita znajdowała się cały czas nad równoleżnikiem, np. przebiegającym przez Warszawę. Wskazówka: Gdzie znajduje się środek orbity satelity?
Zastanów się i powiedz, dlaczego satelitarne anteny telewizyjne w Polsce są nachylone w stosunku do poziomu. Zaproponuj najkorzystniejsze ukierunkowanie satelitarnej anteny telewizyjnej na równiku.
Kosmonauci, zanim wylądowali na Księżycu, okrążali go na niewielkiej wysokości nad jego powierzchnią. Pojazd kosmonautów stał się wtedy sztucznym satelitą Księżyca. Poruszał się z pierwszą prędkością kosmiczną dla Księżyca. Oblicz, ile wynosi pierwsza prędkość kosmiczna dla sztucznego satelity Księżyca. Wykorzystaj dane: promień Księżyca $R_{K}=1\,737\, km$ , przyspieszenie grawitacyjne na Księżycu $g_{K}=1,62\, m/s^{2}$ .
W przyszłości Księżyc być może będzie stacją przesiadkową dla pojazdów kosmicznych, kierujących się na inne planety. Oblicz, ile wynosi prędkość ucieczki z Księżyca, czyli druga prędkość kosmiczna dla Księżyca. Wykorzystaj dane z poprzedniego zadania.