Jeżeli ciało w ruchu po okręgu przebywa jednakowe odcinki łuków w jednakowych odstępach czasu, to mówimy, że mamy do czynienia z ruchem jednostajnym po okręgu. Przykładami takiego ruchu mogą być: ruch wentyla na wirującym kole roweru, ruch na karuzeli, ruch jakiegoś punktu na kuli ziemskiej, ruch satelity okrążającego Ziemię itd.

Z podstawami opisu ruchu jednostajnego po okręgu zapoznaliście się w pierwszej klasie. Przypomnimy teraz poznane przy tej okazji wielkości fizyczne; poszerzymy także opis o nowe elementy. Jedną z poznanych wielkości jest prędkość $v$.

Wartość prędkości w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała. Może być ona określona jako stosunek długości łuku $\Delta s$, jaki zakreśli poruszający się punkt, do czasu $\Delta t$, w którym ten łuk został zakreślony:

Wektor chwilowej prędkości jest styczny do okręgu (il. 1.64), ponieważ chwilowa prędkość jest styczna do toru w każdym ruchu krzywoliniowym, co omówiliśmy już wcześniej.

Prędkość, której wartość określamy wzorem (1.54), nazywamy prędkością liniową dla odróżnienia od prędkości kątowej. Prędkość kątową ciała w ruchu jednostajnym po okręgu definiujemy jako stosunek kąta $\Delta \alpha$ zakreślonego przez promień wodzący tego ciała do czasu $\Delta t$, w którym kąt ten został zakreślony:

Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę $\text{(rad}/\text{s)}$ albo po prostu odwrotność sekundy $\text{(}{\text{s}}^{-1}\text{)}$. Ponieważ miarą kąta (w radianach) jest stosunek łuku $\text{s}$, na którym jest oparty kąt, do promienia $r$:

więc kąt mierzy się w $\text{m}/\text{m}$. Zatem jest on bezwymiarowy – radian jest jednostką „ułomną”. Po podstawieniu wzoru (1.56) do (1.55) otrzymamy:

Uwzględniając, że $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$, uzyskujemy związek między prędkością kątową a prędkością liniową:

Inną wielkością charakteryzującą ruch po okręgu jest okres obiegu $T$, który definiujemy jako czas, w którym punkt materialny wykona pełny obieg. Zarówno prędkość liniowa, jak i prędkość kątowa mogą być wyrażone za pomocą okresu obiegu. Prędkość liniową można przedstawić jako stosunek obwodu koła $2\pi r$ do okresu $T$:

Prędkość kątową można przedstawić jako stosunek pełnego kąta $2\pi$ do okresu $T$:

Następna wielkość to częstotliwość $\nu$ (wielkość ta często bywa oznaczana symbolem $f$); definiujemy ją jako liczbę obiegów, którą punkt materialny wykonuje w ciągu jednostki czasu. Częstotliwość jest odwrotnością okresu obiegu. Łatwo można to zrozumieć na przykładzie: jeśli $\nu =3{\text{s}}^{-1}$, to ciało wykonuje 3 pełne obiegi w ciągu jednej sekundy. Wobec tego jeden obieg trwa 1/3 sekundy i to jest właśnie okres obiegu. Uogólniając, otrzymujemy związek:

Jednostką częstotliwości jest odwrotność sekundy $\text{(}{\text{s}}^{-1}\text{)}$. Jednostka ta ma swoją nazwę: herc i oznaczenie: 1 Hz. Po połączeniu wzorów (1.59) i (1.60), widzimy, że:

Bardzo ważnym pojęciem w ruchu po okręgu jest przyspieszenie dośrodkowe (oznaczamy je $a_r$). Mimo że w ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości punktu materialnego się nie zmienia, jednak prędkość jako wektor wciąż zmienia kierunek (w każdym miejscu jest styczny do okręgu).

Wyobraźmy sobie, że punkt materialny przechodzi bardzo mały odcinek łuku $\Delta s$ od punktu $A$ do $B$ w czasie $\Delta t$ (il. 1.65). Przenieśmy wektor prędkości z punktu $A$ do punktu $B$. Wektor prędkości w punkcie $B$ możemy traktować jako wynik dodania do wektora ${\overrightarrow{v}}_A$ przyrostu wektora $\Delta \overrightarrow{v}$. Bardzo mały łuk $\Delta s$ możemy uważać za odcinek prostej. Wtedy trójkąt równoramienny $OAB$ jest podobny do trójkąta $BCD$ i możemy napisać proporcję:

gdzie $v$ oznacza wartość prędkości, jednakową w punkcie $A$ i w punkcie $B$.

Dzielimy równanie (1.62) stronami przez $t$ i otrzymujemy:

W równaniu tym rozpoznajemy prędkość liniową $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$ oraz przyspieszenie dośrodkowe $a_r=\frac{\Delta v}{\Delta t}$. Napiszemy więc:

Stąd otrzymujemy wzór na wartość tego przyspieszenia:

Przyspieszenie to nazywa się przyspieszeniem dośrodkowym, gdyż jego kierunek pokrywa się z kierunkiem promienia okręgu i jest ono zwrócone do środka tego okręgu. Widoczne to jest na il. 1.65. Wektor $\Delta \overrightarrow{v}$ ma kierunek zbliżony do promienia okręgu. W granicy, dla czasu $\Delta t$ zmierzającego do zera, kierunek ten pokryje się z kierunkiem promienia. Przyspieszenie ${\overrightarrow{a}}_r$ ma taki sam kierunek jak $\Delta \overrightarrow{v}$, czyli ma kierunek zgodny z promieniem i zwrot do środka okręgu.

Przyspieszenie dośrodkowe możemy wyrazić również za pomocą prędkości kątowej, którą wprowadzimy do wzoru (1.64), pamiętając, że $v=r\omega$. Wówczas:

Jeżeli skorzystamy ze wzoru $\omega =2\pi \nu$, otrzymamy:

Czasami wygodniej jest stosować okres $T=\frac{1}{\nu }$, zatem:

Przypomnijmy sobie (patrz rozdział 1.12. Wektor przyspieszenia), że przyspieszenie jest wektorem, który w przypadku ruchu krzywoliniowego nie jest styczny do toru. W szczególności w ruchu jednostajnym po okręgu wektor przyspieszenia jest prostopadły do toru. Wtedy przyspieszenie jest równe przyspieszeniu dośrodkowemu, a składowa przyspieszenia styczna do okręgu jest równa zeru $\text{(}{a}_s=0\text{)}$. Zgadza się to z definicją przyspieszenia (1.13), ponieważ wartość prędkości w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała, czyli jej przyrost wynosi zero $\text{(}\Delta v=0\text{)}$, co oznacza, że przyspieszenie styczne musi być także równe zeru, więc $a_s=0$.

W przypadku gdy mamy do czynienia z ruchem niejednostajnym po okręgu, przyrost wartości prędkości nie jest równy zeru $\text{(}\Delta v\ne 0\text{)}$, więc występuje niezerowe przyspieszenie styczne do okręgu, które jest równe przyspieszeniu zdefiniowanemu za pomocą wzoru (1.13). Ponieważ występuje tu również przyspieszenie dośrodkowe $a_r$, widzimy, że w przypadku ruchu niejednostajnego po okręgu wypadkowe przyspieszenie jest skierowane pod pewnym kątem do stycznej do toru, różnym od 90°. Składowa styczna przyspieszenia opisuje zmianę wartości prędkości, zaś składowa normalna (czyli przyspieszenie dośrodkowe) wynika ze zmiany kierunku wektora prędkości.

Przykład 12

Telekomunikacyjny satelita stacjonarny znajduje się stale nad jednym punktem równika Ziemi na wysokości $h=35630\text{km}$. Promień Ziemi wynosi $R=6370\text{km}$. Z jaką prędkością liniową porusza się satelita?

Rozwiązanie: Satelita $S$ krążący stale nad jednym punktem równika ( $Z$ na il. 1.66) musi mieć prędkość kątową równą prędkości kątowej tego punktu. Zatem prędkość liniowa satelity, zgodnie ze wzorem (1.58), jest równa:

$$v_{\text{s}}=\frac{2\pi (R+h)}{T}$$

czyli:

$$v_{\text{s}}=\frac{2·\mathrm{3,14}·(6370+35630)\text{km}}{24\text{h}}=11022\frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Jak widzimy, jest to bardzo duża prędkość w ludzkiej skali.

Zapytajmy przy okazji, z jaką prędkością porusza się punkt $Z$, a więc i wszystkie przedmioty spoczywające na równiku Ziemi.

$$v_{\text{z}}=\frac{2\pi R}{T}$$

czyli:

$$v_{\text{z}}=\frac{2·\mathrm{3,14}·6370\text{km}}{24\text{h}}=1672\frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Widzimy, że jest to też duża prędkość (odpowiadająca prędkości szybkich samolotów odrzutowych), ale jest ona wielokrotnie mniejsza od prędkości satelity stacjonarnego.

Przykład 13

Rowerzysta jedzie ze stałą prędkością $v=6\text{m}/\text{s}$. Średnica koła wynosi $2R=70\text{cm}$.

a) Oblicz częstotliwość $\nu$ obrotów kół roweru.

b) Narysuj tor zakreślany przez punkt zaznaczony kredą na boku bieżnika opony, gdy jest on obserwowany z chodnika.

c) Oblicz prędkość kapturka wentyla względem ziemi w jego najwyższym położeniu. Odległość kapturka od osi koła wynosi $r=28\text{cm}$.

Rozwiązanie: Ad a) Rower porusza się z prędkością $\overrightarrow{v}$ względem ziemi, to znaczy, że również i osie jego kół mają tę prędkość. Przyjmujemy, że koła toczą się bez poślizgu – to znaczy, że punkty styku kół z ziemią mają względem ziemi chwilowe prędkości równe zeru. Natomiast w układzie odniesienia związanym z rowerzystą osie kół, oczywiście, nie poruszają się, a całe otoczenie wraz z ziemią porusza się do tyłu z prędkością $-\overrightarrow{v}$. W jego układzie odniesienia wszystkie punkty na obwodzie koła obracają się z jednakową prędkością liniową równą $v=2\pi R\nu$. Stąd otrzymujemy częstotliwość obrotu kół:

$$\nu =\frac{v}{2\pi R}$$

czyli:

$$\nu =\frac{6}{2\cdot \mathrm{3,14}\cdot \mathrm{0,35}}\frac{1}{\text{s}}=\mathrm{2,73}\frac{1}{\text{s}}$$

Ad b) Na il. 1.67 przedstawiono kolejne pozycje koła z zaznaczonym punktem $K$ w jednakowych odstępach czasu. Łącząc poszczególne pozycje punktu, otrzymujemy krzywą jego toru. Krzywa ta nazywa się cykloidą – jest to krzywa znana w geometrii; zakreśla ją ustalony punkt okręgu toczonego po płaskiej powierzchni.

Ad c) W pewnej chwili wentyl koła znajduje się w najwyższym położeniu. Dla obserwatora zewnętrznego chwilową osią obrotu jest wtedy linia przechodząca przez punkt leżący na styku koła z ziemią (punkt $S$ na il. 1.68).

Na linii pionowej znajdują się następujące trzy punkty: $K$ – kapturek wentyla, $O$ – oś koła i wspomniany punkt $S$. Oś koła, czyli punkt $O$, ma prędkość liniową $v$ równą prędkości roweru, zaś punkt $K$ – chwilową prędkość liniową $v_K$. Możemy przyjąć, że po bardzo krótkim czasie $t$ linia ta odchyli się od pionu o niewielki kąt $\Delta \alpha$. Wszystkie punkty na tej linii mają wspólną prędkość kątową $\omega =\frac{\Delta \alpha }{\Delta t}$. Korzystając ze wzoru (1.57), otrzymamy:

$$\omega =\frac{v_K}{R+r}$$

oraz:

$$\omega =\frac{v}{R}$$

Przyrównując prawe strony tych równości, otrzymujemy, że prędkość liniowa punktu $K$ wynosi:

$$v_K=\frac{R+r}{R}v$$

Stąd:

$$v_K=\frac{\mathrm{0,35}+\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,35}}\cdot 6\frac{\text{m}}{\text{s}}=\mathrm{10,8}\frac{\text{m}}{\text{s}}$$

Zatem prędkość chwilowa kapturka wentyla w jego najwyższym położeniu wynosi 10,8 m/s.

Warto dodać, że – z punktu widzenia obserwatora z zewnątrz – ruch kapturka możemy potraktować jako złożenie dwóch ruchów: ruchu obrotowego względem osi koła i ruchu postępowego roweru. Kapturek bowiem wykonuje jednocześnie te dwa ruchy. Prędkość wypadkowa w każdym momencie będzie sumą wektorową prędkości tych dwóch ruchów. Będzie ona styczna do cykloidy.

Z kolei punkt styku kół z ziemią ma prędkość w ruchu postępowym skierowaną do przodu oraz w ruchu obrotowym prędkość skierowaną do tyłu. Aby punkt ten nie ślizgał się (był w spoczynku), te dwie prędkości muszą być sobie równe co do wartości – wtedy ich wypadkowa prędkość wynosi zero.

Pytania i problemy

1. Zdefiniuj prędkość kątową w ruchu po okręgu. Oblicz wartość prędkości kątowej małej wskazówki zegara.
2. Podaj wzór wiążący prędkość liniową z prędkością kątową ciała w ruchu jednostajnym po okręgu.
3. Podaj definicję częstotliwości $\nu$. W jakich jednostkach wyrażamy częstotliwość?
4. Podaj definicję okresu w ruchu po okręgu. W jakich jednostkach wyrażamy okres obiegu? Podaj związek okresu z częstotliwością.
5. Opisz wektor przyspieszenia dośrodkowego w ruchu jednostajnym po okręgu.
6. Wyjaśnij, dlaczego w ruchu jednostajnym po okręgu występuje przyspieszenie dośrodkowe.
7. Jaki kierunek i jaki zwrot ma przyspieszenie dośrodkowe?
8. Opisz kształt toru zakreślanego przez punkt leżący na obwodzie koła toczącego się ze stałą prędkością po płaskiej powierzchni – z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego.
9. Chłopiec obraca beczkę w kształcie walca, opierając na niej poziomo płaską listwę o długości $l=\mathrm{1,5}\text{m}$. Zbliża się on przy tym do beczki (il. 1.69). Jaką drogę $s$ musi przebyć chłopiec, aby dotknąć beczki? Wskazówka: Zastanów się, z jaką prędkością liniową względem ziemi porusza się punkt styczności z listwą, a z jaką oś obrotu beczki. Jeżeli trudno Ci to sobie wyobrazić, to weź linijkę lub okrągły ołówek i przeprowadź eksperyment.

   

10. Uczniowie po przeczytaniu rozwiązania przykładu Przykład 13c odczuwali pewien niedosyt poznawczy. Nie bardzo zrozumieli bowiem, o co chodzi z „chwilową osią obrotu widzianą przez zewnętrznego obserwatora”. Jednak po przeczytaniu komentarza pod rozwiązaniem wpadli na inny pomysł: by prędkość kapturka względem ziemi ${\overrightarrow{v}}_{\text{K}}$ obliczyć jako złożenie jego prędkości liniowej w ruchu po okręgu względem osi koła ${\overrightarrow{v}}_{\text{O}}$ i prędkości osi koła $\overrightarrow{v}$ względem ziemi. Uzupełnij rozumowanie uczniów i oblicz wartość prędkości $v_K$, korzystając z ich pomysłu. Gdy uzyskasz ten sam wynik, co w rozwiązaniu przykładu Przykład 13c, to przekonasz się, że pojęcie „chwilowej osi obrotu” ma sens.