1.3. Ruch jednostajny prostoliniowy

Ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy taki ruch ciała po linii prostej, podczas którego wartość prędkości nie zmienia się, czyli:

v=const

( 1.6 )

Zatem w ruchu jednostajnym, na każdym odcinku drogi prędkość chwilowa jest taka sama i jest równa prędkości średniej, $v_{\acute{s}r}$ . Stosując wzór (1.3), otrzymamy $v=\frac{s-s_{0}}{t-t_{0}}$ . Na ogół przyjmujemy, że $t_{0}=0$ ; pozwala nam to zapisać $s-s_{0}=vt$ , a stąd:

s=s_{0}+vt

( 1.7 )

W opisie ruchu jednostajnego równanie to jest ważne, gdyż pozwala wyznaczyć położenie w chwili $t$ , jeżeli położenie początkowe w chwili $t_{0}=0$ wynosiło $s_{0}$ .

Zależność położenia $s$ od czasu jest funkcją liniową, której wykres przedstawiono na il. 1.11. Jak wiemy z matematyki, funkcja liniowa jest wyrażona za pomocą wzoru:

y=ax+b

Nasz wzór (1.7) ma podobną postać. Widać to wyraźnie, jeżeli napiszemy go następująco:

s=vt+s_{0}

(odpowiednikiem zmiennej $y$ jest położenie $s$ , a odpowiednikiem zmiennej $x$ jest czas $t$ ; podobnie odpowiednikiem współczynnika kierunkowego $a$ jest stała prędkość $v$ , zaś odpowiednikiem wyrazu wolnego $b$ jest początkowe położenie $s_{0}$ ).

Wiemy, że ta funkcja na wykresie przedstawiona jest jako prosta nachylona do osi czasu pod kątem tym większym, im większa jest wartość prędkości ciała $v$ , gdyż współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy $v$ . Na il. 1.11b przedstawiono tę zależność dla przypadku, gdy prędkość jest zwrócona w stronę malejących wartości $s$ (przed $v$ należy wtedy wstawić znak minus, gdyż $v$ oznacza tutaj wartość wektora prędkości) – wtedy prosta na wykresie jest skierowana „w dół”.

Ilustracja 1.11. **Droga i czas w ruchu jednostajnym**

Wykres zależności położenia $s$ od czasu w ruchu jednostajnym: a) w ruchu „do przodu”, czyli kiedy prędkość jest zwrócona w stronę rosnących wartości $s$ – wtedy wykres przedstawia funkcję rosnącą, b) w ruchu „do tyłu”, czyli kiedy prędkość jest zwrócona w stronę malejących wartości $s$ – wtedy wykres przedstawia funkcję malejącą

Przykład 2

Przypuśćmy, że samochód w chwili $t_{0}=0$ znajdował się na 920. kilometrze autostrady $s_{0}=920\, km$ . Przez pół godziny $t=0,5\, h$ jechał ze stałą prędkością $v=120\, km/h$ . W tym czasie przebył drogę $\Delta s=120\, km/h\cdot0,5\, h=60\, km$ . Znalazł się w położeniu $s=920\, km+60\, km=980\, km$ , czyli na 980. kilometrze autostrady.

Jeśli samochód jechałby w stronę przeciwną, to również w pół godziny przebyłby drogę równą 60 km, ale znalazłby się w położeniu $s=920\, km-60\, km=860\, km$ (na 860. kilometrze autostrady).

Wartość prędkości w ruchu jednostajnym jest stała, zatem wykres zależności (1.6) prędkości od czasu jest linią prostą równoległą do osi czasu, jak na il. 1.12.

Ilustracja 1.12. **Graficzna interpretacja drogi**

Pole powierzchni pod wykresem zależności prędkości od czasu jest miarą drogi przebytej przez ciało

Pole powierzchni prostokąta zakreślonego na tym rysunku wynosi $v\Delta t$ (iloczyn podstawy i wysokości). Zatem, zgodnie ze wzorem (1.7), oznacza ono drogę $\Delta s$ . Mamy więc:

\Delta s=v\Delta t

( 1.8 )

Sformułujmy wniosek: pole powierzchni pod wykresem zależności prędkości od czasu jest liczbowo równe drodze przebytej przez ciało. Wniosek ten celowo sformułowaliśmy ogólnie, gdyż jest on słuszny dla dowolnego ruchu, nie tylko dla ruchu jednostajnego. Skorzystamy z niego, gdy będziemy wyprowadzać wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym.

Przykład 3

Samochód przejeżdża na autostradzie prostoliniowy odcinek $s=5\, km$ ze stałą prędkością $v_{1}=100\, km/h$ , następnie na skutek ograniczenia prędkości jazdy dalsze 5 km przejeżdża ze stałą prędkością $v_{2}=60\, km/h$ . Ile wynosi średnia prędkość samochodu?

Rozwiązanie: Do obliczenia średniej prędkości zastosujemy wzór (1.3). Do wzoru musimy podstawić całą przebytą drogę (w tym wypadku równą przemieszczeniu samochodu) $\Delta s=\Delta s_{1}+\Delta s_{2}=5\, km+5\, km=10\, km$ oraz łączny czas trwania ruchu na obydwu odcinkach drogi $\Delta t=\Delta t_{1}+\Delta t_{2}$ . Czas $\Delta t_{1}$ przebycia pierwszego odcinka drogi wynosi:

\Delta t_{1}=\frac{\Delta s_{1}}{v_{1}}=\frac{5\, km}{100\,\frac{km}{h}}=\frac{1}{20}\, h

( 1.9 )

Czas $\Delta t_{2}$ przebycia drugiego odcinka drogi wynosi:

\Delta t_{2}=\frac{\Delta s_{2}}{v_{2}}=\frac{5\, km}{60\,\frac{km}{h}}=\frac{1}{12}\, h

( 1.10 )

Podstawmy teraz otrzymane wartości do wzoru (1.3). Otrzymamy:

v_{\acute{s}r}=\frac{\Delta s_{1}+\Delta s_{2}}{\Delta t_{1}+\Delta t_{2}}=\frac{10\, km}{\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{12}\right)\, h}=75\,\frac{km}{h}

Zwróć uwagę, że uzyskana średnia prędkość samochodu nie jest równa średniej arytmetycznej prędkości $v_{1}$ i $v_{2}$ .

Pytania i problemy

Scharakteryzuj ruch jednostajny prostoliniowy.
Znając definicję prędkości średniej i chwilowej, odpowiedz na pytanie: Jaki jest związek między tymi wielkościami w ruchu jednostajnym prostoliniowym?
Dla sytuacji opisanej w przykładzie 1. wykonaj wykres zależności prędkości rowerzysty od czasu i wykres zależności położenia rowerzysty od czasu.
Dla sytuacji opisanej w przykładzie 3. wykonaj wykres zależności prędkości samochodu od czasu i wykres zależności położenia samochodu od czasu.
Samochód przejeżdża na autostradzie prostoliniowy odcinek ze stałą prędkością $v_{1}=100\, km/h$ w czasie $\Delta t_{1}=10 min$ , następnie na skutek ograniczenia prędkości jazdy, przez kolejne 10 min jedzie ze stałą prędkością $v_{2}=60\, km/h$ . Wykaż, że średnia prędkość samochodu w ciągu tych 20 min ma wartość $80\,\frac{km}{h}$ .