Każdy wynik pomiaru $x$ daje tylko wartość przybliżoną rzeczywistej wartości $x_0$. Pomiar zawsze odbywa się z ograniczoną dokładnością, wynikającą zarówno z czynności pomiarowych, jak i z wykonania samego przyrządu pomiarowego. Przykładowo, gdy mierzymy odstęp czasu, to synchronizacja rozpoczęcia pomiaru z początkiem zjawiska nie jest idealna (podobnie jest z synchronizacją zakończenia pomiaru z końcem zjawiska). Z kolei, przy pomiarze długości występuje: niedokładne przyłożenie linijki, nieprecyzyjne wykonanie podziałki, określona grubość kresek podziałki itd.

Mimo że prawdziwa wartość wielkości mierzonej nie jest znana, możemy określić przedział wartości, w którym się ona najprawdopodobniej mieści. Połowę szerokości tego przedziału nazywamy niepewnością pomiarową $\Delta x$. Przyjmujemy, że wartość rzeczywista mieści się z dużym prawdopodobieństwem w przedziale między: $\left(x-\Delta x\right)$ a $\left(x+\Delta x\right)$, gdzie $x$ jest wartością zmierzoną. Na przykład, mierząc długość pręta, otrzymaliśmy wartość $x=\mathrm{36,4}\text{cm}$ i niepewność pomiarową $\Delta x=\mathrm{0,3}\text{cm}$. Przyjmujemy więc, że długość zmierzonego pręta wynosi $l=\left(\mathrm{36,4}\pm \mathrm{0,3}\right)\text{cm}$.

Szacowanie niepewności pomiarowej, które będziemy stosować w naszym kursie, określa tzw. niepewność maksymalną. Podaje ona maksymalne dopuszczalne odchylenie wyniku pomiaru od prawdziwej lub wzorcowej wartości wielkości mierzonej.

Niepewności pomiarowe można zmniejszyć, stosując dokładniejszy przyrząd lub dokładniejszą metodę pomiaru. Jednakże nie jesteśmy w stanie ich całkowicie wyeliminować. Poza niepewnościami pomiarowymi występują błędy pomiarowe, których można uniknąć. Błędy pomiarowe powstają często na skutek przeoczenia lub pominięcia ważnego czynnika wpływającego na pomiar; np. przy pomiarze długości pręta nie zauważamy jego wygięcia.

Dla zmniejszenia niepewności pomiarowej wykonujemy pomiar wielokrotnie, wtedy często poszczególne wyniki pomiaru nieco różnią się od siebie, gdyż każdy pomiar obarczony jest przypadkową niepewnością pomiarową. Obliczając średnią arytmetyczną tych pomiarów, otrzymujemy wartość najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej. Czasami zdarza się, że jeden wynik pomiaru różni się znacznie od pozostałych. Wtedy odrzucamy go i nie uwzględniamy przy obliczaniu wartości średniej, gdyż mamy prawo sądzić, z dużym prawdopodobieństwem, że powstał na skutek błędu pomiaru. Mówimy, że ten wynik pomiaru jest obarczony błędem grubym.

Przy ocenie niepewności pomiarowych pojedynczego pomiaru bierzemy pod uwagę wszystkie czynniki, które wpływają na jego dokładność. Suma wszystkich przyczynków daje łączną niepewność pomiarową. Sposób oceniania niepewności pomiarowych zależy od konkretnej sytuacji. Zapoznamy się z nim przy okazji wykonywania opisanych doświadczeń.

Zastanówmy się teraz, jak obliczyć niepewność pomiarową w przypadku, gdy wynikiem pomiaru jest wielkość złożona, dana za pomocą wzoru matematycznego, którego elementami są wielkości obarczone niepewnością pomiaru. Rozważymy sytuację, w której bezpośrednio zmierzyliśmy dwie niezależne wielkości: $x$ oraz $y$; oszacowaliśmy także ich niepewności pomiarowe $\Delta x$ i $\Delta y$. Wielkość złożoną (z wielkości elementarnych $x$ oraz $y$) oznaczymy symbolem $z$.

Niepewność iloczynu

Łatwo możemy zrozumieć, dlaczego w przypadku iloczynu dwóch mierzonych wielkości $x$ i $y$ sumujemy niepewności względne $\frac{\Delta x}{x}$ i $\frac{\Delta y}{y}$. Niepewność iloczynu wynosi $\Delta \left(xy\right)=\left(x+\Delta x\right)\left(y+\Delta y\right)-xy$. Po wymnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy:

$$\Delta \left(xy\right)=x\Delta y+y\Delta x+\Delta x\Delta y$$

( 1.26 )

Iloczyn dwóch małych wielkości $\Delta x\Delta y$ jest bardzo mały w porównaniu z pozostałymi wyrazami i można go zaniedbać. Stąd otrzymujemy regułę dodawania względnych niepewności pomiarowych:

$$\frac{\Delta \left(xy\right)}{xy}=\left|\frac{\Delta x}{x}\right|+\left|\frac{\Delta y}{y}\right|$$

Wynik ten można zilustrować graficznie. Niech prostokąt ma boki o długościach $a$ i $b$. Jego pole powierzchni ma wartość $S=ab$. Jeśli zwiększymy bok „a” o $\Delta a$ i jednocześnie zwiększymy bok „b” o $\Delta b$, to pole powierzchni zwiększy się o $\Delta S$.

Ze wzoru (1.26) otrzymujemy:

$$\Delta S=b\cdot \Delta a+a\cdot \Delta b+\Delta a\cdot \Delta b$$

( 1.27 )

Na tę zmianę składają się trzy przyczynki, pokazane na il. 1.21. Te przyczynki odpowiadają trzem składnikom sumy we wzorze (1.27). Widać także, że przyczynek $\Delta a·\Delta b$ może być pominięty wobec pozostałych dwóch. Jeśli teraz wzór (1.27), z pominiętym składnikiem $\Delta a·\Delta b$, podzielimy obustronnie przez $S=a·b$, to otrzymamy:

$$\frac{\Delta S}{S}=\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}$$

Niepewność ilorazu

Niech wielkość $z$ będzie ilorazem wielkości $x$ i $y$. Najpierw wykażemy, że niepewność odwrotności wielkości $y$ jest dana wyrażeniem:

$\Delta \left(\frac{1}{y}\right)=\frac{\Delta y}{y^2}$

Podwojoną niepewność odwrotności $y$ możemy przedstawić jako różnicę między wartością maksymalną $1/\left(y-\Delta y\right)$ a minimalną $1/\left(y+\Delta y\right)$:

$2\cdot \Delta \left(\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{y-\Delta y}-\frac{1}{y+\Delta y}=\frac{y+\Delta y-y+\Delta y}{y^2-{\left(\Delta y\right)}^2}\approx \frac{2\Delta y}{y^2}\Rightarrow \Delta \left(\frac{1}{y}\right)=\frac{\Delta y}{y^2}$

Zastosowane tu przybliżenie polega na pominięciu kwadratu $\Delta y$ wobec kwadratu $y$.

Możemy teraz potraktować wielkość $z$ jak iloczyn $x$ i $1/y$ i przedstawić jej względną niepewność jako niepewność iloczynu:

$\frac{\Delta z}{z}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta \frac{1}{y}}{\frac{1}{y}}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\frac{\Delta y}{y^2}}{\frac{1}{y}}=\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}$

Na zakończenie podamy jeszcze zasady zaokrąglania wyników i niepewności pomiarowych.

W przypadku gdy wartość niepewności pomiarowej ma pierwszą cyfrę znaczącą mniejszą od 3, podajemy ją z dokładnością do dwóch miejsc znaczących, w pozostałych przypadkach zaokrąglamy ją do jednej cyfry znaczącej.

Taki sposób zaokrąglania wynika z tego, że zwykle nie jesteśmy w stanie wyznaczyć niepewności pomiarowej z dokładnością lepszą niż 20% jej wartości. Oto przykłady właściwych zaokrągleń:

$\mathrm{0,00134}\approx \mathrm{0,0013}=\mathrm{1,3}\cdot {10}^{-3}$

$\mathrm{0,0103}\approx \mathrm{0,010}=\mathrm{1,0}\cdot {10}^{-2}$

$\mathrm{0,0302}\approx \mathrm{0,03}=3\cdot {10}^{-2}$

$6270\approx 6\cdot {10}^3$

Uwaga: Wynik pomiaru zaokrąglamy zawsze do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrągliliśmy niepewność pomiarową.

Oto przykłady wyników pomiaru prawidłowo zaokrąglonych:

$l=\left(1,4841\pm 0,0013\right)\text{m}$

$m=\left(320\pm 40\right)\text{g}$

$t=\left(86,3\pm 0,6\right)\cdot {10}^6\text{s}$

W przypadku gdy celem pomiaru jest zbadanie zależności między wielkościami, wynik przedstawiamy na wykresie. Przeprowadzamy wtedy „graficzną” ocenę i analizę niepewności pomiaru. Takie postępowanie omówimy w rozdziale 1.13. Doświadczenie „Akceleracja”.

Pytania i problemy

1. Czy dowolny pomiar wielkości fizycznej może być dokonany z bezwzględną dokładnością, z niepewnością pomiarową równą zeru? Odpowiedź uzasadnij.
2. Podaj przyczyny, dla których każdy pomiar jest obarczony niepewnością pomiarową.
3. Podaj przyczyny, dla których pomiar może być obarczony błędem pomiarowym.
4. Co to jest niepewność pomiarowa? Podaj definicję niepewności pomiarowej.
5. Podaj wzór opisujący niepewność pomiaru złożonego, w przypadku gdy jest on wyrażony w postaci sumy pomiarów bezpośrednich.
6. Podaj wzór opisujący niepewność pomiaru złożonego, w przypadku gdy jest on wyrażony w postaci różnicy pomiarów bezpośrednich.
7. Wyjaśnij, co to jest niepewność względna pomiaru.
8. Podaj wzór opisujący niepewność pomiaru złożonego, w przypadku gdy jest on wyrażony w postaci iloczynu pomiarów bezpośrednich.
9. Powiedzmy, że mierząc długość tyczki, otrzymałeś wartość $l=\mathrm{1,456}\text{m}$, a niepewność pomiarową oceniłeś na $l=\mathrm{0,5}\text{cm}$. Zapisz wynik pomiaru długości tyczki (stosując właściwe zaokrąglenia).