3.4. Prawo zachowania energii mechanicznej

Suma energii potencjalnej i kinetycznej ciała nazywa się energią mechaniczną ciała:

E=E_{p}+E_{k}

( 3.15 )

Ciało może mieć jednocześnie niezerową energię potencjalną i kinetyczną. Na przykład, lądujący prom kosmiczny, szybujący na niewielkiej wysokości $h$ z prędkością $v$ , ma zarówno energię potencjalną $E_{p}=mgh$ , jak i energię kinetyczną $E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}$ . Energia mechaniczna promu wyniesie więc:

E=mgh+\frac{mv^{2}}{2}

( 3.16 )

Jeżeli pilot włączy silniki, to zadziała siła, która wykona pracę $W$ . Siła ta może spowodować zarówno zmianę wysokości lotu, jak i prędkości. Zatem, kosztem tej pracy, nastąpi przyrost energii potencjalnej $\Delta E_{p}$ i przyrost energii kinetycznej $\Delta E_{k}$ . Suma tych dwóch rodzajów energii będzie przyrostem energii mechanicznej i będzie równa pracy $W$ . To samo stosuje się do dowolnego ciała i do dowolnego układu ciał, w którym działają wyłącznie siły zachowawcze. Mamy zatem równanie:

W=\Delta E=\Delta E_{p}+\Delta E_{k}

( 3.17 )

Równanie to jest wyrazem bardzo ważnej prawidłowości występującej we wszystkich zjawiskach mechanicznych, w których siły oporu i tarcia można zaniedbać: praca sił zewnętrznych wykonana na układzie zachowawczym ciał (to znaczy takim, w którym działają tylko siły zachowawcze (rozdział 3.2. Energia potencjalna) jest równa zmianie całkowitej energii mechanicznej układu).

Załóżmy teraz, że układ jest odosobniony i nie jest wykonywana nad nim żadna praca sił zewnętrznych. Wtedy $W=0$ i przyrost energii układu jest równy zeru (mimo że mogą w nim zachodzić różne procesy), czyli:

W=\Delta E=E_{2}-E_{1}=0

lub $E_{1}=E_{2}=const$ . Oznacza to, że całkowita energia mechaniczna układu jest wtedy stała. Symbolami $E_{1}$ i $E_{2}$ oznaczamy tutaj energię mechaniczną układu, odpowiednio, przed rozpatrywanym procesem i po tym procesie. Ponieważ energia mechaniczna składa się z energii potencjalnej i kinetycznej, zatem:

Prawo zachowania energii mechanicznej

E=E_{p}+E_{k}=const

( 3.18 )

Całkowita energia mechaniczna izolowanego układu zachowawczego jest stała (jest zachowywana).

Przykład 7

Ciało zsuwa się bez tarcia po równi pochyłej o wysokości $h$ (il. 3.13). Ile wynosi prędkość ciała $v$ u podstawy równi?

Rozwiązanie: Ciało na równi nie jest izolowane. Oprócz siły grawitacji, która jest zachowawcza, działa na nie także siła reakcji równi. Nie musimy jednak rozstrzygać, czy siła ta jest zachowawcza – wystarczy, że zauważymy, że jest ona prostopadła do kierunku przemieszczenia ciała. Oznacza to, że praca wykonana przez siłę reakcji wynosi zero i że nie ma ona wpływu na przemiany energii w tym układzie. Możemy więc zastosować prawo zachowania energii mechanicznej.

Całkowita energia ciała na szczycie równi wynosi $E_{1}=E_{p}+0=mgh$ , zaś u podstawy: $E_{2}=0+E_{k}=\frac{mv^{2}}{2}$ . Z przyrównania tych dwóch wielkości otrzymujemy wzór na prędkość końcową:

v=\sqrt{2gh}

( 3.19 )

Widzimy, że prędkość końcowa ciała zależy tylko od wysokości, z jakiej ciało się zsuwało, a nie zależy od kąta nachylenia równi.

Ilustracja 3.13. **Całkowita energia ciała zsuwającego się po równi bez tarcia $E=E_{p}+E_{k}=const$**

a) u szczytu równi ciało ma tylko energię potencjalną, b) u podstawy równi ciało ma tylko energię kinetyczną

Przykład 8

Ciało zsuwa się po równi i następnie pokonuje „diabelską pętlę” o promieniu $R$ (il. 3.15). Nie uwzględniając tarcia, oblicz, z jakiej co najmniej wysokości $h$ ciało powinno się zsuwać, aby nie oderwało się od pętli nawet w jej najwyższym punkcie.

diabelska pętla — Ilustracja 3.15. **Ciało, zsuwając się po równi pochyłej, nabiera prędkości i może pokonać „diabelską pętlę"**

Rozwiązanie: Jeżeli prędkość ciała w szczytowym punkcie pętli będzie wystarczająco duża, to siła odśrodkowa (dociskająca ciało do pętli) $F_{0}=\frac{mv^{2}}{R}$ będzie co najmniej równa sile ciężkości ciała $P=mg$ odrywającej je od pętli. Stąd otrzymujemy warunek graniczny:

\frac{mv^{2}}{R}=mg\qquad lub\qquad v^{2}=gR

( 3.20 )

Z drugiej strony, z prawa zachowania energii wynika, że energia potencjalna ciała na szczycie równi $E_{p}=mgh$ jest równa energii w punkcie szczytowym pętli. Ta ostatnia energia składa się z energii potencjalnej $mg\cdot2R$ i energii kinetycznej $\frac{mv^{2}}{2}$ . Mamy więc równanie:

mgh=mg\cdot2R+\frac{mv^{2}}{2}

Stąd:

h=2R+\frac{v^{2}}{2g}

( 3.21 )

Po podstawieniu tu $v^{2}=gR$ otrzymamy $h=2R+\frac{R}{2}=\frac{5}{2}R$ . Jest to najmniejsza wysokość, z jakiej powinno się zsuwać ciało, aby nie oderwać się od pętli. Zatem $h$ musi spełniać warunek:

h\geq\frac{5}{2}R

( 3.22 )

Widzimy, że warunek ten nie zależy od przyspieszenia ziemskiego $g$ . Zatem taki sam warunek będzie obowiązywał na Księżycu i na każdej planecie.

Przykład 9

Klocek zsuwa się bez tarcia po ściance wydrążonego dołka wykonanego w kształcie paraboli (il. 3.16) o równaniu $y=cx^{2}$ . Jaka będzie zależność energii potencjalnej $E_{p}\left(x\right)$ ciała od współrzędnej $x$ ?

Ilustracja 3.16. **Ciało zsuwające się po ściance wydrążonego dołka w kształcie paraboli**

Rozwiązanie: Energia potencjalna względem dna wydrążenia wynosi $E_{p}\left(x\right)=mgh$ , gdzie wysokość $h$ w trakcie zsuwania ciała wynosi $y$ , zatem $E_{p}\left(x\right)=mgy$ . Ponieważ $y=cx^{2}$ , zatem:

E_{p}\left(x\right)=mgcx^{2}

Widzimy, że krzywa energii potencjalnej jest parabolą typu:

Y=Kx^{2}

gdzie $K=mgc$ jest stałym współczynnikiem.

Kształt tej krzywej energii potencjalnej jest taki sam jak kształt dołka, w którym porusza się klocek.

Łatwo można dojść do ogólnego wniosku, że w przypadku dołka dowolnego kształtu, kształt krzywej energii potencjalnej jest taki sam jak kształt dołka. Zbieżność tych dwóch pojęć sprawiła, że posługujemy się pojęciem dołu potencjału lub studni potencjału w różnych przypadkach, gdy mamy do czynienia z ruchem ciał w polu sił (nie tylko grawitacji). Pojęcie to jest bardzo użyteczne i stosuje się do wielu zagadnień fizycznych, np. w fizyce atomowej.

Podobnie w przypadku ciała zaczepionego na sprężynie można powiedzieć, że ciało znajduje się w parabolicznej studni potencjału (patrz il. 3.16 i wzór (3.5)).

Ogólna zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii mechanicznej spełniona jest ściśle w przypadku, gdy siły oporu i tarcia nie występują lub są tak małe, że można je zaniedbać. W przeciwnym przypadku w trakcie procesu część energii mechanicznej zostaje stracona. Ale czy rzeczywiście stracona? Otóż nie, bo tę właśnie część energii odnajdujemy w wydzielającym się cieple (powierzchnie trące się ogrzewają). W ogólnym przypadku energia mechaniczna może zamieniać się na różne postacie energii. Na przykład energia potencjalna spadającej wody może napędzać generator wytwarzający prąd elektryczny. W takim przypadku energia mechaniczna zamienia się na energię elektryczną. Znamy wiele różnych postaci energii: mechaniczną, elektryczną, promienistą, fal elektromagnetycznych, jądrową itd.

Weźmy pod uwagę układ izolowany ciał, w którym mogą zachodzić przemiany jednej postaci energii w inną. Niech układ będzie izolowany w ten sposób, że żadna z postaci energii nie ucieka na zewnątrz, ani żadna nie przenika do układu. Otóż okazuje się, że wtedy całkowita suma wszystkich możliwych postaci energii jest stała. To znaczy, że energia nie znika ani nie może być stworzona z niczego. Na podstawie niezliczonych eksperymentów i obserwacji naukowych utwierdzono się w przekonaniu o nienaruszalności zasady:

Ta uniwersalna zasada nosi nazwę zasady zachowania energii.

Zasada zachowania energii należy do szczególnej grupy zasad zachowania. Z jedną z nich spotkaliśmy się już uprzednio, mianowicie z zasadą zachowania pędu. W mechanice występuje jeszcze jedna zasada zachowania – zasada zachowania momentu pędu, którą poznamy później.

Wszystkie te zasady zachowania mają fundamentalne znaczenie w fizyce, ponieważ wynikają z podstawowych własności przestrzeni i czasu. Okazuje się, że zasada zachowania energii wynika z zasadniczej własności czasu, która polega na tym, że czas w pustej przestrzeni płynie zawsze jednakowo, nigdy nie przyspiesza ani nie zwalnia. Również zasada zachowania pędu wynika z podobnej własności przestrzeni, zwanej jednorodnością przestrzeni.

Pytania i problemy

Wyjaśnij pojęcie energii mechanicznej. Podaj treść prawa zachowania energii mechanicznej.
Ciężarek zaczepiony do sprężyny wykonuje ruch drgający. Przedstaw na wykresie zależność energii kinetycznej $E_{k}$ ciężarka od wydłużenia $(x)$ sprężyny.
Ciężarek o masie $m$ jest zaczepiony do sprężyny. Sprężyna została rozciągnięta o odcinek $x_{M}$ od położenia równowagowego. Oblicz wartość prędkości ciężarka, gdy (po zwolnieniu sprężyny) znajdzie się w odległości $x=\frac{x_{M}}{2}$ od położenia równowagowego. Stała sprężystości sprężyny wynosi $k$ .
Podaj kilka przykładów form energii niebędącej energią mechaniczną.
Podaj treść zasady zachowania energii.
Wiadomo, że zasada zachowania energii wynika z podstawowej własności czasu. Jaka to własność?