3.6. Zderzenia

Obserwacja zderzenia – z pozoru prostego zjawiska – może dostarczyć nam wiele cennych informacji o właściwościach zderzających się ciał oraz o siłach między nimi działających. Mówiąc o zderzeniach ciał makroskopowych, mamy na myśli bezpośrednie zetknięcie się ciał, takich jak na przykład kule bilardowe. Okazuje się, że ze zderzeniami mamy do czynienia również w mikroświecie, np. wtedy, gdy dwie jednoimiennie naładowane elektrycznie cząstki zbliżają się do siebie i na skutek oddziaływania pól elektrycznych odskakują od siebie. Zagadnienie zderzeń jest szczególnie istotne dla współczesnych badań cząstek elementarnych oraz badań elementarnych oddziaływań podstawowych. Wiele bardzo cennych informacji z obszaru mikroświata kwantowego jest dostępnych dla nas tylko dzięki badaniu zderzeń.

Teoria zderzeń, z którą tu się zapoznasz, jest oczywiście dużo prostsza niż teoria stosowana przez fizyków we współczesnych laboratoriach przy pracy z wielkimi akceleratorami cząstek elementarnych. Jednakże poznasz podstawowe zasady, które rządzą tymi zjawiskami. Do zbadania zderzeń mechanicznych posłużą nam dwie zasady – zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.

Rozróżniamy następujące dwa rodzaje zderzeń: zderzenie niesprężyste i zderzenie sprężyste.

Zderzenia niesprężyste

Zderzenia niesprężyste to takie, w których tracona jest część energii kinetycznej.

Przykładem zderzenia doskonale niesprężystego może być zderzenie dwóch kulek plasteliny, które się zlepiają, uderzenie pocisku w worek z piaskiem lub zderzenie meteorytu z Ziemią. Podczas zderzenia energia mechaniczna nie jest zachowana, gdyż część energii kinetycznej zderzających się ciał zostanie rozproszona na skutek pracy przeciwko siłom tarcia i przekazana otoczeniu pod postacią ciepła. Natomiast prawo zachowania pędu będzie tu obowiązywać w pełni, gdyż ciała zderzające się możemy traktować jako układ izolowany.

Wyobraźmy sobie dwa ciała zbliżające się do siebie, jak na il. 3.17. Niech ciało o masie $m_{1}$ ma prędkość $v_{1}$ , a ciało o masie $m_{2}$ – prędkość $v_{2}$ . Jaką prędkość będą miały ciała po zderzeniu doskonale niesprężystym? Odpowiemy na to pytanie, korzystając z prawa zachowania pędu. Suma wektorowa pędów obu ciał przed zderzeniem jest pędem całkowitym układu, który pozostaje stały również po zderzeniu. Oba ciała po zderzeniu mają wspólną prędkość $\vec{v}$ , której właśnie poszukujemy, zatem pęd po zderzeniu jest równy:

\left(m_{1}+m_{2}\right)\vec{v}

Mamy więc równanie:

m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}=\left(m_{1}+m_{2}\right)\vec{v}

( 3.25 )

Stąd otrzymujemy wzór na szukaną prędkość ciał po zderzeniu:

\vec{v}=\frac{m_{1}\vec{v}_{1}+m_{2}\vec{v}_{2}}{m_{1}+m_{2}}

( 3.26 )

Ilustracja 3.17. **Zderzenie niesprężyste dwóch ciał**

Pęd wypadkowy jest stały; całkowity pęd przed zderzeniem jest równy pędowi obu ciał (zlepionych) po zderzeniu

We wzorze (3.26) występują wielkości wektorowe i nie należy go odczytywać, jakby w liczniku była suma liczb, ale stosować regułę dodawania wektorów. W szczególnym przypadku, gdy ciała zbliżają się do siebie wzdłuż wspólnej prostej (il. 3.18), równanie (3.26) można zapisać skalarnie, ale należy prędkość jednego ciała zaopatrzyć znakiem plus, a drugiego – znakiem minus.

Ilustracja 3.18. **Zderzenie niesprężyste dwóch ciał wzdłuż jednej prostej**

W zderzeniu niesprężystym suma energii kinetycznych przed zderzeniem nie jest równa całkowitej energii kinetycznej po zderzeniu, co już wcześniej zostało zaznaczone. Teraz jest to szczególnie widoczne: jeżeli pędy zderzających się ciał są równe, ale przeciwnie zwrócone, to oba ciała po zderzeniu będą miały zerową prędkość, czyli ich energia kinetyczna będzie równa zeru. Natomiast przed zderzeniem suma ich energii kinetycznych była oczywiście większa od zera.

Przykład 11

Dwie kulki z plasteliny zbliżają się do siebie wzdłuż wspólnej prostej (il. 3.18). Kulka o masie $m_{1}=10\, g$ ma prędkość $v_{1}=5\, m/s$ , a kulka o masie $m_{2}=30\, g$ – prędkość $v_{2}=2\, m/s$ . Jaką prędkość będą miały kulki po zderzeniu i w którą stronę będą się poruszały?

Rozwiązanie: Suma wektorowa pędów obu ciał przed zderzeniem jest pędem całkowitym układu, który pozostaje stały również po zderzeniu (prawo zachowania pędu).

Przed zderzeniem całkowity pęd obu kulek wynosił:

m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}

Po zderzeniu wynosi:

\left(m_{1}+m_{2}\right)v

Obie kulki po zderzeniu mają wspólną prędkość $v$ , którą znajdziemy z równania pędów:

\left(m_{1}+m_{2}\right)v=m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}

Stąd otrzymujemy wzór na szukaną prędkość kulek po zderzeniu:

v=\frac{m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

v=\frac{m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}} =\frac{10\, g\cdot5\, m//s-30\, g\cdot2\, m/s}{10\, g+30\, g}=-0,25\, m/s

Znak minus przed wartością prędkości oznacza, że kulki po zderzeniu będą poruszały się w lewo, tzn. w tę samą stronę, w którą poruszała się kulka druga (gdyż miała ona pęd o większej wartości).

Zderzenia sprężyste

Zderzenie jest doskonale sprężyste, jeśli oprócz całkowitego pędu zachowuje się również suma energii kinetycznych zderzających się ciał. Oczywiście, chodzi tu o całkowity pęd i sumę energii kinetycznych. To znaczy, że podczas zderzenia mogą się zmieniać zarówno pęd, jak i energia poszczególnych ciał, ale sumaryczny pęd i suma energii kinetycznych pozostają stałe. Zatem dla zderzeń doskonale sprężystych otrzymujemy układ dwóch równań:

\begin{array}{c} \vec{p}_{1}+\vec{p}_{2}=\vec{p}'_{1}+\vec{p}'_{2}\\ E_{k1}+E_{k2}=E'_{k1}+E'_{k2} \end{array}\rbrace

( 3.27 )

Symbole nieopatrzone znakiem $'$ odpowiadają pędom i energiom przed zderzeniem, zaś opatrzone tym znakiem – po zderzeniu.

Rozróżniamy dwa rodzaje zderzeń:

zderzenia centralne,
zderzenia niecentralne.

Ze zderzeniem centralnym mamy do czynienia wtedy, gdy środki mas zderzających się ciał poruszają się wzdłuż wspólnej linii prostej. W pozostałych przypadkach występuje zderzenie niecentralne.

Ilustracja 3.19. **Zderzenie centralne kul**

Zderzenie centralne dwóch kul mających znacznie różniące się masy, kula masywniejsza spoczywa

Układ równań (3.27) pozwala jednoznacznie wyznaczyć pędy (i prędkości) ciał po zderzeniu, jeśli dane są pędy (i masy) obu ciał przed zderzeniem dla dowolnego przypadku zderzeń doskonale sprężystych centralnych.

Ad 1. Rozważymy zderzenie centralne dwóch kul. Dla uproszczenia przyjmiemy układ odniesienia taki, w którym kula $m_{2}$ spoczywa (il. 3.19). Niech kula $m_{1}$ w tym układzie przed zderzeniem ma prędkość $v$ . Obliczymy prędkości $v'_{1}$ i $v'_{2}$ po zderzeniu, korzystając z układu równań (3.27):

\begin{array}{c} m_{1}v_{1}=m_{1}v'_{1}+m_{2}v'_{2}\\ \frac{m_{1}v^{2}}{2}=\frac{m_{1}v'_{1}^{2}}{2}+\frac{m_{2}v'_{2}^{2}}{2} \end{array}\rbrace

( 3.28 )

Oba te równania przekształcimy do następującej postaci:

\begin{array}{c} m_{1}\left(v-v'_{1}\right)=m_{2}v'_{2}\\ m_{1}\left(v^{2}-v'_{1}^{2}\right)=m_{2}v'_{2}^{2} \end{array}\rbrace

Jeżeli teraz drugie równanie podzielimy stronami przez pierwsze, otrzymamy:

v+v'_{1}=v'_{2}

( 3.29 )

To równanie łącznie z pierwszym równaniem układu (3.27) możemy potraktować jako układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi $v'_{1}$ i $v'_{2}$ . Stąd po odpowiednich przekształceniach otrzymamy:

v'_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v

( 3.30 )

v'_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v

( 3.31 )

Teraz zastosujemy te wzory do dwóch ciekawych przypadków:

a) Jeżeli obie zderzające się kule mają jednakowe masy, czyli $m_{1}=m_{2}$ , to $v'_{1}=0$ i $v'_{2}=v$ (il. 3.20). Oznacza to, że druga kula, która początkowo była nieruchoma, po zderzeniu uzyska prędkość równą dokładnie prędkości kuli pierwszej. Kule po prostu wymienią się prędkościami. Podobna sytuacja występuje w przypadku zderzenia centralnego dwóch identycznych cząstek kwantowych (np. protonów); cząstki takie są nierozróżnialne i efekt zderzenia jest taki, jakby jedna cząstka „przeszła przez drugą” bez zmiany prędkości.

Ilustracja 3.20. Zderzenie centralne dwóch kul mających jednakowe masy, kula druga spoczywa. Narysowana tutaj płaszczyzna styczna w punkcie zetknięcia obu kul jest prostopadła do prędkości $\vec{v}$

b) Jeżeli bardzo lekka kula zderza się centralnie z kulą masywną, tzn. gdy $m_{2}\gg m_{1}$ , to stosunek mas $\frac{m_{1}}{m_{2}}$ jest bliski zeru i wtedy:

v'_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}v=\frac{\frac{m_{1}}{m_{2}}-1}{\frac{m_{1}}{m_{2}}+1}v\approx-v

czyli kula pierwsza po zderzeniu uzyska prędkość o wartości takiej samej, jaką miała przed zderzeniem, lecz z przeciwnym zwrotem. Natomiast kula druga pozostanie w spoczynku, gdyż zgodnie z równaniem (3.31) jej prędkość będzie bliska zeru, $v'_{2}\approx0$ . Sytuacja taka wystąpi również wtedy, gdy kula zderzy się (doskonale sprężyście) ze ścianą. Kula odskoczy od ściany w stronę przeciwną, nie tracąc pierwotnej prędkości (co do wartości bezwzględnej). Ściana natomiast nie uzyska praktycznie żadnej prędkości (il. 3.21).

Ilustracja 3.21. **Zderzenie sprężyste kuli ze ścianą**

Kula, zderzając się doskonale sprężyście ze ścianą, odskakuje od niej, nie zmieniając bezwzględnej wartości prędkości

Ad 2. Rozważymy teraz szczególny przypadek zderzenia niecentralnego dwóch kul, gdy kule mają jednakowe masy i można nie uwzględniać tarcia oraz ruchu obrotowego kul.

Przyjmiemy, że przed zderzeniem kula $1$ ma prędkość $\vec{v}$ , a kula $2$ spoczywa (il. 3.22). Aby rozwiązać to zagadnienie, sprowadzimy je do przypadku prostszego, rozważonego poprzednio.

W punkcie zetknięcia kul prowadzimy płaszczyznę styczną do powierzchni obu kul. Rozłóżmy wektor prędkości $\vec{v}$ na dwie składowe: normalną $\vec{v}_{0}$ i styczną do płaszczyzny styku $\vec{v}_{s}$ . Podczas zderzenia na obie kule działają siły powstałe na skutek deformacji sprężystej kul. Siły te mają kierunek normalnej do płaszczyzny styku kul i zamieniają prędkości $\vec{v}_{0}$ obu kul, zupełnie tak samo jak w zderzeniu centralnym – przypadek 1a. Zatem po zderzeniu kula $2$ uzyska prędkość:

v'_{2}=\vec{v}_{0}

Ilustracja 3.22. **Zderzenie kul o jednakowych masach**

Kula $1$ przekazuje spoczywającej kuli $2$ składową normalną prędkości (prostopadłą do płaszczyzny styku kul), ale zachowuje składową styczną. Tory kul po zderzeniu tworzą kąt prosty

Natomiast składowa styczna nie ulegnie zmianie, gdyż założyliśmy, że tarcie jest znikomo małe i nie ma powodu, dla którego kule miałyby oddziaływać na siebie w kierunku stycznym do płaszczyzny styku. Kula $1$ straci więc swoją składową normalną prędkości, a zachowa tylko składową styczną prędkości. Cała jej prędkość po zderzeniu będzie równa $\vec{v}_{s}$ .

Ze względu na to, że składowa normalna i styczna są wzajemnie prostopadłe, po zderzeniu tory obu kul będą tworzyć kąt prosty. Taka właśnie sytuacja występuje przy zderzeniu dwóch jednakowych kul bilardowych (il. 3.23). Z podobnymi przypadkami mamy również do czynienia w mikroświecie, przy zderzeniach jednakowych cząstek kwantowych, np. dwóch protonów lub dwóch deuteronów (il. 3.24).

Ilustracja 3.23. **Zderzenie kul bilardowych**

Tory obu kul po zderzeniu tworzą kąt prosty. Zdjęcie wykonano techniką stroboskopową

Ilustracja 3.24. **Zderzenie protonu z protonem**

Ślady obu protonów po zderzeniu tworzą kąt prosty

Pytania i problemy

Zastosuj zasadę zachowania pędu do wybranego przykładu zderzenia sprężystego oraz zderzenia niesprężystego – zapisz równania wyrażające tę zasadę. Czy w obu przypadkach energia kinetyczna układu przed zdarzeniem ma tę samą wartość, co po zderzeniu?
Oblicz, jaką część energii kinetycznej tracą kule przy zderzeniu, jak na il. 3.18.
Dlaczego przy zderzeniu sprężystym centralnym dwóch jednakowych ciał wymieniają się one prędkościami? Uwaga: Wykaż, że wynika to z zasad zachowania pędu i energii kinetycznej.
Piłka, która miała początkowo pęd o wartości $p_{0}$ , uderza prostopadle w ścianę i odbija się od niej doskonale sprężyście. Czy po odbiciu od ściany pęd piłki zmieni się? W odpowiedzi uwzględnij kierunek, zwrot i wartość wektora pędu.
Doświadczalnie można stwierdzić, że gdy dwie jednakowe kule, z których jedna spoczywa, zderzają się sprężyście niecentralnie, wówczas po odbiciu ich tory tworzą kąt prosty. Wyjaśnij, dlaczego tak się dzieje.
Ze zderzeniem podobnym do omawianych w poprzednim pytaniu mamy również do czynienia w mikroświecie, przy zderzeniach jednakowych cząstek kwantowych, np. dwóch protonów (il. 3.24). Jakie wnioski możesz z tego wyciągnąć, rozważając obowiązywanie praw fizyki na różnych poziomach poznania materii?
Kulka plasteliny o masie m ma prędkość v . Kulka uderza w drugą spoczywającą kulkę plasteliny o masie 4 m .
1. Oblicz, ile wynosi prędkość kulek po sklejeniu $v^{'}$ .
2. Oblicz, ile wyniesie energia kinetyczna $E_{k}'$ kulek po sklejeniu.
3. Rozważ, czy energia kinetyczna pierwszej kulki $E_{k}$ przed sklejeniem się z drugą jest równa energii kinetycznej $E_{k}$ obu kulek po sklejeniu.