Pojęcie momentu pędu należy do podstawowych pojęć fizyki. Poprzednio poznałeś dwie fundamentalne zasady zachowania – zasadę zachowania pędu i zasadę zachowania energii. Obecnie zapoznasz się z następną – zasadą zachowania momentu pędu. Pozwala ona na rozwiązywanie wielu problemów fizycznych w sposób łatwy, bez konieczności analizowania ruchów indywidualnych cząstek i sił na nie działających.

Zauważyłeś zapewne, że w przypadku opisu ruchu bryły sztywnej korzystaliśmy z wielkości fizycznych analogicznych  do wielkości dla punktu materialnego. Zamiast z masy korzystaliśmy z momentu bezwładności, zamiast z siły – z momentu siły. Podobnie, zamiast pędu będziemy korzystać z momentu pędu. Żeby się przekonać o konieczności (i wygodzie) stosowania tego pojęcia, rozważymy ciało obracające się wokół nieruchomej osi, na które działa kilka sił. Sumę wszystkich momentów sił oznaczymy przez $\overrightarrow{M}$. Wypadkowy moment powoduje przyrost energii kinetycznej ciała, a więc i prędkości kątowej. Niech w pewnym niedużym odstępie czasu $\Delta t$ prędkość kątowa ciała zmieni się od wartości ${\omega }_1$ do ${\omega }_2$. Zatem zmiana energii kinetycznej wynosi:

Wzór ten przekształcimy w następujący sposób:

gdzie ${\omega }_{\text{śr}}$ oznacza średnią prędkość kątową ${\omega }_{\text{śr}}=\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2}$.

Zmiana energii kinetycznej jest wywołana pracą wypadkowego momentu siły:

Po przyrównaniu do siebie równań (4.47) i (4.48) i po uproszczeniu przez ${\omega }_{\text{śr}}$ otrzymamy:

Wzór ten przypomina nam drugą zasadę dynamiki Newtona w ujęciu pędu i popędu (patrz wzór (2.14)):

Zamiast wartości siły $F$ we wzorze (4.50) mamy wartość momentu siły $M$ w (4.49), zamiast masy $m$ – moment bezwładności $I$, zamiast prędkości liniowej $v$ – prędkość kątową $\omega$. Iloczyn masy i prędkości jest pędem, $\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$. Podobnie dla bryły symetrycznej, iloczyn momentu bezwładności i prędkości kątowej jest wartością momentu pędu:

Jednostką momentu pędu jest $\frac{\text{kg}\cdot {\text{m}}^2}{\text{s}}$.

Zwróćmy uwagę, że wzór (4.51) jest analogonem wzoru na pęd:

Pęd jest wielkością wektorową. To samo dotyczy momentu pędu. Konsekwentnie, wzór (4.51) możemy zapisać wektorowo, jeżeli przyjmiemy, że i prędkość kątowa jest wektorem (moment bezwładności $I$ jest skalarem). Wtedy wzór na moment pędu możemy zapisać w postaci wektorowej:

We wzorze tym prędkość kątowa występuje w postaci wektorowej. Jest to wektor, którego długość ma wartość liczbową równą prędkości kątowej, kierunek jest prostopadły do płaszczyzny obrotu, a zwrot – zgodny z regułą śruby prawoskrętnej (patrz il. 4.33).

Tak zdefiniowany wektor ma własności nieco różne od „zwykłego” wektora i nazywa się pseudowektorem (inaczej: wektorem osiowym). Moment pędu jest również pseudowektorem.

Oto definicja momentu pędu:

Zauważmy, że wartość momentu pędu punktu materialnego poruszającego się po okręgu o promieniu $r$ wynosi $L=m{r}^2\omega =mrv=rmv=rp$, czyli jest równa iloczynowi pędu i promienia okręgu.

Korzystając z definicji momentu pędu: $L=I\omega$, wzór (4.49) możemy przekształcić następująco: $M\Delta t=L_2-L_1=\Delta L$ lub $\overrightarrow{M}\Delta t={\overrightarrow{L}}_2-{\overrightarrow{L}}_1=\Delta \overrightarrow{L}$. Zatem:

Wzór ten jest wyrazem drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej, która ze względu na swój charakter nosi również nazwę podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej:

Ponownie zwróćmy uwagę na analogię. Występuje tu analogia z drugą zasadą dynamiki dla punktu materialnego $\overrightarrow{F}=\frac{\Delta \overrightarrow{p}}{\Delta t}$, gdzie odpowiednikiem momentu siły jest siła, a odpowiednikiem momentu pędu jest pęd.

Równanie (4.54):

można przedstawić w jeszcze innej postaci. Ponieważ:

więc:

ale:

jest przyspieszeniem kątowym (należy zwrócić uwagę na to, że przyspieszenie kątowe definiujemy za pomocą wzoru $\overrightarrow{\epsilon }=\frac{\Delta \overrightarrow{\omega }}{\Delta t}$, który ma swój odpowiednik w postaci wzoru na przyspieszenie liniowe $\overrightarrow{a}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$), zatem:

Równanie to mówi, że w ruchu obrotowym przyspieszenie kątowe bryły jest proporcjonalne do wypadkowego momentu siły, a współczynnikiem proporcjonalności jest odwrotność momentu bezwładności bryły.

Znowu mamy tu analogię z wzorem $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ – wyrażającym drugą zasadę dynamiki punktu materialnego.

Chociaż pokazaliśmy, że wzór ten jest słuszny dla punktu materialnego, to jednak ma on znaczenie ogólne i stosuje się również do bryły sztywnej. Zapis wektorowy podstawowej zasady dynamiki ruchu obrotowego bryły sztywnej w postaci (4.53) ma znaczenie nie tylko czysto formalne, wyraża coś więcej. Mianowicie, mówi nam, że nie tylko szybkość zmiany momentu pędu jest równa wartości momentu siły, ale również kierunek i zwrot zmiany wektora momentu pędu $\Delta \overrightarrow{L}$ jest taki, jak kierunek i zwrot wektora momentu siły.

To, że moment pędu jest wektorem ma ogromne znaczenie, gdyż prawo zachowania momentu pędu (które omówimy w następnym podrozdziale) dotyczy nie tylko wartości momentu pędu, ale również kierunku. Oznacza to na przykład, że nie zmienia się w przestrzeni kierunek momentu pędu bryły odosobnionej, co w określonych warunkach umożliwia utrzymanie stałego kierunku jej osi obrotu. Właściwość ta ma wielorakie zastosowania i wyjaśnia wiele zjawisk!

Przykład 8

Jednorodna kulka stacza się bez poślizgu po równi pochyłej o kącie nachylenia do poziomu $\alpha$. Oblicz przyspieszenie kulki i porównaj je z przyspieszeniem klocka zsuwającego się bez tarcia z tej samej równi.

Rozwiązanie: Na kulkę wzdłuż równi działają dwie siły: składowa siły ciężkości ${\overrightarrow{F}}_s$ i $\overrightarrow{T}$ – siła tarcia (il. 4.37). Ruch kulki można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów: obrotowego względem osi $O$ przechodzącej przez jej środek i postępowego. Prostsze jednak rozwiązanie naszego zagadnienia otrzymamy, gdy rozpatrzymy obrotowy ruch kulki względem chwilowej osi $O^{\text{'}}$ przechodzącej przez punkt styku kulki z powierzchnią równi.

Zastosujemy wzór (4.55): $M=I\epsilon$. To właśnie siła $F_s$ wywołuje obrót kulki względem tej chwilowej osi obrotu. Ramię siły jest co do wartości równe promieniowi kulki $r$, zatem $M=F_{s}r$ lub $M=mgr\sin \alpha$, więc:

$$mgr\sin \alpha =I\epsilon$$

( 4.58 )

gdzie $I$ jest momentem bezwładności kulki względem osi $O^{\text{'}}$. Z twierdzenia Steinera:

$$I=I_0+m{r}^2=\frac{2}{5}m{r}^2+m{r}^2=\frac{7}{5}m{r}^2$$

(por. il. 4.16). Zatem:

$$mgr\sin \alpha =\frac{7}{5}m{r}^2\epsilon$$

Po podstawieniu przyspieszenia liniowego $a=\epsilon r$ (brak poślizgu) i po uproszczeniu otrzymamy:

$$a=\frac{5}{7}g\sin \alpha$$

( 4.59 )

Klocek zsuwający się z równi bez tarcia ma przyspieszenie $a_k=g\sin \alpha$ (dla klocka $F_s=m{a}_k$ lub $mg\sin \alpha =m{a}_k$, zatem $g\sin \alpha =a_k$). Widzimy, że przyspieszenie kulki jest mniejsze od przyspieszenia klocka o czynnik $5/7$.

Podamy jeszcze nieco inne podejście do rozwiązania naszego zagadnienia. Zauważmy, że równanie (4.57) mogliśmy otrzymać bez rozkładu siły ciężkości $F=mg$ na składowe. Na il. 4.34 widać, że ramię tej siły względem chwilowej osi obrotu $O^{\text{'}}$ wynosi $d=r\sin \alpha$, zatem jej moment względem tej osi jest równy $M=mgr\sin \alpha$, ale $M=I\epsilon$ – stąd równanie (4.57).

Pytania i problemy

1. Zdefiniuj moment pędu. Przedstaw argumenty potwierdzające, że moment pędu izolowanego układu ciał (izolowanej bryły) jest wielkością stałą w czasie.
2. Sformułuj podstawową zasadę dynamiki bryły sztywnej w ruchu obrotowym. Jaki skutek wywołuje działanie siły, której moment jest niezrównoważony?
3. Na koło o promieniu $r=\mathrm{0,5}\text{m}$ nawinięto nić i ciągnięto ją stałą siłą $F=3\text{N}$, w wyniku czego koło zaczęło się obracać wokół osi przechodzącej przez jego środek z przyspieszeniem $\epsilon =\mathrm{0,25}{\text{s}}^{-2}$. Ile wynosi moment bezwładności koła?
4. Rozpatrujemy punktowe ciało o masie $m=1\text{kg}$, na które nie działają żadne siły. Porusza się ono po linii prostej z prędkością $v=3\text{m}/\text{s}$. W punkcie $O$, odległym od prostej o $d=2\text{m}$, znajduje się obserwator, który mierzy moment pędu $L$ tego ciała. Wykaż, stosując wyrażenie (4.57), że moment pędu tego ciała nie zależy od jego położenia na prostej i oblicz jego wartość.
5. W przykładzie 8 wyprowadziliśmy wzór na przyspieszenie kulki staczającej się z równi pochyłej. Wyprowadź ten sam wzór, traktując ruch kulki jako złożenie ruchu obrotowego i postępowego środka masy.