5.D2. Dodatek: Energia potencjalna w polu grawitacyjnym – temat nadobowiązkowy

Wykażemy, że przybliżony wzór (5.38) na energię potencjalną ciała znajdującego się na wysokości $h$ nad Ziemią wynika z dokładnego wzoru (5.41). Ten ostatni wzór przewiduje, że energia potencjalna ciała o masie $m$ znajdującego się w odległości $r>R$ od środka Ziemi (która ma masę $M$ ), jest funkcją $r$ o postaci:

E_{pR}=-G\frac{Mm}{R}

( 5.61 )

Funkcja ta jest dobrana w taki sposób, że umowny poziom odniesienia dla zera energii potencjalnej przypada w nieskończoności.

Inaczej jest w przypadku funkcji:

E_{pR}=-G\frac{Mm}{R}

( 5.62 )

Przedstawia ona energię potencjalną jako liniową funkcję wysokości $h$ nad powierzchnią Ziemi. Ta funkcja zakłada umownie, że poziom zerowy energii potencjalnej przypada na powierzchni Ziemi, dla $\h=0\$ . Dla osiągnięcia naszego celu powinniśmy więc przeprowadzić dwa zabiegi. Po pierwsze, przyjąć ten sam umowny punkt odniesienia dla zera energii potencjalnej w obu funkcjach. Po drugie, powinniśmy w funkcji $E_{pr}$ zamienić zmienną $r$ na $h$ .

Z pierwszym zabiegiem mieliśmy już do czynienia w przykładzie 8. (paragraf 5.8). Zaproponowaliśmy tam przesunięcie (wzdłuż osi rzędnych, w kierunku dodatnim) funkcji $E_{pr}$ o stały czynnik $\frac{GMm}{R}$ . Uzyskujemy wtedy funkcję $E_{pRr}$ , daną wyrażeniem:

E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}

( 5.63 )

Funkcja ta spełnia warunek $E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}$ , gdy $\r=R\$ (czyli na powierzchni Ziemi). Przeprowadzony tu zabieg ilustruje wykres na il. 5.31.

Ilustracja 5.31. Wykres energii potencjalnych ciała o masie $m$ wyrażonych za pomocą dwóch funkcji $E_{pr}$ oraz $E_{pRr}$ , przesuniętych względem siebie wzdłuż osi energii o stały czynnik $\frac{GMm}{R}$

Można mieć wątpliwości, czy taki zabieg jest uprawniony. Przecież zmieniliśmy wartości energii potencjalnej ciała. Problem ten możemy rozstrzygnąć, wracając do wzoru 5.40 i wyprowadzając z niego najogólniejszą postać funkcji $E_{pr}$ .

E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}

( 5.64 )

Ta ostatnia równość obowiązuje dla dowolnej pary odległości $r_{1}$ i $r_{2}$ (pod warunkiem, że są one większe od $R$ – promienia obiektu, będącego źródłem pola grawitacyjnego). Oznacza to, że suma energii potencjalnej $E_{p}$ w dowolnej odległości $r$ od źródła pola (o symetrii sferycznej) oraz wyrażenia $\frac{GMm}{r}$ jest wielkością stałą. Jeśli oznaczymy tę stałą symbolem $C$ , to możemy zapisać:

E_{pR}+G\frac{Mm}{R}=C

( 5.65 )

tak więc:

E_{pR}=-frac{GMm}{r}+C

( 5.66 )

Stała wielkość $C$ może przy tym przybierać dowolną wartość (w jednostkach energii). Zgodnie ze stanem dzisiejszej wiedzy, nie ma żadnych przesłanek, które pozwalałyby przypisać jakąkolwiek wartość stałej $C$ w sposób obiektywny. Stałej tej możemy przypisać konkretną wartość tylko wtedy, gdy umówimy się (zaakceptujemy konwencję), dla jakiej wartości $r$ funkcja ta przyjmuje wartość zero.

Przyjmujemy więc, że energia potencjalna jest wielkością niemierzalną; mierzalne są jedynie zmiany energii potencjalnej, czyli praca. Oznacza to między innymi, że jakakolwiek pojedyncza wartość energii potencjalnej nie ma fizycznego znaczenia, jeśli nie podamy umownego poziomu zerowego dla tej energii.

Znaczenie ma natomiast zmiana energii potencjalnej, zachodząca przy przemieszczaniu się ciała z położenia $r_{1}$ do położenia $r_{2}$ . Zmiana ta, zgodnie ze wzorem (5.40), jest równa pracy wykonanej w trakcie tego przemieszczenia. Praca ta z kolei jest jednakowa we wszystkich możliwych opisach tego samego zagadnienia; nie zależy ona bowiem od wyboru wartości stałej $C$ .

W naszym przykładzie dla funkcji $E_{pr}$ wybrano stałą $\C=0\$ ; dla funkcji $E_{pRr}$ , stała $C=frac{GMm}{R}$ . To powoduje, że wartości tych funkcji są różne dla tego samego argumentu. Jednak zmiana wartości obu funkcji, $E_{p}$ i $E_{pRr}$ , zachodząca pomiędzy tymi samymi, dowolnie wybranymi, położeniami $r_{1}$ i $r_{2}$ , jest taka sama:

E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}

( 5.67 )

Drugi zabieg – zamiana zmiennej $r$ na zmienną $h$ jest znacznie prostszy. Polega on na zastąpieniu we wzorze (5.63) odległości $r$ (liczonej od środka Ziemi) wysokością $h$ (liczonej od powierzchni Ziemi).

Wstawiając zależność $r=R+h$ do:

E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}

( 5.68 )

otrzymujemy:

E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}

( 5.69 )

W wyrażeniu tym możemy wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik $G M m$ , wyrażenia w nawiasie sprowadzić do wspólnego mianownika i z tego mianownika wyciągnąć przed nawias czynnik $R_{2}$ :

E_{p}=-G\frac{Mm}{R+h}+G\frac{Mm}{R}=G\frac{Mmh}{R\left(R+h\right)}=G\frac{Mmh}{R^{2}\left(1+\frac{h}{R}\right)}

( 5.70 )

Po tych przekształceniach widzimy, że energia potencjalna ciała może być przedstawiona jako iloczyn trzech czynników. Dwa pierwsze to masa $m$ i natężenie pola grawitacyjnego Ziemi $g$ przy jej powierzchni (porównaj wzór 5.28, w którym wstawiono $\r=R\$ ). W trzecim czynniku możemy w mianowniku pominąć iloraz $frac{h}{R}$ wobec jedynki – wtedy czynnik ten to po prostu wysokość $h$ , na jakiej znajduje się ciało. Takie przybliżenie jest tym lepsze, im ta wysokość jest mniejsza w porównaniu z promieniem Ziemi. Ostatecznie więc, uzasadnione jest przyjęcie:

1+\frac{h}{R}\approx1

( 5.71 )

czyli uznanie, że:

$E_{pR}=-G\frac{Mm}{R}$

jest dobrym przybliżeniem wzoru 5.41.

Na koniec pokazujemy, na il. 5.32, graficzną interpretację faktu, że funkcja liniowa może być – w ograniczonym zakresie dziedziny – dobrym przybliżeniem funkcji nieliniowej.

Ilustracja 5.32. **Ilustracja przybliżenia energii potencjalnej grawitacji funkcją liniową**

W porównaniu z wykresem il. 5.31, na ilustracji il. 5.32 umieszczono (w kolorze zielonym) układ współrzędnych ( $h$ ; $E_{p}$ ). Jego punkt ( $0$ ; $0$ ) pokrywa się z punktem ( $R$ ; $0$ ) układu współrzędnych ( $r$ ; $E_{p}$ ), zgodnie z wykorzystaną przez nas zależnością $r=R+h$ . Zielona linia, będąca wykresem funkcji $E_{pR}=-G\frac{Mm}{R}$ , nie tylko ma punkt wspólny z wykresem funkcji $E_{pRr}$ w punkcie $\r=R\$ (czyli $\h=0\$ ); linia ta jest także styczna do linii niebieskiej w tym punkcie. Zapewnia to, że wartości energii potencjalnej określone linią zieloną tym mniej się różnią od wartości określonych linią niebieską, im mniej różnią się odległości $r$ od promienia Ziemi $R$ , czyli im bliższe zeru są wysokości $h$ .