5.2. Laboratoryjne potwierdzenie prawa grawitacji

Prawo powszechnego ciążenia zostało potwierdzone nie tylko przez obserwacje astronomiczne, ale również w „czterech ścianach” laboratorium. Pomiary Henry'ego Cavendisha, Philipa Jolly’ego i innych pozwoliły wyznaczyć stałą grawitacji $G$ z dużą dokładnością. Jaki sens fizyczny ma stała grawitacji? Przyjrzyjmy się wzorowi (5.1):

F=G\frac{mM}{r^{2}}

jeżeli podstawimy $m=1 kg$ , $M=1 kg$ oraz $r=1 m$ , to otrzymamy, że liczbowo $F_{1}=G$ . Stała grawitacji jest więc liczbowo równa sile, z jaką przyciągają się dwa ciała o masie jednego kilograma z odległości jednego metra:

F_{1}=\left|G\right|N=6,67\cdot10^{-11}\, N

Jest to niewątpliwie bardzo mała siła, gdyż nigdy na co dzień nie obserwujemy jej działania, nawet gdy mamy do czynienia z wielkimi masami. Na przykład, nikt nie zaobserwował, aby przyciągały się dwa załadowane TIR-y lub dwa wagony kolejowe.

Przykład 2

Dwa samochody ciężarowe TIR zaparkowały obok siebie w taki sposób, że ich środki mas znajdują się w odległości $r=15 m$ od siebie. Oblicz, z jaką siłą przyciągają się one, jeżeli wiadomo, że masa każdego z nich wynosi $m=20\, t=2\cdot10^{4}\, kg$ .

Rozwiązanie:

F=G\frac{m^{2}}{r^{2}}=6,67\cdot10^{-11}\frac{\left(2\cdot10^{4}\right)^{2}}{15^{2}}N=1,19\cdot10^{-4}\, N

Jest to naprawdę znikomo mała siła.

Widzimy, że pomiar siły grawitacji w warunkach laboratoryjnych wymagał bardzo dużej precyzji. Henry Cavendish przeprowadził takie precyzyjne doświadczenie w 1798 roku. Pomiar wykonał za pomocą tzw. „wagi skręceń”. Na nici kwarcowej zawiesił pręt z dwiema małymi kulkami na jego końcach. Do kulek tych zbliżał z obu stron dwie duże kule ołowiane (il. 5.4). Siły przyciągania skręcały pręt i nić kwarcową o pewien kąt. Kąt skręcenia mierzył za pomocą promienia odbitego od lusterka zawieszonego na nici kwarcowej. Znając wartość tego kąta, Cavendish mógł obliczyć siły przyciągania się kul. Pomiar wymagał wielkiej ostrożności, dlatego swoją „wagę” umieszczał w zamkniętej skrzyni w celu uniknięcia prądów powietrza, zaś odchylenie nici kwarcowej obserwował za pomocą lunety z innego pomieszczenia.

Ilustracja 5.4. **Pomiar siły grawitacji za pomocą „wagi skręceń” Cavendisha**

Pod koniec XIX wieku, w roku 1881, Philipp von Jolly opracował dokładniejszą metodę, stosując do pomiaru siły grawitacji czułą wagę (il. 5.5).

Ilustracja 5.5. **Pomiar siły grawitacji metodą Jolly'ego**

Pod jej szalkami umieścił jeszcze jedną parę szalek. Na jednej z dolnych szalek umieścił napełnioną rtęcią szklaną bańkę, ważącą 5 kg i zrównoważył ją, ustawiając odpowiedni odważnik na lewej szalce górnej. Bezpośrednio pod bańką z rtęcią umieścił wielką kulę ołowianą, zbudowaną z oddzielnych sztab, ważącą 5,8 t. Waga wychyliła się, gdyż kula przyciągnęła bańkę z rtęcią. Okazało się, że do zrównoważenia wagi trzeba było położyć na przeciwległej górnej szalce odważnik o masie zaledwie 0,566 mg. Zatem siła, z jaką kula przyciągnęła bańkę, wynosiła $F=5,55 mN$ .

Przekształcając odpowiednio wzór (5.1) i podstawiając dane doświadczalne, otrzymano wartość stałej grawitacji:

G=6,66\cdot10^{-11}\frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}

Najdokładniejsze współczesne pomiary wskazują na następującą wartość stałej grawitacji:

G=\left(6,673\pm0,003\right)\cdot10^{-11}\frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}

( 5.5 )

Zwróćmy uwagę, że niepewność pomiarowa stałej $G$ wynosi ok. 0,05%. Jednak warto wiedzieć, że inne stałe fizyczne są wyznaczane z dużo większą dokładnością.

Ważenie Słońca

Znając prawo grawitacji i stałą grawitacji, możemy wyznaczyć masę Słońca, Ziemi i innych ciał naszego układu planetarnego, nie opuszczając domu, w którym się znajdujemy.

W celu wyznaczenia masy Słońca należy najpierw zauważyć, że siła dośrodkowa utrzymująca Ziemię na orbicie wokół Słońca to siła przyciągania Ziemi do Słońca:

F=G\frac{mM}{r^{2}}

( 5.6 )

gdzie $m$ – masa Ziemi, $M$ – masa Słońca, $r$ – odległość Ziemi do Słońca równa promieniowi orbity Ziemi.

Zastosujemy wzór (2.34) na siłę dośrodkową w ruchu po okręgu (przyjmujemy, że kształt orbity Ziemi nie odbiega znacznie od okręgu):

F_{r}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}

( 5.7 )

gdzie $T$ – okres obiegu Ziemi (czyli rok).

Jak już wspomniano $F=F_{r}$ , zatem przyrównamy wzory (5.6) i (5.7):

G=\frac{mM}{r^{2}}=\frac{4\pi^{2}mr}{T^{2}}

Po przekształceniu otrzymamy wzór na masę Słońca:

M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}

( 5.8 )

Wszystkie wartości wielkości znajdujących się po prawej stronie tego wzoru można wyznaczyć doświadczalnie, będąc na Ziemi (bez konieczności wędrowania w Kosmos).

Promień orbity Ziemi wynosi

r=1,496\cdot10^{11}\, m

, okres obiegu (czyli rok)

T_{Z}=365,25

dób (jedna doba słoneczna wynosi

24 h = 86 400 s

) i stała grawitacji

G=6,67\cdot10^{-11}\, m^{3}/\left(kg\cdot s^{2}\right)

Po wstawieniu tych danych do wzoru (5.8) otrzymujemy masę Słońca:

M=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT_{Z}^{2}}=\frac{4\pi^{2}\left(1,496\cdot10^{11}\right)^{3}}{6,67\cdot10^{-11}\left(365,25\cdot86400\right)^{2}}=2\cdot10^{30}\, kg

Porównując masę Słońca z masą Ziemi $m=5,97\cdot10^{24}\, kg$ , nietrudno obliczyć, że Słońce ma masę ok. 335 000 razy większą od masy Ziemi.

Przykład 3

Znając prawo grawitacji (5.1), obliczmy jak wysoko nad Ziemią należy umieścić geostacjonarnego satelitę telewizyjnego oraz promień orbity $r_{s}$ , po której musi poruszać się satelita stacjonarny.

Rozwiązanie: Prędkość kątowa $\omega$ takiego satelity powinna być taka sama jak prędkość kątowa Ziemi w jej ruchu wirowym dookoła swojej osi. Zatem przyspieszenie dośrodkowe satelity, zgodnie z wzorem (1.65), wynosi $a=\omega^{2}r_{s}$ . Wartość przyśpieszenia satelity jest równa wartości przyśpieszenia ziemskiego $g_{s}$ w miejscu, gdzie on aktualnie przebywa, $a=g_{s}$ . Jest ono odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od środka Ziemi. Siła przyciągania ciała o masie $m$ na powierzchni Ziemi wynosi: $F=mg=\frac{GmM}{R^{2}}$ . Siła w odległości $r_{s}$ wynosi: $F_{s}=mg_{s}=\frac{GmM}{r_{s}^{2}}$ . Po podzieleniu stronami tych dwóch równań, otrzymamy $g_{s}=g\frac{R^{2}}{r_{s}^{2}}$ . Zatem przyspieszenie satelity:

g_{s}=g\frac{R^{2}}{r_{s}^{2}}

Stąd:

r_{s}^{3}=\frac{gR^{2}}{\omega^{2}}

Korzystając ze wzoru $\omega=\frac{2\pi}{T}$ , otrzymamy:

r_{s}^{3}=\frac{gR^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}

Po podstawieniu danych (promień Ziemi $R=6,378\cdot10^{6}\, m$ , okres obrotu Ziemi $T = 86 164 s = doba gwiazdowa$ ) otrzymujemy: $r_{s}=42,182\cdot10^{6}\, m$ . Satelita znajduje się nad powierzchnią Ziemi na wysokości $h=r_{s}-R$ , która wynosi:

h = 35 797 km

Ilustracja 5.6. **Satelita geostacjonarny iPSTAR-1 (Loral)**

Załadunek na pokład rosyjskiego samolotu transportowego Antonow AN-124 na lotnisku Moffett Field w Kalifornii (Stany Zjednoczone)

Ilustracja przedstawia komercyjnego satelitę telekomunikacyjnego iPSTAR-1 — Ilustracja 5.7. **Komercyjny satelita telekomunikacyjny iPSTAR-1 (Loral)**

Ten tajlandzki satelita, o masie prawie 6,5 tony, został umieszczony na orbicie geostacjonarnej w sierpniu 2005 roku. Wystartował on z Europejskiego Portu Kosmicznego ESA (Europejskiej Agencji Kosmicznej) w Gujanie Francuskiej, z którego rakieta Ariane wyniosła satelitę na orbitę i umieściła go w pozycji orbitalnej $119,5^{o}\,E$ . Położenie to predysponuje go do obsługi krajów środkowej i wschodniej Azji oraz Australii i Nowej Zelandii. Satelita iPSTAR-1 jako pierwszy zapewnił dwukierunkowe połączenie internetowe o dużej przepustowości.

Pytania i problemy

Korzystając z prawa grawitacji, wyraź sens fizyczny stałej grawitacji.
Dlaczego nie obserwuje się, aby dwa ciała, takie jak na przykład dwa autobusy, przyciągały się wzajemnie siłą grawitacji? Przecież siła wzajemnego przyciągania dotyczy absolutnie wszystkich ciał. Odpowiedź uzasadnij liczbowo.
Narysuj schemat wagi skręceń Cavendisha.
Dlaczego Cavendish, mierząc stałą grawitacji na swojej wadze skręceń, wykonywał pomiary z pewnej odległości, z sąsiedniego pokoju?
Dlaczego Jolly do zrównoważenia swojej wagi kładł ciężarki na górnej przeciwległej szalce, a nie na dolnej?