5.6. Pole grawitacyjne

Zgodnie ze współczesnym poglądem na podstawowe oddziaływania w przyrodzie, pośrednikiem i zarazem nośnikiem oddziaływań jest pole sił.

W dotychczasowych naszych rozważaniach nie mówiliśmy nic o mechanizmie oddziaływania grawitacyjnego. Przyjmowaliśmy milcząco, że wystarczy, aby dwa ciała znalazły się w pewnej odległości od siebie, a wystąpi między nimi oddziaływanie grawitacyjne. Taki sposób podejścia do oddziaływań między ciałami nazywamy oddziaływaniem na odległość. Ten pogląd utrzymał się w fizyce aż do drugiej połowy XIX wieku. Współcześnie przyjmuje się, że pośrednikiem i zarazem nośnikiem oddziaływań jest pole sił. W koncepcji oddziaływania na odległość, ciała oddziałują nawet wtedy, gdy nie stykają się ze sobą. Natomiast koncepcja polowa przyjmuje, że ciało będące źródłem oddziaływania wprowadza modyfikację otaczającej go przestrzeni, tworząc pole oddziaływań, które z kolei działa na ciała znajdujące się w tym polu. Ciało posiadające masę wytwarza wokół siebie pole grawitacyjne. Jeżeli w polu tym znajdzie się inne ciało o określonej masie, to na ciało to będzie działać siła grawitacji pochodząca od pola grawitacyjnego.

Ważnym elementem koncepcji polowej są linie sił. Wyobraźmy sobie ciało o masie $M$ w kształcie kuli (może to być np. jakaś planeta) – il. 5.19a. Umieśćmy w jej pobliżu w punkcie $A$ odległym o $r$ od jej środka jakieś małe ciało o masie $m\ll M$ , które będziemy nazywać „ciałem próbnym”. Na ciało próbne działa siła ciężkości:

F=G\frac{mM}{r^{2}}

( 5.26 )

Ilustracja 5.19. **Linie sił pola grawitacyjnego:**

a) w pobliżu kuli – pole centralne, b) w pobliżu płaskiej powierzchni, np. w pobliżu powierzchni Ziemi na niedużym obszarze – pole jednorodne

Jeżeli ciało próbne przesuniemy do punktu $B$ , to będzie na nie działać większa siła $F'$ , ale jej kierunek się nie zmieni. We wszystkich punktach prostej $A B$ kierunek siły grawitacji jest taki sam. Linia ta nazywa się „linią sił”. W ogólnym przypadku linią sił nazywamy linię, wzdłuż której (lub stycznie do której) na ciało próbne działają siły. Takich linii w otoczeniu kuli możemy wykreślić bardzo dużo. Linie sił w otoczeniu kuli rozmieszczone są promieniście (il. 5.19a). Pole o liniach sił rozmieszczonych promieniście nazywamy polem centralnym. Gdy mamy do czynienia z niedużymi obszarami w pobliżu powierzchni Ziemi, można przyjąć, że linie sił są równoległe do siebie i prostopadłe do powierzchni Ziemi (il. 5.19b). Takie pole, w którym linie sił są równoległe, czyli takie, które wszędzie ma taką samą wartość, kierunek i zwrot, nazywamy polem jednorodnym.

Natężenie pola grawitacyjnego

Aby móc porównywać pola grawitacyjne, stosujemy wielkość zwaną natężeniem pola, które definiujemy jako stosunek siły grawitacyjnej $\vec{F}$ działającej na ciało próbne w danym punkcie pola do masy $m$ tego ciała:

\vec{\gamma}=\frac{\vec{F}}{m}

( 5.27 )

Natężenie pola grawitacyjnego jest wielkością wektorową, której kierunek i zwrot w zadanym punkcie jest tożsamy z kierunkiem i zwrotem siły grawitacji działającej na ciało próbne umieszczone w tym punkcie.

Jeżeli teraz skorzystamy ze wzoru (5.26) do wyznaczenia wartości ilorazu $\frac{\vec{F}}{m}$ , to otrzymamy wzór na wartość natężenia pola pochodzącego od ciała kulistego:

\vec{\gamma}=G\frac{M}{r^{2}}

( 5.28 )

Widzimy, że $\gamma$ nie zależy od masy $m$ ciała próbnego, zależy natomiast od masy $M$ ciała wytwarzającego pole oraz od odległości $r$ danego punktu pola od środka ciała wytwarzającego pole. Zatem wielkość (5.27) charakteryzuje nam pole, niezależnie od tego, jakim ciałem próbnym się posługujemy. Jednostką natężenia pola jest $N/kg$ , jest to jednocześnie jednostka przyspieszenia $m\cdot s^{-2}$ .

Zwróćmy uwagę na to, że przyspieszenie grawitacyjne (choć inaczej definiowane) jest liczbowo równe wartości natężenia pola grawitacyjnego, ponieważ:

\vec{g}=\frac{\vec{F}}{m}

( 5.29 )

(porównaj ze wzorem (5.27)).

Ze wzoru (5.27) wynika, że natężenie pola grawitacyjnego jest tym większe, im większa jest masa $M$ ciała wytwarzającego pole i że natężenie pola centralnego słabnie z kwadratem odległości $r$ od źródła.

Zauważmy, że tam, gdzie pole jest słabsze, tam linie sił są rzadziej rozmieszczone (patrz il. 5.19a).

Przykład 7 (nadobowiązkowy)

Natężenie pola grawitacyjnego na zewnątrz ciała kulistego, np. na zewnątrz Ziemi, jest dane wzorem (5.28). Jak zmienia się natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz kuli wraz z odległością od jej środka? Przyjmiemy, że kula jest jednorodna, tzn. ma wszędzie jednakową gęstość $\rho$ .

Rozwiązanie: Zgodnie z treścią rozdziału 5.3. Grawitacja wewnątrz planety – temat nadobowiązkowy – jeżeli małe ciało $m$ znajduje się w punkcie $P$ wewnątrz dużej jednorodnej kuli o masie $M$ w odległości $r$ od jej środka (il. 5.19), to wypadkowa siła grawitacji działająca na ciało $m$ jest skierowana do środka kuli i wyraża się za pomocą wzoru:

F_{w}=G\frac{mM\left(r\right)}{r^{2}}

( 5.30 )

gdzie $M\left(r\right)$ jest masą rdzenia kuli o promieniu $r$ .

Ilustracja 5.20. Punkt materialny $P$ wewnątrz kuli jest przyciągany do środka kuli tylko przez jej część kulistą o promieniu $r$

Siłę tę można wyrazić za pomocą gęstości $\rho$ : $M\left(r\right)=\frac{4\pi r^{3}\rho}{3}$ , zatem:

F=G\frac{\frac{4\pi r^{3}\rho}{3}m}{r^{2}}=\frac{4}{3}\pi G\rho mr

( 5.31 )

Zgodnie ze wzorem (5.28) natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz planety:

\gamma\left(r\right)=\frac{4}{3}\pi G\rho r

( 5.32 )

Widzimy, że natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz kuli (jak również i siła grawitacji) rośnie liniowo wraz z odległością $r$ od środka kuli. Wykres natężenia pola grawitacyjnego, wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli, w zależności od odległości od jej środka, jest przedstawiony na il. 5.21.

Ilustracja 5.21. **Wykres natężenia pola grawitacyjnego wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli**

Pytania i problemy

Podaj definicję pola grawitacyjnego.
Co to jest natężenie pola grawitacyjnego? Podaj jego definicję. O czym informuje nas wartość natężenia pola grawitacyjnego?
Wiadomo, że masa Słońca jest 335 000 razy większa od masy Ziemi. W jakiej odległości $r$ od środka Słońca (na zewnątrz od niego) natężenie pola grawitacyjnego Słońca jest równe natężeniu ziemskiego pola grawitacyjnego na powierzchni Ziemi? Promień Ziemi wynosi $R_{Z}=6\,371\, km$ . Porównaj tę odległość z promieniem Słońca wynoszącym około 109 promieni Ziemi oraz z odległością Ziemia–Słońce, która wynosi około $R_{Z-S}=150\,000\,000\, km$ .
Rakieta porusza się ruchem prostoliniowym ze stałym przyspieszeniem, wskutek czego w rakiecie występują siły bezwładności. Wykreśl linie sił pola grawitacyjnego równoważnego polu sił bezwładności w rakiecie.
Rakieta porusza się ruchem jednostajnym po okręgu wokół Ziemi. Wykreśl linie sił pola grawitacyjnego Ziemi oraz linie pola sił bezwładności w rakiecie.