2.10. Dodatek: Model gazu elektronowego (temat nadobowiązkowy)

Główne założenia modelu

Model, który tu przedstawimy, jest bardzo uproszczony. Mimo to pozwala za pomocą elementarnych metod wyjaśnić wiele zjawisk zachodzących w metalach i półprzewodnikach.

Zbiór swobodnych elektronów w metalu potraktujemy jako gaz doskonały, zwany gazem elektronowym. W przewodnikach wykonanych z metali, takich jak na przykład miedź (jednowartościowa), w jednostce objętości jest tyle samo swobodnych elektronów (tzw. elektronów przewodnictwa), ile jest w niej atomów, ponieważ każdy atom sieci krystalicznej pozbywa się jednego elektronu, sam stając się dodatnim jonem. W przypadku miedzi koncentracja elektronów (czyli liczba elektronów mieszczących się w jednostce objętości) wynosi $n=8,4\cdot10^{22}\, cm^{-3}$ . Swoboda poruszania się elektronów jest ograniczona tylko do obszaru przewodnika, ponieważ dodatnie jony sieci tworzą wspólne pole, które utrudnia elektronom ucieczkę. W ten sposób elektrony w metalu znajdują się jak gdyby w pojemniku.

Przyjmiemy, że elektrony są w nieustannym chaotycznym ruchu i przy zderzeniach z jonami sieci doznają przypadkowych gwałtownych zmian prędkości i kierunku swojego ruchu (można wykazać, że wzajemne zderzenia między elektronami zdarzają się rzadko). Zderzenia te przypominają zderzenia cząsteczek w zwykłym gazie zamkniętym w zbiorniku. Dla średniej energii kinetycznej elektronów stosujemy takie samo równanie, jak dla energii kinetycznej cząsteczek gazu doskonałego (tom II, rozdział 6.8. Podstawowe równanie teorii kinetycznej gazów a równanie Clapeyrona), wzór:

\frac{m\overline{v^{2}}}{2}=\frac{3}{2}kT

( 2.48 )

Stąd możemy oszacować średnią prędkość elektronów w temperaturze pokojowej $T\approx300\, K$ . Zgodnie z wartościami tablicowymi przyjmiemy, że stała Boltzmanna wynosi $k=1,38\cdot10^{-23}\, J/K$ , a masa elektronu $m=9,1\cdot10^{-31}\, kg$ . Zatem:

\overline{v}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3\cdot1,38\cdot10^{-23}\cdot300}{9,1\cdot10^{-31}}}\frac{m}{s}=10^{5}\,\frac{m}{s}

( 2.49 )

Widzimy, że w stosunku do „zwykłych” prędkości jest to duża prędkość, gdyż wynosi 100 km/s, ale jest trzy tysiące razy mniejsza od prędkości światła.

Oceniona przez nas wartość średniej prędkości elektronów w metalu jest zaniżona w stosunku do wartości wynikającej z dokładniejszego modelu kwantowego:

\overline{v}\approx10^{6}\, m/s

Wyprowadzenie prawa Ohma

Co się dzieje z elektronami, gdy włączymy pole elektryczne? Czy pole zmieni ich chaotyczny ruch na uporządkowany? Nie – uporządkowany ruch tylko nieznacznie zmodyfikuje chaotyczny ruch elektronów, gdyż średnia prędkość uporządkowanego ruchu w kierunku pola jest o około $10^{9}$ razy mniejsza od średniej prędkości ruchu chaotycznego (patrz Przykład 7). Spójrz na il. 2.35. Niech czerwona linia przedstawia „tor” elektronu w gazie elektronowym pod nieobecność pola. Wówczas jego ruch w obecności pola będzie wyobrażony przez linię niebieską (w przybliżeniu – linia łamana). W efekcie wielu zderzeń elektron znajdzie się w miejscu $B'$ , zamiast w miejscu $B$ , gdzie trafiłby przy braku pola. Dozna zatem przesunięcia wypadkowego $x$ .

Ilustracja 2.35. Linia czerwona wyobraża ruch elektronu przewodnictwa pod nieobecność pola, linia niebieska – modyfikację ruchu pod wpływem pola

W polu o natężeniu $\vec{E}$ elektrony doznają działania siły $\vec{F}=e\vec{E}$ i uzyskują przyśpieszenie $\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{e\vec{E}}{m}$ na odcinku drogi swobodnej $\lambda$ między zderzeniami. W czasie $\Delta t$ ruchu na drodze swobodnej elektron nabywa w kierunku pola prędkości $\vec{u}$ . Przy każdym zderzeniu traci tę prędkość, po czym na następnym odcinku znowu nabywa ją od pola prędkości, ale ma ona wówczas inną wartość. Średnia prędkość elektronu $u_{D}$ w kierunku pola nazywa się prędkością unoszenia lub prędkością dryfu (dryftu). Odcinki drogi swobodnej mają różne, zupełnie przypadkowe długości. Dodatkowe przesunięcia elektronu w polu wynoszą:

$\Delta x_{1}=\frac{1}{2} a\Delta t_{1}^{2}$ , $\Delta x_{2}=\frac{1}{2} a\Delta t_{2}^{2}$ itd.

Wszystkie przesunięcia $\Delta x_{i}$ mają ten sam kierunek i zwrot (taki jak przyspieszenie $\vec{a}$ ), dlatego po dłuższym czasie $t$ elektron dozna przesunięcia:

x=\Delta x_{1}+\Delta x_{2}+...+\Delta x_{n}=\frac{a}{2}\left(\Delta t_{1}^{2}+\Delta t_{2}^{2}+...+\Delta t_{n}^{2}\right)

Średnia prędkość ruchu uporządkowanego elektronu wyniesie:

u_{D}=\frac{x}{t}=\frac{a\tau}{2}

gdzie

\tau=\frac{\Delta t_{1}^{2}+\Delta t_{2}^{2}+...+\Delta t_{n}^{2}}{t}

( 2.50 )

nazywamy średnim czasem swobodnego przelotu elektronu. Ponieważ $a=\frac{eE}{m}$ , więc:

u_{D}=\frac{e\tau E}{2m}

( 2.51 )

Prędkość dryftu $u_{D}$ jest ważną wielkością fizyczną, gdyż za jej pomocą można wyrazić natężenia prądu elektrycznego $I$ oraz gęstości prądu $j$ . Wiemy, że natężenie $I$ wyraża się wzorem:

I=\frac{\Delta q}{\Delta t}

( 2.52 )

Prąd elektryczny w przewodniku to przepływ sumarycznego ładunku, na który składają się pojedyncze ładunki elektronów $e$ . Czyli natężenie prądu można wyrazić za pomocą $\Delta q$ – sumarycznego ładunku elektronów przepływających przez przekrój przewodnika $S$ w jednostkowym czasie $\Delta t=1s$ , Widzimy na il. 2.36, że ten ładunek $\Delta q$ zawarty jest w zacieniowanym obszarze cylindrycznego przewodnika o objętości $\Delta V=S\Delta x$ .

W jednostkowej objętości $1\, cm^{3}$ przewodnika znajduje się $n$ elektronów swobodnych, dlatego w objętości $\Delta V$ będzie ich $\Delta n=n\Delta V$ . Zatem sumaryczny ładunek

\Delta q=e\Delta n=en\Delta V=enS\Delta x

( 2.53 )

Po podstawieniu tu $\Delta x=u_{D}\Delta t$ , otrzymamy:

\Delta q=enSu_{D}\Delta t

( 2.54 )

Po podstawieniu do wzoru (2.52) mamy:

I=\Delta q=enSu_{D}

( 2.55 )

Ilustracja 2.36. Przez przekrój poprzeczny przewodnika $S$ w ciągu czasu $\Delta t$ przejdzie (wypadkowo) tyle elektronów, ile znajduje się ich w objętości zacieniowanej na rysunku, $\Delta V=S\,\Delta x$

Teraz możemy już łatwo obliczyć gęstość prądu. Przypomnijmy sobie, co to jest gęstość prądu. Średnia gęstość prądu $j$ jest to stosunek natężenia prądu do pola przekroju poprzecznego przewodnika:

j=\frac{I}{S}

( 2.56 )

czyli gęstość prądu jest równa natężeniu prądu przepływającemu przez jednostkowy przekrój przewodnika (np. $1\, cm^{2}$ ):

j=e\, n\, u_{D}

( 2.57 )

Ilustracja 2.37. a) gęstość prądu liczbowo jest wyrażona przez $\Delta q'$ , b) przez jednostkowy przekrój poprzeczny przewodnika w ciągu 1 s przejdzie (wypadkowo) tyle elektronów, ile znajduje się ich w objętości zacieniowanej na rysunku, czyli: $n'=n\, u_{D}$

Po podstawieniu prędkości $u_{D}$ ze wzoru (2.51) mamy:

j=\frac{e^{2}n\tau}{2m}E

( 2.58 )

Widzimy, że gęstość prądu zależy wprost proporcjonalnie od natężenia pola $E$ , gdyż współczynnik przy $E$ jest stały (czas $\tau$ praktycznie nie zależy od $E$ ). Wprowadzając oznaczenie:

\sigma=\frac{e^{2}n\tau}{2m}

( 2.59 )

możemy wzór (2.58) zapisać w postaci:

j=\sigma E

( 2.60 )

Bardzo łatwo możemy się przekonać, że jest to prawo Ohma wyrażone w innej niż (2.9) postaci (jest to tzw. lokalna postać prawa Ohma). Natężenie jednorodnego pola $E$ w prostoliniowym przewodniku o długości $l$ , na którego końcach panuje napięcie $U$ , wynosi $E=\frac{U}{l}$ (wzór (1.29)). Gęstość prądu w przewodniku o powierzchni przekroju poprzecznego $S$ wynosi $j=\frac{I}{S}$ . Po podstawieniu tych dwóch wzorów do (2.59) oraz przyjęciu, że $\sigma=\frac{1}{\rho}$ , otrzymamy znane nam równanie (2.9) przedstawiające prawo Ohma:

\frac{I}{S}=\frac{1}{\rho}\cdot\frac{U}{l}

skąd

I=\frac{U}{\rho\cdot\left(\frac{l}{S}\right)}=\frac{U}{R}

Wykorzystaliśmy tu wzór (2.10) na opór przewodnika: $R=\rho\frac{l}{S}$ (stały współczynnik we wzorze (2.60) oznaczony został symbolem $\sigma$ nie bez przyczyny, gdyż odgrywa on w prawie Ohma rolę przewodności właściwej, czyli odwrotności oporu właściwego, $\sigma=\frac{1}{\rho}$ ).

Widzimy, że – korzystając z modelu gazu elektronowego – teoretycznie byliśmy w stanie wyprowadzić jeden z podstawowych wzorów doświadczalnych dla prądu elektrycznego – prawo Ohma. Jednakże model ten oddaje rzeczywistość tylko w sposób przybliżony i w przypadku bardziej skomplikowanych zagadnień zawodzi. Jest on bowiem oparty na klasycznej fizyce i nie uwzględnia współczesnej wiedzy z zakresu mechaniki kwantowej.

Przykład 7

W drucie miedzianym o średnicy $2r=1\, mm$ płynie prąd o natężeniu $I=1\, A$ . Jaka jest średnia prędkość unoszenia elektronów?

Rozwiązanie: Ze wzoru (2.56) mamy:

u_{D}=\frac{j}{ne}

Gęstość prądu wynosi:

j=\frac{I}{\pi r^{2}}

Zatem:

u_{D}=\frac{I}{\pi ner^{2}}

( 2.61 )

Podstawiając tu koncentrację elektronów w miedzi $n=8,4\cdot10^{28}\, m^{-3}$ oraz pozostałe wielkości liczbowe, otrzymamy:

u_{D}=\frac{1\, A}{3,14\cdot\left(8,4\cdot10^{28}\, m^{-3}\right)\left(1,6\cdot10^{-19}\, C\right)\left(0,5\cdot10^{-3}\, m\right)^{2}}

zatem:

u_{D}=9,5\cdot10^{-5}\,\frac{m}{s}=0,095\,\frac{mm}{s}

Widzimy, że jest to prawdziwie żółwie tempo! W ciągu 10 sekund elektrony przebywają niecały milimetr. Jednakże prędkości unoszenia elektronów nie należy identyfikować z prędkością rozchodzenia się zmian pola elektrycznego wzdłuż drutu. Ta ostatnia jest rzędu prędkości światła. Po włączeniu pola do obwodu elektrycznego elektrony startują prawie natychmiast w całym obwodzie, nawet w najdalszych jego miejscach. Dlatego po włączeniu przełącznika lampa pod sufitem zapala się natychmiast, chociaż w czasie jej świecenia elektrony przemieszczają się przez włókno żarówki w „żółwim” tempie.

Przykład 8

Oblicz średni czas $\tau$ swobodnego przelotu elektronu na odcinku drogi swobodnej w drucie miedzianym. Koncentracja elektronów swobodnych wynosi $n=8,4\cdot10^{28}\, m^{-3}$ , a opór właściwy miedzi wynosi $\rho=1,7\cdot10^{-8}\,\Omega\cdot m$ .

Rozwiązanie: Ponieważ zgodnie ze wzorem (2.11) opór właściwy jest odwrotnością przewodnictwa właściwego, $\rho=\frac{1}{\sigma}$ , więc ze wzoru (2.59) mamy:

\frac{1}{\rho}=\frac{e^{2}n\tau}{2m}

Stąd

\tau=\frac{2m}{ne^{2}\rho}

( 2.62 )

Zatem:

\tau=\frac{2\cdot9,1\cdot10^{-31}\, kg}{\left(8,4\cdot10^{28}\, m^{-3}\right)\left(1,6\cdot10^{-19}\, C\right)\left(1,7\cdot10^{-8}\,\Omega\cdot m\right)}=5\cdot10^{-14}\, s

Elektron w gazie elektronowym doznaje:

z=\frac{1}{\tau}=\frac{e^{2}n\rho}{2m}

( 2.63 )

zderzeń w czasie jednej sekundy. W naszym przykładzie mamy więc:

z=\frac{1}{\tau}=2\cdot10^{13}

Pytania i problemy

Scharakteryzuj gaz elektronowy.
Wytłumacz, dlaczego elektrony stanowiące gaz elektronowy i poruszające się z bardzo dużymi prędkościami nie uciekną z przewodnika.
Wiemy, że elektron jest lżejszy od przeciętnego atomu kilkadziesiąt tysięcy razy. Ile razy średnia prędkość elektronu w gazie elektronowym przewyższa średnią prędkość cząsteczek w zwykłym gazie w tej samej temperaturze?
Wyjaśnij, na czym polega modyfikacja ruchu elektronów w metalu następująca, gdy włączymy pole elektryczne i przez przewodnik popłynie prąd.
Co rozumiemy przez prędkość unoszenia elektronów w przewodniku? Oszacuj, ile razy średnia prędkość chaotycznego ruchu elektronów jest większa od prędkości unoszenia.
Wyjaśnij, dlaczego żarówka zaczyna świecić prawie natychmiast po zamknięciu wyłącznika, mimo że prędkość unoszenia elektronów w przewodniku jest bardzo mała.
Dany jest ładunek elektronu $e$ , koncentracja elektronów $n$ oraz ich prędkość unoszenia. Napisz równania przedstawiające zależność gęstości prądu w metalach od koncentracji elektronów swobodnych i prędkości unoszenia.
Na podstawie prawa Ohma wyprowadź związek między gęstością prądu i natężeniem pola elektrycznego.
Natężenie pola elektrycznego wewnątrz metalu umieszczonego w polu elektrostatycznym ma wartość zero. Dlaczego nie znika pole elektryczne w przewodniku, przez który płynie prąd? Wskazówka: Rozważ podobieństwa i różnice między sytuacja elektrostatyczną a dynamiczną – gdy płynie prąd w przewodniku.
Zastanów się, czy można by przyjąć konwencję, że elektrony mają ładunek dodatni, a protony – ujemny. Wyjaśnij, jaki miałoby to wpływ na określanie kierunku przepływu prądu.