3.8. Prawo Biota-Savarta. Kołowa pętla z prądem

Prawo Ampère'a pozwala wyznaczać indukcję $\vec{B}$ dla pól magnetycznych pochodzących od prądów wyróżniających się wysoką symetrią, w przypadku których stosunkowo prosto można obliczyć cyrkulację indukcji. W bardziej skomplikowanych przypadkach jest ono mało przydatne ze względu na trudności rachunkowe. Wtedy przychodzi nam z pomocą prawo Biota-Savarta, które w magnetyzmie odgrywa rolę podobną do prawa Coulomba w elektrostatyce.

W nauce o elektryczności (rozdział 1.4. Pole elektrostatyczne powstałe w wyniku szczególnych rozkładów ładunków) podaliśmy ogólny wzór służący do obliczenia natężenia pola elektrycznego pochodzącego od wielu cząstkowych ładunków $\Delta Q$ . Jest ono sumą (wektorową) składowych elementów pola. Wartość elementu natężenia pola jest wyrażona wzorem:

\Delta E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\Delta Q}{r^{2}}

( 3.36 )

Aby uzyskać wektor $\Delta\vec{E}$ , należy wartość $\Delta E$ pomnożyć przez wektor jednostkowy $\frac{\vec{r}}{r}$ (wskazujący kierunek i zwrot wektora $\Delta\vec{E}$ ):

\Delta\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\Delta Q}{r^{2}}\cdot\frac{\vec{r}}{r}

skąd

\Delta\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\Delta Q\vec{r}}{r^{3}}

( 3.37 )

Podobnie postępujemy w przypadku pola magnetycznego – stosujemy do zdefiniowania elementu indukcji $\Delta B$ w miejscu odległym o $r$ od elementu prądu $I\Delta l$ wzór Biota-Savarta:

\Delta B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{I\Delta l\sin\theta}{r^{2}}

( 3.38 )

Jest on analogiczny do wzoru (3.36) wynikającego z prawa Coulomba obowiązującego w elektrostatyce. Na il. 3.32 pokazane są wzajemne relacje między wielkościami wchodzącymi w skład wzoru (3.38). Indukcja $\Delta\vec{B}$ pola magnetycznego w punkcie $P$ pochodzi od elementu prądu $I\Delta\vec{l}$ . Od tego elementu do punktu $P$ poprowadzony jest promień wodzący $\vec{r}$ . Kąt między tym promieniem a elementem $\Delta\vec{l}$ oznaczono przez $\theta$ . Kierunek i zwrot wektora $\Delta\vec{B}$ jest określony przez iloczyn wektorowy $\Delta\vec{l}\times\vec{r}$ . Zatem wzór wektorowy wyrażający prawo Biota-Savarta przedstawia się następująco:

\Delta\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{I\Delta\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}

( 3.39 )

Tu również widzimy analogię do prawa Coulomba w postaci wektorowej (3.37).

Ilustracja 3.32. **Indukcja $\Delta\vec{B}$ pola magnetycznego wytworzonego przez element prądu $I\Delta\vec{l}$**

Przykład 8

Wyznacz wartość wektora $\vec{B}$ na osi kołowego przewodnika z prądem, tzw. pętli kołowej prądu (il. 3.33).

Ilustracja 3.33. **Indukcja $\Delta\vec{B}$ pola magnetycznego wytworzonego przez element prądu $I\Delta\vec{l}$ przewodnika kołowego**

Rozwiązanie: Element $\Delta\vec{l}$ jest prostopadły do promienia $\vec{r}$ (kąt $\theta=90^{\circ}$ ). Zatem zgodnie z prawem Biota-Savarta (3.38):

\Delta B=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{I\Delta l}{r^{2}}

( 3.40 )

Składową wzdłuż osi $\Delta B_{x}$ otrzymamy, gdy $\Delta B$ pomnożymy przez $\sin\alpha=\frac{R}{r}$ :

\Delta B_{x}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}I\frac{R}{r^{3}}\Delta l

( 3.41 )

Ze względu na obrany zwrot osi „x”, składowa $\Delta B_{x}$ powinna być ujemna, podobnie jak obliczona poniżej składowa $B_{x}$ . Ponieważ jednak obliczamy wartość wektora $B$ , to znak ten nie ma w dalszych rozważaniach żadnego znaczenia.

Całkowita składowa osiowa indukcji $\vec{B}$ pochodząca od całego okręgu, wynosi:

B_{x}=\sum\Delta B_{x}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}I\frac{R}{r^{3}}\sum\Delta l

Jeżeli uwzględnimy, że $\sum\Delta l=2\pi R$ , to otrzymamy:

B_{x}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}I\frac{R}{r^{3}}\left(2\pi R\right)=\frac{\mu_{0}}{2\pi}I\frac{\pi R^{2}}{r^{3}}

( 3.42 )

Należy zauważyć, że całkowite wypadkowe pole magnetyczne we wszystkich punktach położonych na osi przewodnika kołowego będzie równe tylko sumie składowych $\Delta B_{x}$ , czyli $B=B_{x}$ , gdyż składowe prostopadłe do osi $\Delta B_{\perp}$ wzajemnie się zniosą, czyli $\sum\Delta B_{\perp}=0$ . Wynika to stąd, że dla każdego elementu $\Delta l$ przewodnika można znaleźć drugi – leżący po przeciwnej stronie okręgu – element, który wytwarza składową $\Delta B_{\perp}$ równą co do wartości, ale o przeciwnym znaku. Zatem wartość wektora indukcji $\vec{B}$ pola magnetycznego na osi przewodnika kołowego z prądem wynosi:

B=\frac{\mu_{0}}{2\pi}\cdot\frac{IS}{r^{3}}

( 3.43 )

gdzie $S=\pi R^{2}$ jest polem powierzchni rozpiętej na przewodniku kołowym. Zauważmy, że $r$ zmienia się w zakresie od $R$ do nieskończoności.

Iloczyn natężenia prądu płynącego w pętli kołowej i pola powierzchni ograniczonej tą pętlą, $I S$ , nosi nazwę dipolowego momentu magnetycznego. Oznaczamy go zwykle symbolem $p_{m}$ :

p_{m}=IS

( 3.44 )

Tę definicję dipolowego momentu magnetycznego można stosować dla płaskiego obwodu prądowego o dowolnym kształcie, nie tylko kołowego (zauważ, że indukcja $\vec{B}$ pola dipola zmniejsza się wraz z odległością – odwrotnie proporcjonalnie do trzeciej potęgi odległości).

Z wyrażenia (3.42) możemy także wyprowadzić wzór na indukcję pola $B$ w środku pętli. Wystarczy zauważyć, że wtedy $r=R$ i dokonać odpowiednich uproszczeń:

B=B_{x}=\frac{\mu_{0}I}{2R}

( 3.45 )

Pytania i problemy

Wytłumacz, w jakim celu stosujemy prawo Ampère'a, a w jakim – prawo Biota-Savarta.
Czy elektron w atomie wodoru wytwarza pole magnetyczne?
Oblicz wartość indukcji pola magnetycznego w środku orbity Bohra elektronu w atomie wodoru w stanie podstawowym $n=1$ .