Gdy przez zwojnicę płynie zmienny prąd, wytwarza on strumień pola magnetycznego, który przechodzi przez zwojnicę i sam się zmienia. Zmiana pola wywołuje w tej zwojnicy SEM indukcji. Zjawisko to nazywamy samoindukcją.

Aby zrozumieć zjawisko samoindukcji, przyjrzymy się sytuacji przedstawionej na il. 4.14.

a) Jeżeli przez pętlę $1$ przepuścimy zmienny prąd, to zmienne pole magnetyczne przenikające przez pętlę $2$ będzie wytwarzać w niej SEM indukcji.

b) Ten sam prąd przepływający przez solenoid $1$ składający się z kilku pętli wytworzy wielokrotnie silniejsze pole magnetyczne i wywoła w pętli $2$ większą SEM, gdyż pola magnetyczne pochodzące od prądu w każdej pętli nakładają się na siebie.

c) Jeszcze większą SEM indukcji uzyskamy, jeżeli pętla $2$ będzie się składać z więcej niż jednego zwoju, gdyż wówczas strumień wektora $\overrightarrow{B}$ przepływa przez wiele zwojów, wywołując w każdym z nich SEM; te SEM się dodają.

d) Zmienny prąd w pętli $1$ wywoła w połączonej z nią pętli $2$ SEM indukcji, podobnie jak poprzednio. Ale również zmienny prąd w pętli $2$ wywoła SEM indukcji w pętli $1$.

e) Sytuacja jest tu podobna do przypadku d). Zmienny prąd płynący w każdym ze zwojów solenoidu oddziałuje na pozostałe, wywołując w całym solenoidzie siłę elektromotoryczną samoindukcji (podział na pętlę $1$ i $2$ jest tu całkowicie dowolny i został na rysunku zachowany tylko w celu dydaktycznym, aby było łatwiej zrozumieć powiązanie tego przypadku z poprzednimi).

Przejdźmy teraz do rozważań ilościowych. Weźmy pod uwagę solenoid, przez który przepływa prąd zmienny. W celu wyrażenia siły elektromotorycznej indukcji w solenoidzie za pomocą natężenia prądu zmiennego $I$, zastosujmy ogólne prawo indukcji Faradaya (4.7): $E_{\mathrm{ind}}=-\frac{\Delta {\Phi }_B}{\Delta t}$. Obliczmy najpierw zmianę strumienia wektora przenikającego przez solenoid. Strumień przechodzący przez jeden zwój jest równy iloczynowi wektora $\overrightarrow{B}$ i pola powierzchni $S$ zwoju: $\Phi =BS$. Ponieważ solenoid ma $N$ zwojów, całkowity strumień:

Liczbę zwojów można wyrazić jako $N=nl$, gdzie $l$ – długość solenoidu, $n$ – gęstość liniowa uzwojenia. Natomiast $B={\mu }_{0}nI$ (patrz wzór (3.31)). W obecności substancji o przenikalności magnetycznej ${\mu }_r$ zachodzi $B={\mu }_r{\mu }_{0}nI$, zatem:

Widzimy, że wielkość $L$ jest stała (nie zależy od wartości natężenia prądu $I$) i dla długiego solenoidu:

Nazywamy ją współczynnikiem indukcji własnej albo – krótko – indukcyjnością. Zauważmy, że iloczyn $Sl=V_{obj}$ jest objętością solenoidu, więc:

Indukcyjność jest dla danego obwodu elektrycznego stała i zależy od jego rozmiarów geometrycznych. Jednostką indukcyjności jest henr $\text{(}\text{H}\text{)}$. Zgodnie z ogólnym wzorem

jeden henr jest to wartość indukcyjności takiego obwodu, w którym prąd o natężeniu jednego ampera wytwarza strumień jednego webera $\text{(}\text{Wb}\text{)}$. Ponieważ $1\text{Wb}=1\text{V}\cdot 1\text{s}$ – (można to wyprowadzić, analizując jednostki we wzorze (4.8)), to jeden henr wyraża się jako $1\text{V}\cdot 1\text{s}/1\text{A}=1\text{Ω}\cdot 1\text{s}$.

Ze wzoru (4.11) wynika, że jeżeli przez obwód płynie stały prąd, to strumień pola magnetycznego nie ulega zmianie. Wtedy $\frac{\Delta {\Phi }_B}{\Delta t}=0$, więc w obwodzie nie występuje SEM samoindukcji $\text{(}{E}_{\mathrm{ind}}=0\text{)}$. Gdy prąd zmienia swoją wartość, wówczas zmienia się również strumień. W czasie $\Delta t=t_2-t_1$ zmiana strumienia wynosi $\Delta {\Phi }_B={\Phi }_2-{\Phi }_1$. Korzystając ze wzorów (4.8) oraz (4.11), możemy napisać:

Otrzymaliśmy zatem wzór na SEM samoindukcji:

Znak minus we wzorze jest wyrazem reguły Lenza. Gdy natężenie prądu w obwodzie narasta, SEM samoindukcji temu przeszkadza – znak SEM samoindukcji jest przeciwny do znaku różnicy potencjałów na zaciskach uzwojenia. Natomiast gdy natężenie prądu w obwodzie maleje, SEM samoindukcji przeszkadza temu, co wyraża się znakiem takim samym, jak znak różnicy potencjałów na zaciskach uzwojenia. W ten sposób samoindukcja podtrzymuje w obwodzie malejący prąd.

Pytania i problemy

1. W przykładzie (rozdział 3.7. Pole magnetyczne solenoidu) opisano cewkę, która może wytworzyć pole $B$ o określonej indukcji. Oblicz: a) indukcyjność cewki bez rdzenia $L_0$, b) przenikalność ${\mu }_r$ rdzenia, który należy umieścić w jej wnętrzu, by uzyskać cewkę o indukcyjności $L=1\text{H}$.
2. Przyjmij, że cewkę z rdzeniem z poprzedniego zadania zasilono napięciem stałym $U=2\text{V}$. Po czasie ok. 0,12 s stwierdzono, że natężenie prądu $I$ w obwodzie praktycznie przestało wzrastać i ustabilizowało się na poziomie $I_{\max }$. Wobec tego, po tym czasie, natężenie prądu jest stałe. Można zatem zastosować prawo Ohma, gdyż cewka, prócz indukcyjności $L$ (która teraz już nie wpływa na natężenie prądu), ma opór elektryczny $R$ – jest to opór przewodu, z którego ją nawinięto.
   1. W pierwszym przybliżeniu przyjmij, że natężenie prądu $I$ narastało liniowo (il. 4.16a). Oblicz średnią wartość SEM samoindukcji podczas narastania prądu zgodnie z tą hipotezą.

      

   2. Dokładniejsza analiza pokazuje, że natężenie prądu $I$ narastało nieliniowo, osiągając wartość $I_{\max }$ asymptotycznie (il. 4.17b). Oblicz średnią wartość SEM samoindukcji podczas narastania prądu zgodnie z tym założeniem. Przyjmij na przykład, że w każdym z sześciu odcinków czasowych o długości $\Delta t=\mathrm{0,02}\text{s}$ natężenie prądu zmieniało się liniowo i skorzystaj z siatki na wykresie $I\left(t\right)$ oraz z tabeli na il. 4.18c.

      

      

   3. Porównaj wyniki otrzymane w poleceniach „a” i „b”. Uzasadnij, że wynik uzyskany metodą „b” jest lepszym przybliżeniem średniej SEM.