Spektrograf i spektroskop

Jak już wspomniano, do otrzymywania widma służą nam pryzmat lub siatka dyfrakcyjna, które stanowią podstawowy element w spektrografie. Prosty schemat spektrografu przedstawiono na il. 8.34. Światło po przejściu przez szczelinę $Sz$ umieszczoną w ognisku soczewki $L_1$ (szczelina wraz z tą soczewką stanowi tzw. kolimator $K$) pada na siatkę dyfrakcyjną $S$ w postaci wiązki równoległej. Siatka ugina fale światła tym silniej, im dłuższa fala na nią pada. W wyniku ugięcia niejednorodna wiązka światła zostaje rozłożona na barwy składowe.

To światło pada z kolei na soczewkę $L_2$, która skupia promienie na kliszy fotograficznej. Zamiast na kliszę światło może wpadać, za pośrednictwem okularu, bezpośrednio do oka obserwatora. Soczewka $L_2$ z okularem to tzw. lunetka. Przyrząd, w którym zastosuje się obserwację wizualną widma, nazywa się spektroskopem. Lunetkę umieszcza się na kole kątomierza z podziałką pozwalającą na precyzyjny pomiar kąta ugięcia $\vartheta$.

Rodzaje widm

Przypomnimy teraz pokrótce informacje o widmach, z którymi zetknęliśmy się już w pierwszej klasie w rozdziałach 2.1 Promieniowanie termiczne i 2.3 Widma promieniowania gazów. Poznamy przy tej okazji nowy rodzaj widma emisyjnego.

Wszystkie widma emisyjne można podzielić na trzy typy: ciągłe, liniowe i pasmowe. Niezależnie od tego wyróżniamy widma pochłaniania, czyli absorpcyjne.

Widma ciągłe otrzymujemy wtedy, gdy źródło wysyła światło, w którym reprezentowane są wszystkie długości fal z określonego zakresu. Słońce wysyła światło o widmie ciągłym.

Doświadczenie wykazuje, że światło o widmie ciągłym jest promieniowane przez rozgrzane do wysokiej temperatury ciała stałe, ciecze oraz bardzo silnie zagęszczone gazy. Widmo ciągłe daje również plazma – stan gazowy o bardzo wysokiej temperaturze, w którym występują silnie zjonizowane atomy i swobodne elektrony.

Charakter widma ciągłego jest uwarunkowany nie tylko wysyłaniem światła przez pojedyncze atomy, ale również przez oddziaływania między nimi we wspomnianych wyżej ciałach.

Widmo liniowe składa się z nieciągłego zbioru długości fal wysyłanych przez gazy będące w stanach atomowych, a nie molekularnych. Widma liniowe można otrzymać wtedy, gdy podgrzejemy gaz w płomieniu lub pobudzimy go do świecenia w rurce wyładowczej przy przyłożeniu wysokiego napięcia.

Obraz widma liniowego w spektrografie składa się z układu oddzielnych ostrych linii, będących obrazami dyfrakcyjnymi szczeliny kolimatora.

Pojedyncze atomy nieoddziałujące ze sobą wysyłają ściśle określone długości fal. Zestaw tych długości fal można podzielić na tzw. serie widmowe. Są to określone ciągi linii widmowych, których położenie w widmie jest specyficzne dla atomów określonego pierwiastka chemicznego. Można powiedzieć, że skoro za pomocą odcisków palców można zidentyfikować człowieka, to za pomocą znajomości rozkładu linii widmowych można identyfikować pierwiastki chemiczne, których atomy wysyłają światło o określonych długościach fali. Na tym opiera się spektralna analiza chemiczna. Obecnie znane są widma atomowe wszystkich pierwiastków – są one zestawione w specjalnych tablicach spektralnych. Za pomocą analizy widmowej odkrywano nowe pierwiastki, którym nazwy nadawano, kierując się barwą dominujących linii widma. Na przykład cez oznacza kolor niebiesko-błękitny. Hel najpierw był odkryty w widmie atmosfery słonecznej – stąd nazwa: hel oznacza słoneczny.

Widmo pasmowe. W przypadku gdy światło jest emitowane przez molekuły gazu nie oddziałujące ze sobą lub słabo oddziałujące, to w widmie obserwujemy gęste grupowanie się linii w pasma. Poszczególne pasma są rozdzielone ciemnymi obszarami.

Widma absorpcyjne można obserwować wtedy, gdy światło białe przechodzi przez nierozgrzany, niepromieniujący gaz. Wtedy w widmie ciągłym brakuje niektórych długości fal, które są absorbowane przez atomy gazu. W tych miejscach w widmie występują linie ciemne, tzw. linie absorpcyjne (np. tzw. linie Fraunhofera w widmie Słońca).

Chemiczną analizę spektralną można równie dobrze wykonywać na podstawie liniowego widma emisyjnego lub widma absorpcyjnego. Każda linia obecna w tym ostatnim, będzie także występowała w pierwszym. Jednak rozkład natężeń linii w obu tych widmach jest na ogół różny. Dlatego też z punktu widzenia uzyskiwanych informacji o materii, żadne z tych widm nie daje się zastąpić drugim. W wyniku obserwacji ciemnych linii na tle ciągłego widma słonecznego, jak również widma gwiazd, można określać skład ich otoczki gazowej, która jest znacznie chłodniejsza od powierzchni Słońca czy gwiazd. Na tej podstawie stwierdzono, że w całym Wszechświecie występują tylko te pierwiastki, które znamy na Ziemi.

Słońce ma otoczkę gazową – atmosferę, która również wysyła światło (chociaż o mniejszym natężeniu niż powierzchnia Słońca). Można to stwierdzić podczas zaćmienia Słońca, gdy sam dysk słoneczny jest zasłonięty przez Księżyc. Wtedy następuje odwrócenie linii widmowych – w miejscu, gdzie na tle widma ciągłego znajdowały się ciemne linie absorpcyjne, obserwuje się świecące barwne linie emisyjne.

Doświadczenie Spektrum2

Wykonamy doświadczenie, w którym do wyznaczenia długości fali światła emitowanego przez laser zastosujemy bardzo prostą wersję spektrometru. Zbadamy przy tym, jakie długości fali zawiera światło emitowane przez laser.

Układ doświadczalny

Schemat układu doświadczalnego pokazano na il. 8.35.

Na ławie optycznej $Ł$ montujemy laser $L_s$ tak, by jego wiązka biegła poziomo i równolegle do osi ławy. Ławę umieszczamy na stole laboratoryjnym, w odległości $L$ od ściany; dbamy o to, by wiązka z lasera padała prostopadle na ścianę w punkcie $O$. Przed ścianą można ustawić biały ekran lub przymocować na niej poziomy pas białego papieru; rolę ekranu $E$ może też spełniać sama ściana. Na ławie montujemy siatkę dyfrakcyjną ( $S$), ustawioną prostopadle do wiązki lasera. Podczas pomiarów pracownia nie musi być całkowicie zaciemniona – można pozostawić w niej tyle światła, by móc jeszcze obserwować wzmocnienia interferencyjne.

Pomiary i obserwacje

W pewnej szkole w opisanym doświadczeniu użyto lasera helowo-neonowego, świecącego światłem czerwonym, oraz siatki dyfrakcyjnej o dwustu szczelinach na milimetr (zgodnie z informacją producenta). Oznacza to, że odległość pomiędzy szczelinami $d=5000\text{nm}$.

Zmierzono kilkakrotnie odległość $L$ pomiędzy siatką a ekranem, uzyskując średnią wartość $\mathrm{228,0}\text{cm}$. Użyto wprawdzie taśmy mierniczej o podziałce $1\text{mm}$, ale ponieważ pojedyncze pomiary różniły się od siebie nawet o $\mathrm{4-5}\text{mm}$, przyjęto maksymalną niepewność pomiarową $\Delta L=\mathrm{0,3}\text{cm}$. Uwzględniono przy tym oszacowaniu również fakt, że siatka była osadzona w typowej ramce do slajdów, której grubość wynosiła ok. $3\text{mm}$.

Na ekranie powstało widmo światła laserowego, składające się z maksimum głównego (rząd wzmocnienia $n=0$) w punkcie $O$ oraz z trzech par wzmocnień, odpowiednio: rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego, ułożonych na lewo i na prawo od punktu $O$ (il. 8.36). Wzmocnienia były widoczne w postaci czerwonych punktów o średnicy do około $\mathrm{4-5}\text{mm}$.

Nie stwierdzono żadnych innych wzmocnień pomiędzy opisanymi wyżej. Można z tego wysnuć wniosek, że laser emituje światło monochromatyczne, czyli składające się praktycznie z jednej tylko długości fali.

Dwuosobowe zespoły – niezależnie od siebie – zmierzyły, korzystając z miarki z milimetrową podziałką, odległości $y_1$, $y_2$ oraz $y_3$, zarówno w lewo jak i w prawo od maksimum głównego (il. 8.37). Każda odległość zmierzona została kilkakrotnie, by uniknąć błędu grubego; pozwoliło to uzyskać średnią wartość $y$ odległości każdego ze wzmocnień od maksimum głównego.

Wyniki tych pomiarów przedstawiono w kolumnach $A-E$ tabeli na il. 8.38. Została ona sporządzona w arkuszu kalkulacyjnym, co ułatwia wykonywanie obliczeń niezbędnych w trakcie opracowania i analizy uzyskanych wyników. W poszczególne kolumny tabeli wpisano bądź wyniki pomiarów, bądź formuły pozwalające obliczyć odpowiednią wielkość fizyczną, zgodnie z przytaczanymi wzorami.

Opracowanie wyników pomiarów

W kolumnie $F$ tabeli umieszczamy wartość maksymalnej niepewności pomiarowej odległości $y$. Przyjmujemy jednakową dla maksimów wszystkich rzędów wartość $\Delta y=\mathrm{0,3}\text{cm}$, wynikającą z różnicy pomiędzy wynikami pojedynczych pomiarów oraz ze średnicy plamek świetlnych odpowiadających każdemu z maksimów. Wartość tę umieszczamy w kolumnie $F$ tabeli.

Długość fali wyznaczymy korzystając z wyrażenia 8.28:

gdzie $n$ jest rzędem widma. Zgodnie ze schematem na rysunku il. 8.37, sinusy kątów $\vartheta$ można wyrazić za pomocą odległości $L$ oraz $y$, wspomagając się twierdzeniem Pitagorasa:

Wartości sinusów kątów i samych kątów wzmocnień są obliczone zgodnie ze wzorem 8.33 i podane w kolumnach $G$ i $H$ tabeli – tytułem informacji. W kolumnie $K$ natomiast umieszczamy formułę wynikającą ze wzorów 8.32 i 8.33:

By oszacować maksymalną niepewność pomiarową $\Delta \lambda$, wyznaczamy wartości długości fali największą oraz najmniejszą (odpowiednio ${\lambda }_g$, i ${\lambda }_d$), dopuszczalne w związku ze wzorem 8.34 i w związku z niepewnościami $\Delta L$ oraz $\Delta y$. Maksymalna wartość ${\lambda }_g$ jest uzyskiwana wtedy, gdy odległość od siatki do ekranu przyjmuje swą minimalną dopuszczalną wartość, równą $L-\Delta L$, zaś odległość punktu wzmocnienia od punktu $O$ przyjmuje swą wartość maksymalną $y+\Delta y$. Wynika to z faktu, że we wzorze 8.34 wielkość $L$ znajduje się w liczniku mianownika, zaś wielkość $\lambda$ znajduje się w mianowniku mianownika. Obowiązuje więc wzór, zgodnie z którym wypełniona jest kolumna $J$ tabeli:

Stosując analogiczne rozumowanie, wartość ${\lambda }_d$ uzyskujemy z poniższego wzoru, zgodnie z którym wypełniona jest kolumna $K$ tabeli:

Niepewności pomiarowe $\Delta \lambda$ wyrażamy jako połowę różnicy pomiędzy ${\lambda }_g$ i ${\lambda }_d$; odpowiednią formułę wpisujemy do kolumny $L$ tabeli. Na koniec, w kolumnie $M$ wpisujemy formułę, pozwalającą obliczyć procentową niepewność pomiarową długości fali $\frac{\Delta \lambda }{\lambda }$.

Analiza otrzymanych wyników

Otrzymaliśmy trzy wartości długości fali, oddzielnie dla każdego rzędu widma:

dla $n=1-{\lambda }_1=\mathrm{630,9}\pm \mathrm{7,9}\text{nm}$;

dla $n=2-{\lambda }_2=\mathrm{633,3}\pm \mathrm{3,8}\text{nm}$;

dla $n=3-{\lambda }_3=\mathrm{633,8}\pm \mathrm{2,4}\text{nm}$.

Wyniki te są ze sobą spójne, gdyż różnica pomiędzy każdą parą wartości jest mniejsza od sumy niepewności pomiarowej tych wartości. Przykładowo:

${\lambda }_3-{\lambda }_1=\mathrm{2,9}\text{nm}$, zaś ${\Delta \lambda }_3+{\Delta \lambda }_1=\mathrm{10,3}\text{nm}$.

Porównanie wyników ze wzorcem

W tablicach matematyczno-fizycznych lub innych dostępnych źródłach możemy znaleźć informację o długości fali światła emitowanego przez laser helowo-neonowy. Stanowi ona wzorzec w naszym doświadczeniu i wynosi ${\lambda }_w=\mathrm{632,8}\text{nm}$.

Wszystkie uzyskane przez nas wyniki są zgodne ze wzorcem, gdyż różnica pomiędzy każdym z nich a wzorcem jest mniejsza od niepewności pomiarowej tego wyniku. Przykładowo:

${\lambda }_3-{\lambda }_w=\mathrm{1,0}\text{nm}$, zaś ${\Delta \lambda }_3=\mathrm{2,4}\text{nm}$.

Zgodność wszystkich trzech wyników ze wzorcem jest dla nas źródłem satysfakcji. Upoważnia nas to bowiem do stwierdzenia, że doświadczenie zostało przeprowadzone prawidłowo. Najprawdopodobniej nie popełniliśmy w nim pomyłek (błędów grubych). Jeśli zaś popełniliśmy błędy systematyczne (np. przy montowaniu układu doświadczalnego, przy doborze przyrządów pomiarowych lub przy wykonywaniu pomiarów), to ich wpływ na ostateczny wynik był mniejszy od maksymalnej dopuszczalnej niepewności pomiarowej tego wyniku.

Właściwości siatki dyfrakcyjnej - możliwe źródło błędu systematycznego

W naszej analizie niepewności pomiarowej pominęliśmy kwestię, czy informacja o liczbie szczelin na jeden milimetr w siatce dyfrakcyjnej, a w konsekwencji stała siatki $d$, jest podana „dokładnie”, czy jest obarczona jakąś niepewnością. Producent nie podał na ten temat żadnej informacji. Dla fizyka jest jednak oczywiste, że stała siatki, tak jak każda cecha fizyczna, nie jest możliwa do określenia nieskończenie dokładnie. Jak więc uwzględnić możliwość, że siatka może mieć nie 200, lecz przykładowo 201 szczelin na milimetr? Mogłaby też mieć 200,1 szczeliny na milimetr – to w sytuacji, gdyby w jednym centymetrze siatki znalazło się 2001 szczelin (a nie 2000, jak podano nominalnie).

Zastanówmy się nad rolą, jaką pełni siatka w naszym doświadczeniu. Nie jest ona przyrządem pomiarowym sensu stricto, lecz pełni rolę wzorca - konkretnie wzorca długości fali. Rolę tę można porównać do roli odważnika w mechanicznej wadze lekarskiej, zasadę działania której przedstawiono w ogromnym uproszczeniu na il. 8.39.

Dobieramy odległość $d$ tak, by waga pozostawała w równowadze. Masę $m$ ważonego przedmiotu możemy wyrazić za pomocą masy odważnika $m_w$ (masy wzorcowej) oraz odległości $L$ i $d$ (gdy pominiemy masę belki oraz szalki):

$$m=m_w\cdot \frac{d}{L}$$

Niepewność wyniku ważenia zależy od dokładności, z jaką wyznaczamy $L$ oraz $d$, a także od precyzji określenia, czy belka jest ustawiona poziomo. Nie możemy jednak z góry przewidzieć, czy w związku z tymi czynnikami uzyskamy wynik $m$ zawyżony, czy zaniżony. Natomiast jeśli odważnik został wykonany „nieprawidłowo” (np. jest w nim za dużo materii), to spowoduje to zawyżenie wyników wszystkich pomiarów masy $m$, dokonanych za jego pomocą. W takiej sytuacji mówimy, że usterka w wykonaniu wzorcowego odważnika wprowadza do pomiaru błąd systematyczny.

Podobnie jest z siatką dyfrakcyjną. Jeśli rzeczywista liczba szczelin w jednym milimetrze siatki jest większa niż znamionowe 200 (np. wskutek usterki w procesie jej produkcji), to wszystkie wyniki pomiaru długości fali za pomocą tej siatki będą systematycznie zaniżone, zgodnie ze wzorem 8.32, gdyż rzeczywista stała siatki $d$ będzie mniejsza niż $5000\text{nm}$.

Właściwości siatki dyfrakcyjnej - możliwe źródło błędu systematycznego

Wszystkie cele postawione w doświadczeniu zostały zrealizowane.

- Stwierdzono, że laser helowo-neonowy emituje światło monochromatyczne.

- Wyznaczono długość fali tego światła, korzystając z położenia wzmocnień pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu, uzyskując trzy spójne wyniki.

- Wyniki te uzyskano z dokładnością rzędu 0,5% - 1%, bardzo przyzwoitą jak na szkolne warunki.

- Wyniki te są wszystkie zgodne z tablicową wartością długości fali światła emitowanego przez laser helowo-neonowy.

- Uznano, że użyta w doświadczeniu siatka dyfrakcyjna nie wprowadza do jego wyników błędu systematycznego, który byłby istotny wobec dopuszczalnej niepewności pomiarowej w tym doświadczeniu.