8.8. Badanie widm optycznych. Doświadczenie Spektrum2
Prawie wszystkie źródła światła wysyłają jednocześnie światło złożone z fal o wielu długościach. Takie złożone światło po przejściu przez pryzmat lub siatkę dyfrakcyjną ulega rozszczepieniu na promienie o określonej długości fali. Dzięki temu otrzymujemy rozkład widmowy padającego światła. Do precyzyjnych pomiarów długości fali występujących w widmach służą specjalne przyrządy zwane spektrografami. Analizując widma, możemy otrzymać wiele cennych informacji, m.in. o budowie atomów (możemy „zajrzeć” do wnętrza atomu) oraz o tym, z jakich substancji składa się ciało wysyłające światło. Za pomocą spektrografii uzyskuje się większość informacji o odległych gwiazdach i galaktykach.
Spektrograf i spektroskop
Jak już wspomniano, do otrzymywania widma służą nam pryzmat lub siatka dyfrakcyjna, które stanowią podstawowy element w spektrografie. Prosty schemat spektrografu przedstawiono na il. 8.34. Światło po przejściu przez szczelinę umieszczoną w ognisku soczewki (szczelina wraz z tą soczewką stanowi tzw. kolimator ) pada na siatkę dyfrakcyjną w postaci wiązki równoległej. Siatka ugina fale światła tym silniej, im dłuższa fala na nią pada. W wyniku ugięcia niejednorodna wiązka światła zostaje rozłożona na barwy składowe.
To światło pada z kolei na soczewkę , która skupia promienie na kliszy fotograficznej. Zamiast na kliszę światło może wpadać, za pośrednictwem okularu, bezpośrednio do oka obserwatora. Soczewka z okularem to tzw. lunetka. Przyrząd, w którym zastosuje się obserwację wizualną widma, nazywa się spektroskopem. Lunetkę umieszcza się na kole kątomierza z podziałką pozwalającą na precyzyjny pomiar kąta ugięcia .
Rodzaje widm
Przypomnimy teraz pokrótce informacje o widmach, z którymi zetknęliśmy się już w pierwszej klasie w rozdziałach 2.1 Promieniowanie termiczne i 2.3 Widma promieniowania gazów. Poznamy przy tej okazji nowy rodzaj widma emisyjnego.
Wszystkie widma emisyjne można podzielić na trzy typy: ciągłe, liniowe i pasmowe. Niezależnie od tego wyróżniamy widma pochłaniania, czyli absorpcyjne.
Widma ciągłe otrzymujemy wtedy, gdy źródło wysyła światło, w którym reprezentowane są wszystkie długości fal z określonego zakresu. Słońce wysyła światło o widmie ciągłym.
Doświadczenie wykazuje, że światło o widmie ciągłym jest promieniowane przez rozgrzane do wysokiej temperatury ciała stałe, ciecze oraz bardzo silnie zagęszczone gazy. Widmo ciągłe daje również plazma – stan gazowy o bardzo wysokiej temperaturze, w którym występują silnie zjonizowane atomy i swobodne elektrony.
Charakter widma ciągłego jest uwarunkowany nie tylko wysyłaniem światła przez pojedyncze atomy, ale również przez oddziaływania między nimi we wspomnianych wyżej ciałach.
Widmo liniowe składa się z nieciągłego zbioru długości fal wysyłanych przez gazy będące w stanach atomowych, a nie molekularnych. Widma liniowe można otrzymać wtedy, gdy podgrzejemy gaz w płomieniu lub pobudzimy go do świecenia w rurce wyładowczej przy przyłożeniu wysokiego napięcia.
Obraz widma liniowego w spektrografie składa się z układu oddzielnych ostrych linii, będących obrazami dyfrakcyjnymi szczeliny kolimatora.
Pojedyncze atomy nieoddziałujące ze sobą wysyłają ściśle określone długości fal. Zestaw tych długości fal można podzielić na tzw. serie widmowe. Są to określone ciągi linii widmowych, których położenie w widmie jest specyficzne dla atomów określonego pierwiastka chemicznego. Można powiedzieć, że skoro za pomocą odcisków palców można zidentyfikować człowieka, to za pomocą znajomości rozkładu linii widmowych można identyfikować pierwiastki chemiczne, których atomy wysyłają światło o określonych długościach fali. Na tym opiera się spektralna analiza chemiczna. Obecnie znane są widma atomowe wszystkich pierwiastków – są one zestawione w specjalnych tablicach spektralnych. Za pomocą analizy widmowej odkrywano nowe pierwiastki, którym nazwy nadawano, kierując się barwą dominujących linii widma. Na przykład cez oznacza kolor niebiesko-błękitny. Hel najpierw był odkryty w widmie atmosfery słonecznej – stąd nazwa: hel oznacza słoneczny.
Widmo pasmowe. W przypadku gdy światło jest emitowane przez molekuły gazu nie oddziałujące ze sobą lub słabo oddziałujące, to w widmie obserwujemy gęste grupowanie się linii w pasma. Poszczególne pasma są rozdzielone ciemnymi obszarami.
Widma absorpcyjne można obserwować wtedy, gdy światło białe przechodzi przez nierozgrzany, niepromieniujący gaz. Wtedy w widmie ciągłym brakuje niektórych długości fal, które są absorbowane przez atomy gazu. W tych miejscach w widmie występują linie ciemne, tzw. linie absorpcyjne (np. tzw. linie Fraunhofera w widmie Słońca).
Chemiczną analizę spektralną można równie dobrze wykonywać na podstawie liniowego widma emisyjnego lub widma absorpcyjnego. Każda linia obecna w tym ostatnim, będzie także występowała w pierwszym. Jednak rozkład natężeń linii w obu tych widmach jest na ogół różny. Dlatego też z punktu widzenia uzyskiwanych informacji o materii, żadne z tych widm nie daje się zastąpić drugim. W wyniku obserwacji ciemnych linii na tle ciągłego widma słonecznego, jak również widma gwiazd, można określać skład ich otoczki gazowej, która jest znacznie chłodniejsza od powierzchni Słońca czy gwiazd. Na tej podstawie stwierdzono, że w całym Wszechświecie występują tylko te pierwiastki, które znamy na Ziemi.
Słońce ma otoczkę gazową – atmosferę, która również wysyła światło (chociaż o mniejszym natężeniu niż powierzchnia Słońca). Można to stwierdzić podczas zaćmienia Słońca, gdy sam dysk słoneczny jest zasłonięty przez Księżyc. Wtedy następuje odwrócenie linii widmowych – w miejscu, gdzie na tle widma ciągłego znajdowały się ciemne linie absorpcyjne, obserwuje się świecące barwne linie emisyjne.
Doświadczenie Spektrum2
Wykonamy doświadczenie, w którym do wyznaczenia długości fali światła emitowanego przez laser zastosujemy bardzo prostą wersję spektrometru. Zbadamy przy tym, jakie długości fali zawiera światło emitowane przez laser.
Układ doświadczalny
Schemat układu doświadczalnego pokazano na il. 8.35.
Na ławie optycznej montujemy laser tak, by jego wiązka biegła poziomo i równolegle do osi ławy. Ławę umieszczamy na stole laboratoryjnym, w odległości od ściany; dbamy o to, by wiązka z lasera padała prostopadle na ścianę w punkcie . Przed ścianą można ustawić biały ekran lub przymocować na niej poziomy pas białego papieru; rolę ekranu może też spełniać sama ściana. Na ławie montujemy siatkę dyfrakcyjną ( ), ustawioną prostopadle do wiązki lasera. Podczas pomiarów pracownia nie musi być całkowicie zaciemniona – można pozostawić w niej tyle światła, by móc jeszcze obserwować wzmocnienia interferencyjne.
Pomiary i obserwacje
W pewnej szkole w opisanym doświadczeniu użyto lasera helowo-neonowego, świecącego światłem czerwonym, oraz siatki dyfrakcyjnej o dwustu szczelinach na milimetr (zgodnie z informacją producenta). Oznacza to, że odległość pomiędzy szczelinami .
Zmierzono kilkakrotnie odległość pomiędzy siatką a ekranem, uzyskując średnią wartość . Użyto wprawdzie taśmy mierniczej o podziałce , ale ponieważ pojedyncze pomiary różniły się od siebie nawet o , przyjęto maksymalną niepewność pomiarową . Uwzględniono przy tym oszacowaniu również fakt, że siatka była osadzona w typowej ramce do slajdów, której grubość wynosiła ok. .
Na ekranie powstało widmo światła laserowego, składające się z maksimum głównego (rząd wzmocnienia ) w punkcie oraz z trzech par wzmocnień, odpowiednio: rzędu pierwszego, drugiego i trzeciego, ułożonych na lewo i na prawo od punktu (il. 8.36). Wzmocnienia były widoczne w postaci czerwonych punktów o średnicy do około .
Nie stwierdzono żadnych innych wzmocnień pomiędzy opisanymi wyżej. Można z tego wysnuć wniosek, że laser emituje światło monochromatyczne, czyli składające się praktycznie z jednej tylko długości fali.
Dwuosobowe zespoły – niezależnie od siebie – zmierzyły, korzystając z miarki z milimetrową podziałką, odległości , oraz , zarówno w lewo jak i w prawo od maksimum głównego (il. 8.37). Każda odległość zmierzona została kilkakrotnie, by uniknąć błędu grubego; pozwoliło to uzyskać średnią wartość odległości każdego ze wzmocnień od maksimum głównego.
Wyniki tych pomiarów przedstawiono w kolumnach tabeli na il. 8.38. Została ona sporządzona w arkuszu kalkulacyjnym, co ułatwia wykonywanie obliczeń niezbędnych w trakcie opracowania i analizy uzyskanych wyników. W poszczególne kolumny tabeli wpisano bądź wyniki pomiarów, bądź formuły pozwalające obliczyć odpowiednią wielkość fizyczną, zgodnie z przytaczanymi wzorami.
Opracowanie wyników pomiarów
W kolumnie tabeli umieszczamy wartość maksymalnej niepewności pomiarowej odległości . Przyjmujemy jednakową dla maksimów wszystkich rzędów wartość , wynikającą z różnicy pomiędzy wynikami pojedynczych pomiarów oraz ze średnicy plamek świetlnych odpowiadających każdemu z maksimów. Wartość tę umieszczamy w kolumnie tabeli.
Długość fali wyznaczymy korzystając z wyrażenia 8.28:
gdzie jest rzędem widma. Zgodnie ze schematem na rysunku il. 8.37, sinusy kątów można wyrazić za pomocą odległości oraz , wspomagając się twierdzeniem Pitagorasa:
Wartości sinusów kątów i samych kątów wzmocnień są obliczone zgodnie ze wzorem 8.33 i podane w kolumnach i tabeli – tytułem informacji. W kolumnie natomiast umieszczamy formułę wynikającą ze wzorów 8.32 i 8.33:
By oszacować maksymalną niepewność pomiarową , wyznaczamy wartości długości fali największą oraz najmniejszą (odpowiednio , i ), dopuszczalne w związku ze wzorem 8.34 i w związku z niepewnościami oraz . Maksymalna wartość jest uzyskiwana wtedy, gdy odległość od siatki do ekranu przyjmuje swą minimalną dopuszczalną wartość, równą , zaś odległość punktu wzmocnienia od punktu przyjmuje swą wartość maksymalną . Wynika to z faktu, że we wzorze 8.34 wielkość znajduje się w liczniku mianownika, zaś wielkość znajduje się w mianowniku mianownika. Obowiązuje więc wzór, zgodnie z którym wypełniona jest kolumna tabeli:
Stosując analogiczne rozumowanie, wartość uzyskujemy z poniższego wzoru, zgodnie z którym wypełniona jest kolumna tabeli:
Niepewności pomiarowe wyrażamy jako połowę różnicy pomiędzy i ; odpowiednią formułę wpisujemy do kolumny tabeli. Na koniec, w kolumnie wpisujemy formułę, pozwalającą obliczyć procentową niepewność pomiarową długości fali .
Analiza otrzymanych wyników
Otrzymaliśmy trzy wartości długości fali, oddzielnie dla każdego rzędu widma:
dla ;
dla ;
dla .
Wyniki te są ze sobą spójne, gdyż różnica pomiędzy każdą parą wartości jest mniejsza od sumy niepewności pomiarowej tych wartości. Przykładowo:
, zaś .
Powyższe spostrzeżenie zachęca nas do obliczenia jednej wartości długości fali i przedstawienia jej jako ostatecznego wyniku pomiaru. Jak jednak obliczyć taki jeden, wspólny wynik z uzyskanych trzech? Jak oszacować jego niepewność pomiarową ? W pierwszym odruchu oczekiwalibyśmy, że najlepiej jest tu zastosować średnią arytmetyczną:
oraz
Okazuje się jednak, że takie postępowanie nie jest właściwe. Spróbujmy zrozumieć dlaczego.
Średnia ważona wyników
Zacznijmy od wartości . Średnia arytmetyczna trzech długości fali „traktuje” jednakowo każdy z uzyskanych wyników – mówimy, że nadaje im jednakową wagę. Tymczasem te trzy wyniki nie mają jednakowej „jakości eksperymentalnej” – nie są jednakowo dokładne, więc nie są jednakowo wiarygodne. Pokazano to w dwóch ostatnich kolumnach tabeli.
Uśredniając te trzy wyniki, należałoby użyć procedury, która uwzględniałaby, że jest najmniej wiarygodna, zaś najbardziej. Taką możliwość daje średnia (arytmetyczna) ważona. Jest to swoiste „rozszerzenie” średniej arytmetycznej, w którym każdemu składnikowi przypisuje się wagę , na ogół różną dla każdego składnika. Waga ta określa, mówiąc skrótowo, ilokrotnie dany składnik uwzględniany jest przy uśrednianiu. Waga może być liczbą całkowitą, rzeczywistą, mianowaną lub nie. Średnia ważona trzech długości fal jest obliczana ze wzoru:
Widać, że gdyby wszystkie wagi były jednakowe, to średnia ważona byłaby tożsama ze średnią arytmetyczną.
W omawianej tutaj procedurze przyjmuje się, że najlepszymi wagami są odwrotności niepewności pomiarowych uśrednianych wyników pomiarów:
; ;
Taki wybór zapewnia, że im dokładniejszy wynik (mniejsza jego niepewność), tym większą wagę przypiszemy temu właśnie wynikowi. Zastosowanie średniej ważonej pozwala obliczyć średnią długość fali .
Niepewność pomiarowa średniej
Nieco trudniej jest objaśnić, dlaczego niepewność tej średniej nie musi być średnią arytmetyczną niepewności poszczególnych wyników; nie musi też być ich średnią ważoną ani żadną inną średnią. Zacznijmy od rozpatrzenia skrajnego, wyidealizowanego przypadku wyników nieskorelowanych.
Z taką sytuacją mamy do czynienia, gdy wyniki są zupełnie niezależne od siebie, uzyskane zostały w różnych doświadczeniach, przez różne zespoły, z zastosowaniem różnej aparatury, różnymi metodami eksperymentalnymi. Gdy okazuje się, że takie wyniki są ze sobą spójne, to uznajemy, że wzajemnie „wzmacniają” swoją wiarygodność. Oznacza to, że niepewność średniej powinna być mniejsza od którejkolwiek z trzech niepewności , czy . Przy dodatkowych założeniach można wykazać, że najlepsze oszacowanie dla daje wtedy wzór podobny do wzoru na wypadkowy opór połączonych równolegle oporników:
Zastosowanie tego wzoru pozwala w naszym przypadku obliczyć . Znaczyłoby to, że precyzja jest parokrotnie większa od precyzji uzyskanej dla każdej z wartości z osobna.
Jest jednak oczywiste, że nasze wyniki nie spełniają kryteriów wyników nieskorelowanych. Pochodzą z jednego doświadczenia, uzyskane są tą samą metodą, z zastosowaniem tej samej siatki dyfrakcyjnej. Wspólna jest nawet jedna z mierzonych wielkości – odległość ! Jedyną niezależną wielkością jest odległość , inna dla każdego rzędu wzmocnienia, zmierzona przez różne zespoły. Nie możemy więc oczekiwać owego „wzajemnego wzmocnienia wiarygodności”, z jakim mamy do czynienia w przypadku wyników nieskorelowanych; mamy raczej do czynienia ze „wzajemnym potwierdzeniem wiarygodności”.
W takiej sytuacji jesteśmy skazani na intuicyjne, jakościowe szacowanie niepewności pomiarowej, zgodnie z regułą „im bardziej skorelowane wyniki, tym niepewność średniej bardziej zbliżona do średniej arytmetycznej niepewności, a im mniej skorelowane, tym bardziej zbliżona do wyniku ze wzoru 8.38”. Nic więc nie stoi na przeszkodzie, by dla przyjąć szacunkową wartość , ale jest to wynik „słabo udokumentowany”.
Przedstawione tu zastrzeżenia pokazują, że w sytuacji takiej jak nasza, nie warto „za wszelką cenę” dążyć do przedstawienia jednego wyniku dla , przede wszystkim ze względu na trudności w prawidłowym oszacowaniu jego niepewności pomiarowej. Dlatego w naszej analizie będziemy się nadal posługiwać trzema wynikami, a nie jednym, „uśrednionym”.
Porównanie wyników ze wzorcem
W tablicach matematyczno-fizycznych lub innych dostępnych źródłach możemy znaleźć informację o długości fali światła emitowanego przez laser helowo-neonowy. Stanowi ona wzorzec w naszym doświadczeniu i wynosi .
Wszystkie uzyskane przez nas wyniki są zgodne ze wzorcem, gdyż różnica pomiędzy każdym z nich a wzorcem jest mniejsza od niepewności pomiarowej tego wyniku. Przykładowo:
, zaś .
Zgodność wszystkich trzech wyników ze wzorcem jest dla nas źródłem satysfakcji. Upoważnia nas to bowiem do stwierdzenia, że doświadczenie zostało przeprowadzone prawidłowo. Najprawdopodobniej nie popełniliśmy w nim pomyłek (błędów grubych). Jeśli zaś popełniliśmy błędy systematyczne (np. przy montowaniu układu doświadczalnego, przy doborze przyrządów pomiarowych lub przy wykonywaniu pomiarów), to ich wpływ na ostateczny wynik był mniejszy od maksymalnej dopuszczalnej niepewności pomiarowej tego wyniku.
Właściwości siatki dyfrakcyjnej - możliwe źródło błędu systematycznego
W naszej analizie niepewności pomiarowej pominęliśmy kwestię, czy informacja o liczbie szczelin na jeden milimetr w siatce dyfrakcyjnej, a w konsekwencji stała siatki , jest podana „dokładnie”, czy jest obarczona jakąś niepewnością. Producent nie podał na ten temat żadnej informacji. Dla fizyka jest jednak oczywiste, że stała siatki, tak jak każda cecha fizyczna, nie jest możliwa do określenia nieskończenie dokładnie. Jak więc uwzględnić możliwość, że siatka może mieć nie 200, lecz przykładowo 201 szczelin na milimetr? Mogłaby też mieć 200,1 szczeliny na milimetr – to w sytuacji, gdyby w jednym centymetrze siatki znalazło się 2001 szczelin (a nie 2000, jak podano nominalnie).
Zastanówmy się nad rolą, jaką pełni siatka w naszym doświadczeniu. Nie jest ona przyrządem pomiarowym sensu stricto, lecz pełni rolę wzorca - konkretnie wzorca długości fali. Rolę tę można porównać do roli odważnika w mechanicznej wadze lekarskiej, zasadę działania której przedstawiono w ogromnym uproszczeniu na il. 8.39.
Dobieramy odległość tak, by waga pozostawała w równowadze. Masę ważonego przedmiotu możemy wyrazić za pomocą masy odważnika (masy wzorcowej) oraz odległości i (gdy pominiemy masę belki oraz szalki):
Niepewność wyniku ważenia zależy od dokładności, z jaką wyznaczamy oraz , a także od precyzji określenia, czy belka jest ustawiona poziomo. Nie możemy jednak z góry przewidzieć, czy w związku z tymi czynnikami uzyskamy wynik zawyżony, czy zaniżony. Natomiast jeśli odważnik został wykonany „nieprawidłowo” (np. jest w nim za dużo materii), to spowoduje to zawyżenie wyników wszystkich pomiarów masy , dokonanych za jego pomocą. W takiej sytuacji mówimy, że usterka w wykonaniu wzorcowego odważnika wprowadza do pomiaru błąd systematyczny.
Podobnie jest z siatką dyfrakcyjną. Jeśli rzeczywista liczba szczelin w jednym milimetrze siatki jest większa niż znamionowe 200 (np. wskutek usterki w procesie jej produkcji), to wszystkie wyniki pomiaru długości fali za pomocą tej siatki będą systematycznie zaniżone, zgodnie ze wzorem 8.32, gdyż rzeczywista stała siatki będzie mniejsza niż .
W naszym doświadczeniu uzyskaliśmy trzy wartości długości fali, wszystkie zgodne z wartością wzorcową. Możemy z tego wyciągnąć wniosek, że jakiekolwiek zawyżenie (czy zaniżenie) liczby szczelin w siatce (w stosunku do liczby nominalnej) spowodowało systematyczne zaniżenie (czy zawyżenie) naszego wyniku o mniej, niż dopuszczalna niepewność pomiarowa w tym doświadczeniu. Inaczej rzecz ujmując: przy precyzji, z jaką przeprowadziliśmy nasze pomiary, możemy uznać, że siatka przez nas użyta ma „dokładnie” 200 szczelin na milimetr.Właściwości siatki dyfrakcyjnej - możliwe źródło błędu systematycznego
Wszystkie cele postawione w doświadczeniu zostały zrealizowane.
- Stwierdzono, że laser helowo-neonowy emituje światło monochromatyczne.
- Wyznaczono długość fali tego światła, korzystając z położenia wzmocnień pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu, uzyskując trzy spójne wyniki.
- Wyniki te uzyskano z dokładnością rzędu 0,5% - 1%, bardzo przyzwoitą jak na szkolne warunki.
- Wyniki te są wszystkie zgodne z tablicową wartością długości fali światła emitowanego przez laser helowo-neonowy.
- Uznano, że użyta w doświadczeniu siatka dyfrakcyjna nie wprowadza do jego wyników błędu systematycznego, który byłby istotny wobec dopuszczalnej niepewności pomiarowej w tym doświadczeniu.
Pytania i problemy
- Wykonaj rysunek zasadniczych części spektrografu i opisz jego działanie.
- Wymień i krótko opisz znane ci rodzaje widm emisyjnych i absorpcyjnych światła.
- Wykorzystaj zaprogramowany arkusz kalkulacyjny z wynikami doświadczenia do
określenia precyzji wykonania użytej w nim siatki dyfrakcyjnej. Wprowadź w
arkuszu możliwość regulowania liczby szczelin w jednym milimetrze lub
bezpośrednio stałej siatki
. Metodą prób i błędów przekonaj się, że przy ustalonych wynikach
pomiarów
oraz
obniżanie wartości
powoduje zaniżenie uzyskanej wartości
.
- Znajdź graniczną wartość , przy której nie można już uznać, że wyniki pomiaru są zgodne ze wzorcem.
- Znajdź analogiczną wartość .
- Na tej podstawie oszacuj procentową dokładność, z jaką w doświadczeniu stwierdzono, że użyta w nim siatka dyfrakcyjna ma parametry zgodne z informacją podaną przez jej producenta.