1.3. Ruch jednostajny po okręgu

Większość planet, w tym Ziemia, porusza się wokół Słońca prawie jednostajnie po orbitach w przybliżeniu kołowych. Wokół Ziemi krąży Księżyc. Niektóre planety mają również naturalne satelity, okrążające je po orbitach prawie kołowych.

Ruch po okręgu jest typowy dla wielu ciał kosmicznych. Z takim ruchem bardzo często spotykamy się w życiu codziennym.

Rozpatrzmy przypadek ruchu jednostajnego po okręgu. Mamy z nim do czynienia, gdy ciało przebywa jednakowe odcinki drogi po okręgu w jednakowych odstępach czasu. Zapoznamy się z zasadniczymi wielkościami fizycznymi, za pomocą których opisujemy ruch punktu materialnego po okręgu. Jedną z nich jest prędkość $v$ .

Prędkość $v$

Wartość prędkości w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała. Jest ona określona jako stosunek $s$ – długości łuku, jaki zakreśli poruszający się punkt, do $t$ – czasu, w którym to nastąpi:

v=\frac{s}{t}

( 1.2 )

Aby określić prędkość, nie wystarczy podać jej wartość, trzeba też określić jej kierunek i zwrot. Wielkości, które mają określony kierunek i zwrot, nazywamy wektorami. Na rysunkach oznacza się je strzałką, która wyznacza kierunek wektora. Zwrot wektora jest pokazany za pomocą grota. Długość strzałki jest proporcjonalna do wartości wektora. Prędkość jest wektorem i dlatego przedstawia się ją za pomocą strzałki.

Ilustracja 1.33. **Wektor prędkości ciała poruszającego się po okręgu jest styczny do okręgu**

Okres obiegu $T$

Okres jest to czas, w jakim punkt materialny wykonuje pełny obieg okręgu. Za pomocą okresu możemy wyrazić prędkość liniową oraz prędkość kątową punktu materialnego poruszającego się po okręgu.

Prędkość liniową przedstawiamy jako stosunek $2\pi r$ (obwodu koła) do $T$ (okresu obiegu):

v=\frac{2\pi r}{T}

( 1.3 )

Częstotliwość $\nu$

Częstotliwość definiujemy jako liczbę obiegów, którą punkt materialny wykonuje w ciągu jednostki czasu. Jeżeli w czasie jednej sekundy punkt wykonuje np. 3 obroty, to jeden obrót trwa 1/3 sekundy. Widzimy, że częstotliwość można wyrazić jako odwrotność okresu, czyli:

\nu=\frac{1}{T}

( 1.4 )

Jednostką częstotliwości jest odwrotność sekundy $(s^{-1})$ . Jest to herc, $1\, Hz=1\, s^{-1}$ .

Przykład: Prędkość Ziemi na orbicie

Oblicz wartość prędkości Ziemi na jej orbicie wokół Słońca, znając promień orbity $r=1,496\cdot10^{11}\, m\approx1,5\cdot10^{8}\, km$ oraz czas obiegu Ziemi dookoła Słońca $T=365,25$ dni (jedna doba wynosi $23\, h\,56\, min\,4\, s=86\,164\, s$ ).

Rozwiązanie: Wzór (1.3) stosuje się do każdego ruchu jednostajnego po okręgu, więc możemy go zastosować także w stosunku do ruchu Ziemi okrążającej Słońce.

Ziemia okrąża Słońce w przybliżeniu ruchem jednostajnym po orbicie kołowej — Ilustracja 1.34. **Ruch Ziemi wokół Słońca można traktować w przybliżeniu jako ruch jednostajny po orbicie kołowej**

Okres $T$ orbitalnego ruchu Ziemi w przeliczeniu na sekundy wynosi:

T=365,25\cdot86\,164\, s=31\,471\,401\, s\approx3,147\cdot10^{7}\, s

Zatem prędkość Ziemi, zgodnie ze wzorem (1.3), jest równa:

$v_{Z}=\frac{2\pi r}{T}$ , czyli $v_{Z}=\left(\frac{2\cdot3,14\cdot1,5\cdot10^{8}}{3,147\cdot10^{7}}\right)\,\frac{km}{s}=29,85\,\frac{km}{s}\approx30\,\frac{km}{s}$

Widzimy, że jest to bardzo duża prędkość (wielokrotnie większa od prędkości najszybszych samolotów odrzutowych). Pomimo tego, że mkniemy w przestworzach Kosmosu z tak olbrzymią prędkością, to praktycznie jej nie zauważamy – wydaje się nam, że pozostajemy w spoczynku.

Prędkość kątowa $\omega$

W rozszerzonym kursie fizyki poznamy jeszcze jedną miarę prędkości w ruchu po okręgu, zwaną prędkością kątową. Jest ona powszechnie stosowana w fizyce i technice, dlatego warto wspomnieć o niej już teraz, w pierwszej klasie.

Prędkość kątową punktu $P$ w ruchu jednostajnym po okręgu określamy jako stosunek kąta zakreślanego przez promień wskazujący ten punkt do czasu, w którym to następuje. Jeśli w czasie $t$ promień wskazujący punkt $P$ zakreśli kąt $\alpha$ , to prędkość kątowa punktu $P$ wynosi:

\omega=\frac{\alpha}{t}

Jednostką prędkości kątowej może być stopień na sekundę. Jednak dla wygody zapisu wzorów, w układzie SI przyjęto tzw. łukową miarę kąta, w której kąt pełny (czyli $360{}^{\circ}$ ) ma miarę $2 π$ radianów. Miary innych kątów przelicza się na zasadzie proporcji:

\frac{\alpha_{[rad]}}{2\pi}=\frac{\alpha_{[deg]}}{360^{\circ}}

Prędkość kątową można więc przedstawić jako stosunek $2 π$ (czyli miary kąta pełnego w radianach) do $T$ (okresu obiegu):

\omega=\frac{2\pi}{T}

( 1.5 )

Przykładami ruchu jednostajnego po okręgu, z którymi mamy do czynienia na co dzień, mogą być ruch wentyla na wirującym kole unieruchomionego roweru, ruch krzesełka na karuzeli, ruch dowolnego punktu na kuli ziemskiej.

Doświadczenie „Rotacja I”

Celem tego doświadczenia będzie zapoznanie się z podstawowymi wielkościami określającymi ruch jednostajny po okręgu. Będziemy obserwować ruch wentyla na kole roweru. Ustawmy rower na podpórce, w ten sposób, aby przednie koło mogło obracać się swobodnie (patrz il. 1.35).

Część I: Okres, prędkość i częstotliwość w ruchu po okręgu

Mierzymy odległość wentyla od osi koła (patrz il. 1.36). Odległość ta to promień okręgu, po którym porusza się wentyl. Oznaczymy promień literą $r$ .

Ilustracja 1.36. **Pomiar promienia $r$ okręgu, po którym porusza się wentyl**

Wynik pomiaru $r$ – promienia okręgu, po którym porusza się wentyl, wpisujemy do tabelki pomiarów (il. 1.37).

Nadajemy kołu niezbyt szybkie obroty i mierzymy stoperem czas pełnego obiegu wentyla – włączamy stoper, gdy wentyl znajdzie się w określonym miejscu, a wyłączamy, gdy wentyl znajdzie się ponownie w tym samym miejscu (na przykład włączamy stoper w momencie, gdy wentyl mija przednią krawędź widełek, a wyłączamy, gdy ponownie mija tę krawędź widełek – patrz il. 1.38a i il. 1.38c).

Czas pełnego obiegu wentyla nazywamy okresem i oznaczamy go literą $T$ . Wynik pomiaru okresu $T$ wpisujemy do tabelki pomiarów (il. 1.37).

Ilustracja 1.38. **Pomiar czasu**

a) chwila początkowa, b) po czasie $t$ , c) po czasie $T$ – okres

Obliczamy prędkość $v$ ruchu wentyla po okręgu według znanego wzoru:

v=\frac{s}{t}

( 1.6 )

gdzie $s$ oznacza przebytą drogę wentyla (po okręgu); $t$ – czas przebycia tej drogi.

Z naszych pomiarów wynika, że w czasie okresu $T$ wentyl wykonał pełny obieg po okręgu, czyli przebył drogę $s=2\pi r$ . Dane z tabelki pomiarów podstawiamy do wzoru (1.3). Obliczamy prędkość $v$ i wypełniamy następną rubrykę tabelki.

Obliczamy częstotliwość $\nu$ (liczbę obrotów w ciągu 1 s) według wzoru (1.4). Aby obliczyć częstotliwość, trzeba podzielić liczbę obrotów wykonanych w czasie $t$ , przez ten czas. Otrzymamy w ten sposób liczbę obrotów wykonaną w czasie 1 s. Ponieważ w czasie $T$ wykonany był jeden obrót, dzielimy 1 przez $T$ . Wynik wpisujemy do tabelki pomiarów (il. 1.37).

Obliczamy prędkość kątową $\omega$ ruchu wentyla po okręgu. Z naszych pomiarów wynika, że w czasie $T$ promień wykonał pełny obieg po okręgu, czyli zakreślił kąt pełny $\alpha=2\pi$ . Zatem możemy przyjąć wzór (1.5) do obliczenia $\omega$ – jego prędkości kątowej.

Dane z tabelki pomiarów podstawiamy do wzoru (1.5), obliczamy prędkość kątową $\omega$ i wypełniamy następną rubrykę tabelki.

Część 2: Jednostajność ruchu po okręgu, niepewności i błędy pomiarowe

Rozpędzamy koło i mierzymy stoperem kolejne trzy czasy pełnych obiegów wentyla (il. 1.39). W tym celu należy zastosować stoper z rejestrem tzw. międzyczasów. Jeżeli takim nie dysponujemy, poprośmy o pomoc dwie inne osoby, które zmierzą kolejne – drugi i trzeci – czasy pełnego obiegu.

Jeżeli koło rowerowe nie doznaje znacznych oporów ruchu, to zmierzone czasy będą się mało różnić między sobą. Pomiar każdego z nich daje $T$ – wartość okresu.

Oceniamy niepewności pomiarowe $\Delta r$ i $Δ T$ (patrz rozdział 1.D1. Dodatek: Ocena dokładności wyników pomiarów). Do określenia niepewności pomiaru promienia $\Delta T$ uwzględniamy połowę najmniejszej działki podziałki linijki (np. $\nicefrac{1}{2}\, mm$ ), dokładność przyłożenia linijki do osi (np. 1 mm) oraz dokładność odczytu (np. $\nicefrac{1}{2}\, mm$ ). Sumujemy te wielkości i otrzymujemy wartość niepewności pomiaru $\Delta r$ (np. $\Delta r=\nicefrac{1}{2}\, mm+1\, mm+\nicefrac{1}{2}\, mm=2\, mm=0,2\, cm$ ), którą wpisujemy do tabeli (il. 1.40).

Niepewność pomiaru okresu $\Delta T$ wynika przede wszystkim z:

czasu reakcji przy włączaniu i wyłączaniu stopera (np. 0,1 s przy włączaniu i 0,1 s przy wyłączaniu),
dokładności odczytu (np. 0,01 s – stoper analogowy: odczyt bezpośrednio z podziałki, stoper cyfrowy: połowa różnicy między sąsiednimi wartościami cyfrowymi odczytu).

Sumujemy te wielkości i otrzymujemy wartość niepewności pomiaru $\Delta T$ (np. $\Delta T=0,01\, s+0,1\, s+0,1\, s=0,21\, s$ ), którą wpisujemy do tabeli (il. 1.40).

Jeżeli wyniki pomiarów $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ różnią się od siebie w granicach niepewności pomiarowej $\Delta T$ , to wnioskujemy, że ruch wentyla po okręgu jest ruchem jednostajnym.

Obliczamy prędkość $v$ ruchu wentyla po okręgu. W tym celu do wzoru (1.3) wstawiamy wartość średnią okresu ( $T$ – średnia arytmetyczna z $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ ):

T=\frac{T_{1}+T_{2}+T_{3}}{3}

( 1.7 )

Tak obliczonej średniej przypiszemy niepewność $\Delta T=0,21\, s$ .

Obliczamy niepewność pomiarową $\Delta v$ (patrz rozdział 1.D1. Dodatek: Ocena dokładności wyników pomiarów). Najpierw obliczymy niepewność względną $\Delta v/v$ ze wzoru:

\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta r}{r}+\frac{\Delta T}{T}

następnie niepewność pomiaru prędkości $\Delta v$ ze wzoru:

\Delta v=\frac{\Delta v}{v}v

Przykładowo, jeśli zmierzono $\r=30\, cm$ i uzyskano średnią wartość $T=2\, s$ , to:

\frac{\Delta v}{v}=\frac{\Delta r}{r}+\frac{\Delta T}{T}=\frac{0,2}{30}+\frac{0,21}{2}=0,007+0,105=0,112\approx0,11

Prędkość:

v=\frac{2\pi r}{T}=94,2\,\frac{cm}{s}

więc

\Delta v=\frac{\Delta v}{v}v=0,112\cdot94,2\,\frac{cm}{s}=10,554\,\frac{cm}{s}\approx11\,\frac{cm}{s}

Otrzymaliśmy w ten sposób niepewność pomiaru prędkości. Wynik pomiaru zapisujemy w następujący sposób:

v=\left(94\pm11\right)\frac{cm}{s}

Uwaga: Pamiętaj o właściwych zaokrągleniach wyników (patrz rozdział 1.D1. Dodatek: Ocena dokładności wyników pomiarów).

Na koniec przyjrzymy się pewnemu szczegółowi obliczenia względnej niepewności prędkości $\Delta v/v$ . Przyjęliśmy w dodatku 1.D1. Dodatek: Ocena dokładności wyników pomiarów, że wyraża się ona jako suma względnych niepewności pomiaru promienia $\Delta r/r$ oraz okresu $\Delta T/T$ . Niepewności te możemy wyrazić w procentach i porównać:

$\frac{\Delta r}{r}=0,7\%\qquad\frac{\Delta T}{T}=10,5\%$

Oznacza to, że promień koła rowerowego zmierzyliśmy piętnaście razy dokładniej niż okres jego obrotu!

Gdybyśmy więc planowali powtórzenie pomiarów w celu uzyskania mniejszej niepewności prędkości, to powinniśmy przede wszystkim pomyśleć o zmniejszeniu niepewności pomiaru okresu. Jednym z możliwych sposobów osiągnięcia tego celu może być pomiar czasu nie jednego obrotu koła, lecz kilku (np. pięciu) jego obrotów. Wtedy niepewność pomiaru (oszacowana przez nas na 0,21 s) obarcza nie jeden okres $T$ , lecz czas $5 T$ . Dzięki takiemu prostemu zabiegowi niepewność $\Delta T$ zostaje pięciokrotnie zredukowana.

Takie postępowanie – pomiar czasu trwania nie jednego, lecz kilku (kilkunastu) okresów cyklicznego zjawiska w celu zredukowania niepewności pomiarowej – jest często stosowane. Trzeba jednak pamiętać o „ubocznym” skutku takiego zabiegu, związanym z wydłużeniem czasu pomiaru. W tym doświadczeniu, wydłużenie czasu pomiaru może spowodować zauważalne spowolnienie obrotu koła i w konsekwencji wydłużenie okresu jego obrotu.