1.4. Siła dośrodkowa

Wiemy, że ciało, na które nie działa żadna siła, porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Aby prędkość mogła się zmienić, musi zadziałać siła. W ruchu jednostajnym po okręgu kierunek prędkości wciąż się zmienia. Wnioskujemy, że warunkiem występowania takiego ruchu jest działanie siły. Jaka to siła? Odwołajmy się do dość powszechnego doświadczenia. Kto z nas nie kręcił w dzieciństwie workiem z kapciami? Żeby worek nie odleciał w dal, trzeba mocno trzymać za sznurek. To właśnie jest ta siła, która wciąż zmienia kierunek prędkości. Ciągniemy sznurek do środka okręgu, po którym szybuje worek. Siła utrzymująca ciało w ruchu po okręgu nazywa się siłą dośrodkową. Jest ona skierowana zawsze do środka okręgu.

Zjawisko przedstawia il. 1.41. Zawieszony na sznurku kamień można wprawić w ruch kołowy, trzymając jeden koniec sznurka w ręku (il. 1.41a). Siła dośrodkowa, która zmusza kamień do ruchu po okręgu, jest wywierana przez napięty sznurek. Gdy wypuścimy sznurek z ręki, kamień będzie kontynuował swój ruch po linii prostej stycznej do okręgu (jeśli pominąć przyciąganie ziemskie) – zgodnie z chwilowym kierunkiem prędkości kamienia (il. 1.41b).

Ilustracja 1.41. **Ilustracja działania siły dośrodkowej**

a) siła dośrodkowa, która zmusza kamień do ruchu po okręgu, jest wywierana przez napięty sznurek, b) kamień kontynuuje ruch po linii prostej stycznej do okręgu

Jak można zmierzyć siłę dośrodkową?

Sznurek działa na kamień w ruchu po okręgu siłą sprężystości stanowiącą siłę dośrodkową, a w myśl trzeciej zasady Newtona kamień działa na sznurek taką samą siłą, lecz przeciwnie skierowaną i wywołującą rozciągnięcie sznurka. Jest ono w tym przypadku prawie niezauważalne.

Pochodzenie siły sprężystości sznurka można zademonstrować, gdy zamiast sznurka zastosujemy sprężynę – il. 1.42. Siła naciągu sprężyny uwidoczni się przez jej wydłużenie. Mierząc wydłużenie sprężyny, możemy wyznaczyć siłę sprężystą, która jest równa sile dośrodkowej działającej na kamień. Zamiast zwykłej sprężyny można zastosować siłomierz, wtedy wartość siły dośrodkowej można odczytać bezpośrednio z podziałki siłomierza.

Ilustracja 1.42. **Siła dośrodkowa w ruchu po okręgu jest wywierana przez:**

a) napięty sznurek, choć rozciągnięty w stopniu ledwo widocznym, b) napiętą i wyraźnie rozciągniętą sprężynę

Od czego zależy wartość siły dośrodkowej?

Gdy mamy do czynienia z ruchem po okręgu, musimy się zastanowić, od jakich parametrów tego ruchu zależy niezbędna w tym przypadku siła dośrodkowa. Pokażemy tutaj, że wartość tej siły zależy od masy poruszającego się ciała, jego prędkości oraz promienia okręgu, po którym ma się poruszać. Przedstawimy rozumowanie jakościowe, uzasadniające wzór (1.8). Pełniejsze – ilościowe – rozumowanie przedstawiono w sekcji „Chcesz wiedzieć więcej”.

Wyobraźmy sobie dwa kamienie o jednakowych masach wirujące na sznurkach. Jeden na krótkim sznurku (ruch po okręgu o małym promieniu $r$ ), drugi na długim sznurku (ruch po okręgu o dużym promieniu $R$ ) (patrz il. 1.43). Oba kamienie mają prędkości jednakowej wartości. W ruchu po okręgu o promieniu $R$ kierunek prędkości zmienia się nieznacznie po przebyciu łuku o długości $s$ . Inaczej jest w ruchu po okręgu o promieniu $r$ . Kamień, poruszając się z tą samą prędkością, przebywa łuk o tej samej długości $s$ . Łukowi temu odpowiada jednak większa część okręgu o promieniu $r$ niż okręgu o promieniu $R$ . Wobec tego, zmiana kierunku prędkości jest większa dla kamienia na okręgu o promieniu $r$ .

Ilustracja 1.43. **Im mniejszy promień okręgu, tym gwałtowniej zmienia się kierunek prędkości**

Wiemy już, że zmiana kierunku prędkości spowodowana jest przez siłę dośrodkową. Gwałtowniejszym zmianom kierunku prędkości musi towarzyszyć większa siła dośrodkowa. Mamy więc zależność: im mniejszy promień okręgu, po którym porusza się ciało, tym większa potrzebna jest siła dośrodkowa; analogicznie, większemu promieniowi okręgu odpowiada mniejsza siła. Okazuje się, że siła dośrodkowa $F_{r}$ jest odwrotnie proporcjonalna do promienia okręgu, po którym porusza się ciało: $F_{r}\varpropto\frac{1}{r}$ .

Zastanówmy się teraz, czy udałoby się nam utrzymać w ruchu wirowym wielki głaz zawieszony na linie. Doskonale wiemy, że musielibyśmy użyć dużej siły, tym większej, im większa jest masa głazu, przy jednakowych prędkościach i promieniach okręgu. Mamy więc następną zależność. Można wykazać, że siła dośrodkowa jest wprost proporcjonalna do masy poruszającego się ciała: $F_{r}\varpropto m$ .

Na pewno widzieliście karuzelę łańcuchową w ruchu. Aby jazda na karuzeli była bezpieczna, łańcuchy utrzymujące krzesełka muszą być dobrej jakości. Jeśli zdarzy się, że łańcuch jest stary, zardzewiały, może się zerwać. Taki wypadek nie zdarza się zazwyczaj, gdy karuzela dopiero rozpoczyna ruch i krzesełka poruszają się powoli. Łańcuch zrywa się, gdy karuzela się rozpędzi, a krzesełka poruszają się z dużą prędkością. Wnioskujemy, że im większa jest wartość prędkości, tym większa potrzebna jest siła dośrodkowa. Okazuje się, że siła dośrodkowa zależy w dużym stopniu od prędkości – jest wprost proporcjonalna do kwadratu prędkości: $F_{r}\varpropto v^{2}$ .

Ostatecznie wzór na siłę dośrodkową przyjmie postać:

F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}

( 1.8 )

We wzorze (1.8): $m$ – masa ciała, $v$ – wartość prędkości, $r$ – promień okręgu, po którym porusza się ciało.

Siła dośrodkowa

F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}

jest to siła powodująca zakrzywienie toru ciała. W ruchu jednostajnym po okręgu siła dośrodkowa ma stałą wartość i jest zawsze skierowana do środka okręgu.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła $F$ działająca na ciało o masie $m$ nadaje mu przyspieszenie $a=\frac{F}{m}$ . Dotyczy to również ruchu po okręgu. Tak więc siła dośrodkowa nadaje ciału przyspieszenie dośrodkowe $a_{r}$ . Przyspieszenie dośrodkowe, podobnie jak siła dośrodkowa, skierowane jest wzdłuż promienia okręgu do jego środka i opisuje tempo zmian kierunku prędkości. Wzór na przyspieszenie dośrodkowe otrzymamy, dzieląc wyrażenie we wzorze (1.8) przez masę ciała $m$ :

a_{r}=\frac{v^{2}}{r}

( 1.9 )

Wyprowadzenie wzoru na przyśpieszenie dośrodkowe $a_{r}$ i siłę dośrodkową $F_{r}$

Pomimo tego, że w ruchu jednostajnym po okręgu wartość prędkości punktu materialnego nie zmienia się, to prędkość jako wektor $\vec{v}$ wciąż zmienia swój kierunek tak, aby zawsze był skierowany stycznie do okręgu (il. 1.33). Można powiedzieć, że w każdym małym odcinku czasu $t$ do wektora prędkości $\vec{v}$ zostaje dodany w kierunku do środka okręgu pewien przyrost prędkości $\Delta\vec{v}$ , który ciągle ustawia wektor $\vec{v}$ stycznie do okręgu, nie zmieniając przy tym jego wartości (il. 1.44). Jak wiemy, stosunek przyrostu prędkości do czasu to właśnie przyśpieszenie: $a_{r}=\frac{\Delta v}{t}$ . Przyśpieszenie to jest skierowane wzdłuż promienia do środka okręgu, dlatego nazywa się przyśpieszeniem dośrodkowym.

Oto wzór na przyśpieszenie dośrodkowe:

a_{r}=\frac{v^{2}}{r}

Wzór ten można wyprowadzić w następujący sposób:

Wyobraźmy sobie, że punkt materialny przechodzi bardzo mały odcinek łuku $s$ od punktu $P$ do $P'$ w czasie $t$ (il. 1.44).

Ilustracja 1.44. **Wektor prędkości**

Styczny do okręgu wektor prędkości w punkcie $P'$ można utworzyć przez dodanie do wektora prędkości $\vec{v}$ w punkcie $P$ przyrostu $\Delta\vec{v}$ (wartość wektora prędkości się nie zmienia, więc $v_{P}=v_{P'}=v$ )

Przenieśmy wektor prędkości z punktu $P$ do punktu $P'$ . Wektor prędkości w punkcie $P'$ możemy traktować jako wynik dodania do wektora $\vec{v}$ przyrostu wektora $\Delta\vec{v}$ . Bardzo mały łuk $s$ możemy uważać za odcinek prostej. Wtedy trójkąt $O P P'$ jest podobny do trójkąta $P' A B$ i możemy napisać proporcję:

\frac{s}{r}=\frac{\Delta v}{v}

Po podzieleniu tego równania stronami przez $t$ otrzymamy:

\frac{s/t}{r}=\frac{\Delta v/t}{v}

W równaniu tym występuje $\frac{s}{t}=v$ – prędkość, oraz $\frac{\Delta v}{t}$ – to jest nic innego tylko właśnie przyśpieszenie dośrodkowe $a_{r}$ , dane wyrażeniem $a_{r}=\frac{\Delta v}{t}$ . Napiszemy więc:

\frac{v}{r}=\frac{a_{r}}{v}

( 1.10 )

Stąd otrzymujemy wzór na wartość tego przyśpieszenia:

a_{r}=\frac{v^{2}}{r}

Druga zasada Newtona mówi, że przyspieszenie ciała jest wywołane siłą. Zatem i w tym przypadku przyczyną występowania przyśpieszenia dośrodkowego jest siła dośrodkowa. Siłę dośrodkową zgodnie ze wzorem Newtona $F_{r}=ma_{r}$ możemy przedstawić następująco:

F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}

Kierunek przyśpieszenia jest zgodny z kierunkiem działającej siły. Siła dośrodkowa jest skierowana do środka okręgu. To ona powoduje występowanie przyśpieszenia dośrodkowego. Przyspieszenie to jest wektorem zawsze prostopadłym do wektora prędkości. Przyspieszenie dośrodkowe nie opisuje zmiany wartości wektora prędkości, lecz zmianę jego kierunku. Jeżeli ustanie działanie siły dośrodkowej (np. w przypadku zerwania więzów), to ciało będzie kontynuować swój ruch, ale po linii prostej.

Siła dośrodkowa działająca na Księżyc

Ilustracja 1.45. **Ziemia przyciąga Księżyc siłą $F_{ZK}$**

Obserwacje ruchu Księżyca posłużyły Newtonowi do odkrycia prawa grawitacji. Prześledzimy tutaj tok rozumowania uczonego. Dla ułatwienia posłużymy się serią pytań i odpowiedzi.

Obserwacje ruchu Księżyca doprowadziły do stwierdzenia, że Księżyc krąży wokół Ziemi w przybliżeniu po okręgu ruchem jednostajnym (il. 1.45). Można powiedzieć, że porusza się jednostajnie po orbicie kołowej. Promień okręgu, po którym w przybliżeniu porusza się Księżyc, wynosi $R_{K}=384\,400\, km$ . Okres, czyli czas jednego pełnego obiegu, wynosi $T=7,3$ doby.

Pytanie: Ile razy promień orbity Księżyca jest większy od promienia Ziemi (przyjmij, że $R_{Z}=6\,400\, km$ )?
Odpowiedź: $\frac{R_{K}}{R_{Z}}=60$ – promień orbity Księżyca jest ok. 60 razy większy od promienia Ziemi.
Pytanie: Ile wynosi prędkość $v$ , z jaką porusza się Księżyc na orbicie wokół Ziemi?
Odpowiedź: Zastosujemy wzór (1.3). Zatem $v=\frac{2\pi R_{K}}{T}=3\,684,49\,\frac{km}{h}=1\,023,47\,\frac{m}{s}$ .

Widzimy, że prędkość Księżyca jest bardzo duża; na przykład jest większa od prędkości kuli karabinowej, która wynosi ok. 800 m/s, ale mała w porównaniu z prędkością Ziemi w jej ruchu wokół Słońca.
Pytanie: Ile wynosi przyśpieszenie dośrodkowe Księżyca?
Odpowiedź: Zastosujemy wzór (1.9): $a_{r}=\frac{v^{2}}{R_{K}}=0,002725\,\frac{m}{s^{2}}$ . Widzimy, że przyśpieszenie dośrodkowe Księżyca jest dużo mniejsze od przyśpieszenia ziemskiego $g=9,81\, m/s^{2}$ . Ile razy? $\frac{a_{r}}{g}=\frac{1}{3600}=\frac{1}{60^{2}}$ .

Promień orbity Księżyca jest 60 razy większy od promienia Ziemi, podczas gdy jego przyśpieszenie dośrodkowe stanowi $\frac{1}{60^{2}}$ przyśpieszenia ziemskiego! To właśnie nasunęło Newtonowi myśl o możliwej zależności siły grawitacji od odległości przyciągających się ciał kosmicznych (odwrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległości).
Pytanie: Ile wynosi siła dośrodkowa działająca na Księżyc i powodująca jego ruch okrężny wokół Ziemi? Masa Księżyca wynosi $m=7,37\cdot10^{22}\, kg$ .
Odpowiedź: Zastosujemy wzór (1.8). Zatem $F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}=7,37\cdot10^{22}\, kg\cdot0,002725\,\frac{m}{s^{2}}=2\cdot10^{20}\, N$ .

Jest to olbrzymia siła w skali „ludzkiej” – musi być tak wielka, aby mogła zakrzywiać tor masywnego Księżyca. Nie trudno się domyślić, że ta siła jest spowodowana obecnością Ziemi (bo przecież ona znajduje się w środku okręgu, po którym porusza się Księżyc). Obrazowo rzec można, że Ziemia przyciąga Księżyc „niewidzialnym sznurem” i trzyma go na uwięzi. Gdyby nagle przestała działać (i gdybyśmy pominęli przyciąganie Słońca), to Księżyc by uciekł od Ziemi – podobnie jak kamień zerwany ze sznurka (il. 1.41).
Pytanie: Jak silnie Ziemia przyciągałaby Księżyc, gdyby znalazł się on na jej powierzchni (oczywiście, aby to zrobić, trzeba by zmniejszyć Księżyc do punktu materialnego, zachowując jego masę)?
Odpowiedź: Zastosujemy wzór $F=mg=7,37\cdot10^{22}\, kg\cdot9,81\,\frac{m}{s^{2}}=72\cdot10^{22}\, N$ .

Fakt, że Księżyc jest duży i nie można byłoby umieścić go (dokładniej jego środka) na powierzchni Ziemi, nie ma tu wpływu na nasze rozumowanie, bo stosunek sił jest równy stosunkowi przyśpieszeń (patrz wzór (1.12)) i dowolnie małe ciało, np. piłka, o małej masie byłoby przyciągane przez Ziemię siłami pozostającymi w takim samym stosunku, jak w przypadku Księżyca.
Pytanie: Ile razy siła działająca na Księżyc znajdujący się na orbicie wokółziemskiej jest mniejsza od tej, o której mowa w punkcie wyżej?
Odpowiedź: Obliczamy:

$\frac{F_{r}}{mg}=\frac{2\cdot10^{20}\, N}{7,2\cdot10^{22}\, N}=\frac{1}{3,6\cdot10^{2}}=\frac{1}{3600}=\frac{1}{60^{2}}$

( 1.11 )

Otrzymaliśmy znowu „magiczną liczbę”: $\frac{1}{60^{2}}$ , która oznacza, że siła, z jaką Ziemia przyciąga inne ciała, maleje wraz z odległością od środka Ziemi odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości.
Innymi słowy: siła ciążenia maleje wraz z odległością, tak jak maleje przyśpieszenie – tego wyniku powinniśmy się spodziewać, gdyż masa $m$ w wyrażeniu (1.8) upraszcza się:

$\frac{F_{r}}{mg}=\frac{ma_{r}}{mg}=\frac{a_{r}}{g}$

( 1.12 )

a to, jak stwierdziliśmy uprzednio, oznacza stosunek przyśpieszeń równy w tym przypadku $\frac{1}{60^{2}}$ .

Możemy stwierdzić, że siła przyciągania (siła grawitacji) maleje wraz z odległością $r$ odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości $\frac{1}{r^{2}}$ , co zapisujemy wzorem:

$F\sim\frac{1}{r^{2}} lub F_{r}\varpropto\frac{1}{r}$

( 1.13 )

Mniej więcej w podobny sposób rozumował Newton, odkrywając prawo grawitacji. Dokładny wzór wyrażający prawo grawitacji Newtona podajemy w dalszej części podręcznika.

Pytania i problemy

Podaj definicję częstotliwości obrotów $\nu$ . W jakich jednostkach wyrażamy częstotliwość?
Podaj definicję okresu w ruchu po okręgu. W jakich jednostkach wyrażamy okres? Podaj związek okresu z częstotliwością.
Promień Ziemi wynosi 6 340 km, doba 24 h. Nadaj tym wielkościom odpowiednie symbole literowe oraz nazwij je, stosując pojęcia zdefiniowane dla ruchu po okręgu.
a) Oblicz, z jaką prędkością względem osi Ziemi porusza się punkt na równiku.

b) Znajdź, posługując się globusem lub mapą, na jakiej szerokości geograficznej znajduje się twoja miejscowość i oblicz, z jaką prędkością względem osi Ziemi porusza się twój dom.
Wyjaśnij, jaką rolę w ruchu jednostajnym po okręgu spełnia siła dośrodkowa?
Zastanów się, jaki kierunek i jaki zwrot ma siła dośrodkowa. Podaj wzór na siłę dośrodkową i objaśnij symbole w tym wzorze stosowane.
Przypomnij, jaki kierunek i jaki zwrot ma przyśpieszenie dośrodkowe.
Zadanie doświadczalne „Rotacja II”: Na talerzu połóż kulkę (np. z łożyska kulkowego). Połóż obok stoper. Ruchem ręki podtrzymującej talerz wprowadź kulkę w ruch okrężny jednostajny (il. 1.46). Całość sfilmuj za pomocą kamery (np. takiej, jaką masz w telefonie komórkowym, kamery internetowej lub innej).
Przy odtwarzaniu filmu na komputerze, korzystając ze „stop klatki”, odczytaj kolejne wskazania stopera w momentach, gdy kulka przechodzi przez określony punkt na obwodzie koła na talerzu. Na tej podstawie wyznacz kolejne okresy ruchu po okręgu kulki: $T_{1}$ , $T_{2}$ i $T_{3}$ .
Czy po wyznaczeniu tych wartości możesz powiedzieć, że masz do czynienia z ruchem jednostajnym po okręgu? Jeżeli tak, to oblicz wartość prędkości kulki. Co jeszcze powinieneś przedtem zmierzyć?
Czy masz już wystarczający zestaw danych do wyznaczenia przyśpieszenia dośrodkowego kulki? Jeżeli tak, to oblicz je.

Czy masz już wystarczający zestaw danych do wyznaczenia siły dośrodkowej działającej na kulkę? Jeżeli nie, to zmierz brakującą wielkość i oblicz tę siłę – skorzystaj ze wzoru (1.8).

Ilustracja 1.46. Zdjęcie do doświadczenia „Rotacja II” (fot. WZ)

Na zakończenie możesz jeszcze określić dokładność swoich pomiarów i wyznaczyć niepewności pomiarowe wielkości zmierzonych i obliczonych w tym eksperymencie.