1.5. Siła grawitacji. Prawo powszechnego ciążenia

Zgodnie z prawami dynamiki Newtona ciało może poruszać się po okręgu tylko wtedy, gdy działa na nie siła dośrodkowa. Gdyby na ciała niebieskie nie działała żadna siła, ciała te musiałyby pozostawać w spoczynku lub poruszać się po liniach prostych ruchem jednostajnym. Jednakże planety poruszają się po torach zbliżonych do okręgów, a zatem w swoim ruchu kołowym wokół Słońca muszą być z nim związane za pomocą jakiegoś niewidzialnego, gigantycznego „sznura”. Wywiera on na planety siły, które nie pozwalają im oddalić się po linii prostej w bezkresną kosmiczną dal. Podobnie kamień przywiązany do sznurka, krążący wokół ręki, jest utrzymywany w tym ruchu siłą dośrodkową wywieraną przez sznurek.

Wyjaśnienie ruchu planet podał Izaak Newton. Stwierdził, że wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie.

Spadające jabłko, czyli jak Newton odkrył prawo grawitacji

Kopernik w swoim dziele pt. O obrotach ciał niebieskich pisał: Najwłaściwiej jest postępować za przezorną przyrodą, która najmocniej się strzegła tworzyć coś zbytecznego lub nieużytecznego, a często jedną rzecz obdarzyła wielorakimi skutkami. Taką „jedną rzeczą” okazała się siła powszechnego ciążenia, inaczej grawitacja – jedyna przyczyna ruchu wszystkich ciał kosmicznych, siła naprawdę obdarzona „wielorakimi skutkami”. Dlatego przyjrzymy się bliżej jednemu z podstawowych oddziaływań w przyrodzie – kształtującej Kosmos sile grawitacji.

Do czasów Newtona na ogół nie szukano przyczyn ruchu kołowego planet wokół Słońca. Jak już wspominaliśmy wcześniej, uważano ruch planet po okręgach za „idealny”. Przyjmuje się, że Newton jako pierwszy zauważył konieczność podania przyczyny krzywoliniowego ruchu planet, wprowadzając do fizyki swoje zasady dynamiki. Nie tylko postawił ten problem, ale też go rozwiązał, dokonując genialnej syntezy zjawisk zachodzących na Ziemi i w Układzie Słonecznym: sformułował prawo powszechnego ciążenia. Swoje odkrycia opisał w opublikowanym 1686 r. dziele pt. Matematyczne zasady filozofii przyrody.

W jaki sposób Newton doszedł do swojego odkrycia? Anegdota mówi o odpoczywającym pod jabłonią Newtonie, który dostrzegł spadające na ziemię jabłko. Wtedy uświadomił sobie, że ta sama siła, która przyciąga jabłko i inne przedmioty znajdujące się w pobliżu Ziemi, musi przyciągać również Księżyc krążący wokół Ziemi. Newton w swoich rozważaniach poszedł dalej. Skoro Ziemia krąży wokół Słońca, to znaczy, że Słońce przyciąga Ziemię siłą o tym samym charakterze. To samo dotyczy również innych planet krążących wokół Słońca.

W myśl trzeciej zasady dynamiki, każda z planet musi wzajemnie przyciągać Słońce z taką samą siłą, lecz przeciwnie zwróconą.

Masa Słońca jest wielokrotnie większa od masy którejkolwiek z planet i dlatego skutki wzajemnego przyciągania odbijają się prawie wyłącznie na planetach – planety i Słońce obiegają wspólny środek masy, który znajduje się bardzo blisko środka Słońca.

Następny krok rozumowania Newtona przynosi stwierdzenie, że Ziemia przyciąga siłą ciążenia wszystkie ciała w swoim otoczeniu, łącznie z Księżycem, planetami i Słońcem; i na odwrót – wszystkie ciała w pobliżu Ziemi przyciągają Ziemię. I oto ostatnie uogólnienie koncepcji Newtona: wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji.

Ilustracja 1.47. **Izaak Newton (1642-1727) – fizyk i matematyk (University of Texas Portrait Gallery)**

Twórca podstaw nowożytnej fizyki, przede wszystkim mechaniki i optyki, odkrywca fundamentalnego prawa grawitacji

Siła wzajemnego przyciągania grawitacyjnego dwóch ciał kulistych o masach $m$ i $M$ , można wyrazić za pomocą wzoru:

F=G\frac{mM}{r^{2}}

( 1.14 )

gdzie $r$ oznacza odległość między środkami tych ciał kulistych. Stałą $G$ występującą w tym wzorze nazywamy stałą grawitacji. Jej wartość, wyznaczana doświadczalnie, wynosi:

G=6,673\cdot10^{-11}\, N\cdot m^{2}\cdot kg^{-2}

Jak określić wymiar nowo poznanej wielkości, w tym przypadku stałej grawitacji? Ze wzoru (1.14) wyznaczamy stałą grawitacji

G=\frac{Fr^{2}}{mM}

i po prawej stronie podstawiamy jednostki występujących tam wielkości w układzie SI. Otrzymamy wymiar stałej grawitacji:

[G]=frac{{Nm^{2}}{kg^{2}}

To samo prawo, które tłumaczy spadanie ciał na Ziemię, rządzi ruchem planet i komet w Układzie Słonecznym, gwiazd w Galaktyce, a nawet ruchem olbrzymich galaktyk. Prawo grawitacji rządzi więc całą mechaniką Kosmosu.

Prawo grawitacji: Wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji. Siła wzajemnego przyciągania dwóch ciał kulistych o masach

M

m

oraz odległości między ich środkami

r

dana jest wyrażeniem:

F=G\frac{mM}{r^{2}}

Ważenie Ziemi

Znając prawo grawitacji i doświadczalnie wyznaczoną stałą grawitacji, możemy obliczyć masę Ziemi i innych ciał naszego układu planetarnego, nie opuszczając pomieszczenia, w którym się znajdujemy.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, siłę

F

nadającą ciału o masie

m

przyspieszenie

a

można zapisać w postaci

F=ma

. Siła przyciągania ziemskiego nadaje ciału przyspieszenie ziemskie

g

– z takim przyspieszeniem spadają swobodnie wszystkie ciała. Stąd zależność

F=mg

Aby wyznaczyć masę Ziemi $M$ , zauważmy najpierw, że siła przyciągania ciała o masie $m$ przez Ziemię, wyrażona wzorem $F=mg$ , przy jej powierzchni jest równa sile grawitacji wyrażonej za pomocą wzoru (1.14), gdzie $r=R$ . Jest to uzasadnione tym, że ciało na powierzchni Ziemi znajduje się w odległości równej promieniowi Ziemi od jej środka. Zatem:

mg=G\frac{mM}{R^{2}}

( 1.15 )

gdzie $M$ jest masą Ziemi, a $R$ – jej promieniem.

Stąd, po uproszczeniu masy $m$ i odpowiednim przekształceniu, otrzymamy:

M=\frac{gR^{2}}{G}

( 1.16 )

Po podstawieniu do wzoru wartości przyspieszenia ziemskiego $g=9,81\,\frac{m}{s^{2}}$ , stałej grawitacji $G=6,673\cdot10^{-11}\,\frac{m^{3}}{kg\cdot s^{2}}$ oraz promienia Ziemi wyznaczonego na podstawie pomiarów geodezyjnych $R=6,37\cdot10^{6}\, m$ , otrzymamy masę Ziemi:

M=5,97\cdot10^{24}\, kg\approx6\cdot10^{24}\, kg

Masa Ziemi jest olbrzymia. Dla porównania, łączna masa wszystkich ludzi na Ziemi (kilka miliardów) stanowi znikomy ułamek masy Ziemi, mianowicie

10^{-13}

. Jest to liczba, której rozwinięcie dziesiętne ma aż 12 zer, po których dopiero występuje jedynka!

Znając masę Ziemi oraz jej promień, nietrudno obliczyć średnią gęstość Ziemi ze wzoru $\rho=\frac{M}{V}$ , gdzie $V$ jest objętością. Po podstawieniu wartości objętości kuli ziemskiej (wyznaczonej ze wzoru $V=\frac{4\pi R^{3}}{3}$ ) otrzymamy:

\rho=5,5\cdot10^{3}\,\frac{kg}{m^{3}}

Jest to bardzo cenna informacja dla geofizyków, gdyż na jej podstawie można wyciągnąć wnioski o zawartości wnętrza Ziemi. Woda ma gęstość $10^{3}\, kg/m^{3}$ . Ma ona mały wpływ na średnią gęstość Ziemi, mimo że wydawałoby się, iż jest jej dużo. Przecież ogromne zbiorniki wodne, jakimi są oceany, stanowią około 70% powierzchni Ziemi. Jednakże ich przeciętna głębokość wynosi zaledwie 4 km (największa głębokość nie przekracza 11 km). W stosunku do promienia Ziemi, który ma długość około 6 370 km, to bardzo mało. Możemy powiedzieć, że oceany pokrywają kulę ziemską warstwą wody o grubości mniejszej niż grubość skórki na jabłku! Decydujący wpływ na średnią gęstość Ziemi mają minerały znajdujące się w jej wnętrzu.

Wartość przyśpieszenia ziemskiego nie jest jednakowa we wszystkich miejscach na Ziemi, a co za tym idzie – zmienna jest także siła grawitacji działająca na ciało. Wynika to z kształtu Ziemi (nie jest ona idealną kulą) oraz z obecności w niektórych miejscach minerałów, których gęstość różni się od średniej gęstości Ziemi. Satelita badawczy okrążający Ziemię doznaje nad takimi miejscami nieznacznych zakłóceń swojej orbity. Rejestrując te zjawiska, można wnosić o obecności poszukiwanych minerałów w różnych, nawet niedostępnych, rejonach kuli ziemskiej.

Siła grawitacji a ciężar

Pojęcia ciężaru i masy są często mylone i stosowane zamiennie. Są to jednak dwa zasadniczo różne pojęcia.

Przypomnijmy przede wszystkim, że ciężar ciała nie jest jego masą. Ciężar definiujemy jako siłę ciążenia w pobliżu Ziemi lub innego ciała kosmicznego. Ciężar ciała jest inny na Ziemi niż na Księżycu. Natomiast masa ciała jest wszędzie jednakowa, ponieważ jest cechą ciała i nie zależy od oddziaływania z innymi ciałami.

Jak mierzymy masę, a jak ciężar? Masę możemy zmierzyć za pomocą wagi szalkowej (il. 1.48). Na jednej szalce kładziemy ważony przedmiot, a na drugiej – odważniki o takiej masie, aby zrównoważyć szalki. Szalki są w równowadze, gdy działają na nie jednakowe siły, czyli gdy na obie szalki działają takie same siły ciężkości. Z równości ciężarów dwóch ciał wynika równość ich mas, gdy ciężary zostały wyznaczone w jednakowych warunkach. Wynik pomiaru masy nie zależy od tych warunków, czyli od tego, czy wykonamy go na Ziemi, czy, na przykład, na Księżycu – jest zawsze taki sam. Musimy jedynie unikać stanu nieważkości – tam ciężar każdego ciała jest równy zeru, niezależnie od jego masy.

Inaczej jest w przypadku wagi sprężynowej. Tu ciężar przedmiotu równoważony jest siłą sprężyny. Wielkość rozciągnięcia sprężyny zależy od siły, z jaką Ziemia (lub inne ciało) przyciąga ważony przedmiot. Wynik pomiaru będzie więc różny na Ziemi i Księżycu – ciężar zależy od tego, gdzie znajduje się ciało.

Ilustracja 1.48. **Waga szalkowa i waga sprężynowa (fot.WZ)**

Która z nich mierzy masę, a która – ciężar?

Przykład: Ciężar kosmonauty

Ile razy mniejszy jest ciężar ciała kosmonauty na Księżycu od jego ciężaru na Ziemi? Wiadomo, że stosunek mas Księżyca i Ziemi wynosi $\frac{M_{K}}{M_{Z}}=\frac{1}{81,23}$ , zaś stosunek ich promieni $\frac{R_{K}}{R_{Z}}=0,273$ .

Rozwiązanie: Ciężar kosmonauty o masie $m$ na Księżycu wynosi:

F_{K}=G\frac{mM_{K}}{R_{K}^{2}}

a na Ziemi:

F_{Z}=G\frac{mM_{Z}}{R_{Z}^{2}}

Po podzieleniu tych równań przez siebie otrzymamy:

\frac{F_{K}}{F_{Z}}=\frac{M_{K}R_{Z}^{2}}{M_{Z}R_{K}^{2}}=0,165\approx\frac{1}{6}

Zatem na Księżycu kosmonauta ma ciężar sześć razy mniejszy niż na Ziemi.

Ilustracja 1.49. **Kosmonauci na Księżycu mogli się przekonać osobiście o słuszności wniosków wynikających z teorii grawitacji (fot. NASA)**

Ciężar kosmonauty na Księżycu jest sześć razy mniejszy od ciężaru na Ziemi

Ciężar ciała nie jest taki sam w każdym miejscu na Ziemi. Po pierwsze, na różnych wysokościach odległość od środka Ziemi jest inna, co – zgodnie ze wzorem (1.14) – daje różne wartości siły przyciągania określonego ciała przez Ziemię. Po drugie, minerały wewnątrz Ziemi nie są rozłożone równomiernie, a to powoduje małe lokalne anomalie siły grawitacji, które wykrywają współczesne satelity. Po trzecie, Ziemia obraca się wokół swojej osi, a to powoduje, że ciała na Ziemi doznają działania siły odśrodkowej. Siła ta jest największa na równiku. Dlatego ciała mają najmniejszy ciężar na równiku, a największy – na biegunie. Wreszcie, po czwarte, kształt Ziemi odbiega od idealnego geometrycznego kształtu kuli – na biegunach Ziemia jest nieco spłaszczona, co zwiększa tam dodatkowo ciężar ciała. Jest to związane, w najprostszym ujęciu, z faktem, iż na biegunie ciało znajduje się nieco bliżej środka Ziemi niż na równiku.

Pytania i problemy

Przypomnij, czym różni się ciężar ciała od jego masy. Zdefiniuj pojęcia ciężaru i masy. Powiedz, co możemy zmierzyć za pomocą wagi sprężynowej, a co – za pomocą wagi szalkowej.
Wyjaśnij, dlaczego ciężar ciała kosmonauty jest inny na Ziemi, niż na Księżycu.
Oblicz, jaki ciężar będzie miał kosmonauta na Marsie, jeżeli jego masa z pełnym oprzyrządowaniem wynosi $m=80\, kg$ , masa Marsa to $M=6,34\cdot10^{23}\, kg$ , promień zaś planety $R=3,39\cdot10^{6}\, m$ .
Dlaczego nie obserwuje się, że dwa ciała, na przykład dwa autobusy, przyciągają się wzajemnie siłą grawitacji? Przecież siła wzajemnego przyciągania dotyczy wszystkich ciał. Odpowiedź uzasadnij liczbowo.
Rozważ, dlaczego ciężar ciała na biegunie jest większy niż na równiku. Załóżmy, że turysta stanął na biegunie Ziemi i zważył na wadze sprężynowej swój plecak – waga wskazała $P_{b}=200\, N$ . Następnie znalazł się na równiku, gdzie również zważył na wadze sprężynowej swój plecak. Jak myślisz, czy waga wskazała tę samą wartość? Mając następujące dane: przyspieszenie ziemskie na biegunie $g=9,83\, m/s^{2}$ , promień Ziemi $R=6,37\cdot10^{6}\, m$ i okres obrotu Ziemi dokoła osi $T=86\,164\, s$ , oblicz ciężar plecaka $P_{r}$ na równiku. Przyjmij, że Ziemia ma kształt kuli.

Ilustracja 1.50. Ciężar ciała na biegunie jest większy niż na równiku
Rozważ, jak prędko musiałaby się obracać Ziemia, aby ciała na równiku nic nie ważyły. Mając następujące dane: przyśpieszenie ziemskie na biegunie $g=9,81\, m/s^{2}$ , promień Ziemi $R=6,37\cdot10^{6}\, m$ i okres obrotu Ziemi dokoła osi $T=86\,164\, s$ , oblicz, ile razy szybciej niż obecnie powinna się obracać Ziemia, aby na równiku ciała nic nie ważyły. Przyjmij, że Ziemia ma kształt kuli.

Ilustracja 1.51. Gdyby Ziemia obracała się odpowiednio szybciej niż obecnie, to ciała na równiku byłyby w stanie nieważkości