2.11. Opory ruchu ciała w płynie – cieczy lub gazie (temat nadobowiązkowy)

Na ciało poruszające się w ośrodku ciekłym lub gazowym działa siła oporu skierowana przeciwnie do ruchu tego ciała. Na il. 2.43 przedstawiono kulkę poruszającą się w takim ośrodku. Widoczne są strugi płynu opływające kulkę oraz zawirowania za kulką. Całkowity opór $T$ ruchu można podzielić na dwa elementy, które nazwiemy: tarciem wewnętrznym $T_{1}$ (lub lepkością) i oporem ciśnieniowym $T_{2}$ . Zatem:

T=T_{1}+T_{2}

( 2.43 )

Siły oporu działajace na kulke w cieczy — Ilustracja 2.43. **Siły oporu działające na kulkę w cieczy**

Kulka poruszająca się ze znaczną prędkością $v$ doznaje siły oporu $\vec{T}$ wynikającej z lepkości oraz różnicy ciśnienia panującego przed kulką i za nią. Z tyłu za kulką widoczne są zawirowania ośrodka

Tarcie wewnętrzne wynika z tego, że ciało poruszające się w płynie powoduje ruch warstw płynu przyległych do ciała. Bezpośrednio przylegająca cienka warstwa płynu oblepia ciało i porusza się z prędkością tego ciała. Coraz dalsze warstwy mają coraz mniejszą prędkość. Między warstwami występują siły tarcia wewnętrznego wynikające z wymiany cząsteczek między nimi. Cząsteczki przechodzące z warstwy powolniejszej hamują warstwę szybszą i na odwrót – cząsteczki przechodzące z warstwy szybszej do powolniejszej przyspieszają tę ostatnią.

Stwierdzono, że tarcie wewnętrzne dominuje w przypadku małych prędkości $v$ ciała i że siła oporu jest proporcjonalna do $v$ :

T_{1}=K_{1}v

( 2.44 )

gdzie $K_{1}$ – współczynnik proporcjonalności, który zależy od rodzaju płynu oraz od kształtu ciała. Przykładowo, dla kuli o promieniu $r$ współczynnik ten wynosi:

K_{1}=6\pi\eta r

( 2.45 )

gdzie $\eta$ – tzw. współczynnik lepkości charakterystyczny dla ośrodka.

Opór ciśnieniowy wynika głównie z występowania różnicy ciśnienia w ośrodku przed i za ruchomym ciałem. Przed ciałem występuje zagęszczenie ośrodka i zwiększone jego ciśnienie, zaś za ciałem występuje rozrzedzenie i zmniejszone ciśnienie. Stwierdzono, że opór ciśnieniowy dominuje w przypadku dużych prędkości ciała i jest proporcjonalny do kwadratu jego prędkości:

T_{2}=K_{2}v^{2}

( 2.46 )

gdzie $K_{2}$ – współczynnik proporcjonalności, który zależy od rodzaju płynu oraz od kształtu i rozmiaru ciała. Dany jest on wzorem:

K_{2}=CS\frac{\rho_{0}}{2}

gdzie $C$ – współczynnik liczbowy zależny od kształtu ciała, $S$ – pole powierzchni przekroju ciała poprzecznego do kierunku ruchu, $\rho_{0}$ – gęstość płynu.

Przykładowo dla kuli o promieniu $r$ :

K_{2}=C\pi r^{2}\frac{\rho_{0}}{2}

( 2.47 )

gdzie $C$ – współczynnik liczbowy (typowe wartości $C$ wahają się od 0,2 do 0,4).

Kryterium oceny prędkości – czy dominuje opór $T_{1}$ , czy opór $T_{2}$ – jest tzw. liczba Reynoldsa $Re$ , która wyraża się za pomocą wzoru:

Re=\frac{T_{2}}{T_{1}}

( 2.48 )

Gdy $Re \lt 1$ , dominuje lepkość; gdy $Re>1$ , dominuje opór ciśnieniowy.

Przy małych prędkościach i dla ośrodków, gdzie $Re \lt 1$ , dominuje lepkość, zawirowania płynu są zaniedbywalnie małe i taki ruch nazywamy ruchem laminarnym. Przy dużych prędkościach i dla ośrodków, gdzie $Re>1$ , dominuje opór ciśnieniowy, występują znaczne zawirowania płynu i taki ruch nazywa się ruchem turbulentnym.

Spadek ciała w cieczy lub gazie

W rozdziale Kinematyka punktu materialnego omawialiśmy swobodny spadek ciała. Zakładaliśmy wtedy działanie na ciało jedynie siły ciężkości, co zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona oznacza, że ruch ciała będzie ruchem jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem ziemskim $g$ . Teraz uwzględnimy siłę oporu $T$ działającą na spadające ciało w ośrodku. Działa tu jeszcze siła wyporu $W$ (il. 2.44).

Ilustracja 2.44. **Siły działające na spadające ciało**

Oprócz siły ciężkości $P$ na ciało spadające działa siła oporu $T$ ośrodka oraz siła wyporu $W$

Druga zasada dynamiki Newtona przyjmuje postać:

ma=P-T-W

( 2.49 )

gdzie: $m$ – masa ciała, $a$ – jego przyspieszenie.

Siła ciężkości i siła wyporu pozostają stałe podczas ruchu, natomiast siła oporu wzrasta wraz z prędkością ciała.

W początkowej fazie ruchu, kiedy prędkość jest mała, opór jest mały i (dla niewielkich ciał w powietrzu) wypór jest też mały. Zatem w początkowych sekundach ruch jest jednostajnie przyspieszony – prędkość narasta liniowo w czasie.

W miarę wzrostu prędkości wzrasta opór, a przyspieszenie ciała maleje. Gdy prędkość wzrośnie znacznie, to siła oporu wzrośnie do tego stopnia, że zrównoważy siłę ciężkości i przyspieszenie spadnie do zera, $a=0$ . Wtedy ruch stanie się jednostajny – ciało będzie opadać ze stałą prędkością, zwaną prędkością graniczną $v_{gr}$ . Wykres prędkości ciała w zależności od czasu przedstawiono na il. 2.45.

Ilustracja 2.45. **Wykres prędkości ciała spadającego w ośrodku lepkim w zależności od czasu**

W przypadku ciał spadających w powietrzu ruch z tą prędkością nie jest laminarnym i dominuje tu opór ciśnieniowy $T_{2}$ (opór laminarny dominuje tylko dla bardzo małych ciał – pyłków, kropelek mgły itp.). Po wstawieniu do równania (2.49) $a=0$ , $W=0$ , $P=mg$ i $T=T_{2}=K_{2}v_{gr}^{2}$ , otrzymamy:

mg=K_{2}v_{gr}^{2}

( 2.50 )

Stąd można obliczyć prędkość graniczną:

v_{gr}=\sqrt{\frac{mg}{K_{2}}}

( 2.51 )

Przykład 10

Obliczymy, z jaką prędkością (graniczną) spadają krople deszczu. Przyjmijmy, że kropla ma kształt kulisty, promień kropli wynosi $r=1\, mm$ , gęstość wody $\rho=10^{3}\, kg/m^{3}$ , gęstość powietrza $\rho_{0}=1\, kg/m^{3}$ , $C=0,4$ .

Rozwiązanie: Do wzoru (2.51) wstawimy $m=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho$ i $K_{2}=C\pi r^{2}\frac{\rho_{0}}{2}$ .

Otrzymamy:

v_{gr}=\sqrt{\frac{2\cdot4\pi r^{3}\rho g}{3\cdot kC\pi r^{2}\rho_{0}}}=\sqrt{\frac{8r\rho g}{3\cdot0,4\rho_{0}}}=\sqrt{\frac{8\cdot10^{-3}\cdot10^{3}\cdot9,81}{3\cdot0,4\cdot1}}\frac{m}{s}\approx8\,\frac{m}{s}

Widzimy, że prędkość spadania kropel wynosi ok. 8 m/s. Doświadczenie potwierdza ten wynik.

Przykład 11

Działanie siły oporu na ciało spadające w powietrzu jest wykorzystywane w spadochronie ratującym życie człowiekowi.

Człowiek, spadając z dużej wysokości bez spadochronu, uderzyłby w ziemię z prędkością graniczną rzędu kilkudziesięciu metrów na sekundę – co zwykle kończy się śmiercią.

Spadochron ma pole przekroju poprzecznego $S$ około sto razy większe w stosunku do człowieka, jak również współczynnik $C$ jest kilka razy większy. Zatem iloczyn $C S$ spadochronu jest kilkaset razy większy niż $C S$ człowieka, co powoduje, że prędkość graniczna człowieka ze spadochronem jest kilkadziesiąt razy mniejsza niż człowieka bez spadochronu. Jest ona bezpieczna, gdyż wynosi od ok. 3 m/s do 4 m/s. Jej wartość jest porównywalna z prędkością skoku przez niewielką przeszkodę.

Pytania i problemy

Opisz siły oporu działające na ciało poruszające się w ośrodku. Nazwij dwa elementy, z jakich składa się całkowity opór ośrodka.
Przedstaw warunki, w których dominuje tarcie wewnętrzne (lepkość). Omów warunki, w jakich dominuje opór ciśnieniowy.
Co to jest liczba Reynoldsa $Re$ ? Podaj wzór i interpretację. Rozstrzygnij, jaki jest charakter zależności liczby Reynoldsa od prędkości. Wykorzystaj wzór (2.48).
Przedstaw sytuacje, w których występują: a) ruch laminarny, b) ruch turbulentny.
Wyprowadź jednostki, w jakich wyraża się współczynnik $K_{1}$ we wzorze (2.44). Na tej podstawie wyprowadź jednostki współczynnika lepkości ośrodka $\mu$ we wzorze (2.45).
Wyprowadź jednostki, w jakich wyraża się współczynnik $K_{2}$ we wzorze (2.46). Wykaż, że stąd wynika, że wielkość $C$ występująca we wzorze (2.47) jest niemianowana i że uzasadnione jest nazywanie $C$ „współczynnikiem liczbowym”.
Napisz wzór wyrażający drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku spadku ciała w gazie. Wstaw tu odpowiednie wyrażenie na opór i oblicz prędkość graniczną.
Opisz zasadę działania spadochronu na podstawie prawa ruchu ciała w ośrodku (iloczyn $C S$ ).