7.2. Pierwsza zasada termodynamiki w odniesieniu do izoprocesów gazu doskonałego – część pierwsza

Przed rozpatrzeniem konkretnych izoprocesów zapiszemy jeszcze pierwszą zasadę termodynamiki w postaci szczególnie dogodnej do rozważenia przemian gazowych. W tym celu do wyrażenia ogólnego pierwszej zasady termodynamiki (7.7) podstawmy wzór (7.6) na pracę wykonaną przez gaz przy małej zmianie objętości $\Delta V$ oraz wzór (7.5) na przekaz ciepła przy małej zmianie temperatury gazu $\Delta T$ , (pamiętając o zasadzie stosowania znaku ciepła i pracy), a w efekcie otrzymamy:

\Delta U=mc\Delta T-p\Delta V

( 7.8 )

Przemiana izochoryczna

Ilustracja 7.6. **Wykres procesu izochorycznego w układzie $(V,\, p)$**

W procesie izochorycznym przyrost objętości jest oczywiście równy zeru ( $\Delta V=0$ ), czyli zgodnie ze wzorem (7.6) $W=0$ , tzn. gaz nie wykonuje pracy. Zatem relacja (7.8), wyrażająca pierwszą zasadę termodynamiki, dla procesu izochorycznego przybiera postać:

\Delta U=mc_{V}\Delta T

( 7.9 )

gdzie $c_{V}$ oznacza ciepło właściwe przy stałej objętości.

Wzór (7.9) wyraża zmianę energii wewnętrznej pod wpływem przyrostu temperatury gazu o $\Delta T$ w procesie izochorycznym. Ale przyrost energii wewnętrznej gazu doskonałego nie zależy od procesu, tylko od temperatury stanu początkowego i końcowego. Zatem związek (7.9) będzie słuszny dla dowolnego procesu, w którym temperatura rośnie o $\Delta T$ . Uwzględniając wzór (7.9), pierwszą zasadę termodynamiki dla gazów zapiszemy w postaci:

mc_{V}\Delta T=mc\Delta T-p\Delta V

( 7.10 )

Powyższa postać ma charakter ogólny i jest stosowana dla dowolnej przemiany, w której ciepło właściwe gazu wynosi $c$ . Jest to postać równoważna wyrażeniu (7.7) i wzorowi (7.8), w której przyrost energii wewnętrznej $\Delta U$ wyrażono bezpośrednio za pomocą zmiany temperatury $\Delta T$ .

Przemiana izobaryczna

W procesie izobarycznym ciśnienie jest stałe, $p=const$ (il. 7.7).

Ilustracja 7.7. **Wykres procesu izobarycznego w układzie $(V,\, p)$**

Gaz podczas podgrzewania rozpręża się i wykonuje pracę. Jednocześnie zwiększa się energia wewnętrzna gazu, ponieważ rośnie jego temperatura. Ciepło dostarczone w tym procesie wyraża się za pomocą wzoru:

\Delta Q=mc_{p}\Delta T

( 7.11 )

gdzie $c_{p}$ oznacza ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu.

Równanie Mayera

Wiemy, że ciepło dostarczone w procesie izobarycznym wyraża się za pomocą wzoru (7.11). Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki (relacja (7.10)) możemy napisać:

mc_{V}\Delta T=mc_{p}\Delta T-p\Delta V

lub

m(c_{p}-c_{V})\Delta T=p\Delta V

( 7.12 )

Wyraz z prawej strony tego równania można przedstawić w innej postaci. Jeżeli gaz zwiększa swoją objętość od $V_{1}$ do $V_{2}$ przy stałym ciśnieniu, to z równania Clapeyrona (6.9) otrzymamy $pV_{1}=nRT_{1}$ i $pV_{2}=nRT_{2}$ . Po odjęciu stronami tych dwóch równań otrzymamy:

p\Delta V=nR\Delta T

( 7.13 )

gdzie $\Delta V=V_{2}-V_{1}$ , $\Delta T=T_{2}-T_{1}$ . Po podstawieniu tego wyniku do wzoru (7.12) otrzymamy:

m(c_{p}-c_{V})=nR

( 7.14 )

Liczba moli $n$ jest równa stosunkowi masy gazu do masy jednego mola gazu, czyli do masy molowej, $n=\frac{m}{\mu}$ , więc równanie (7.14) uprości się do postaci:

c_{p}-c_{V}=\frac{R}{\mu}

( 7.15 )

lub

\mu c_{p}-\mu c_{V}=R

ale zgodnie ze wzorami (7.3) i (7.4)

\mu c=C

( 7.16 )

oznacza ciepło molowe, zatem:

C_{p}-C_{V}=R

( 7.17 )

Powyższy związek jest znany jako równanie Mayera. Widzimy, że dla każdego gazu różnica ciepła molowego przy stałym ciśnieniu i ciepła molowego przy stałej objętości jest równa uniwersalnej stałej gazowej. Wynika stąd, że zawsze $C_{p}$ jest większe od $C_{V}$ , tzn. że dla jednakowego ogrzania gazu (o jednakową ilość kelwinów) trzeba zużyć więcej ciepła w procesie izobarycznym niż w procesie izochorycznym. Jest to intuicyjnie zrozumiałe, ponieważ przy podgrzaniu gazu przy stałym ciśnieniu część dostarczonej energii zostaje zużyta na podniesienie energii wewnętrznej gazu, a część na pracę rozprężania gazu; w procesie izochorycznym $V=const$ praca nie jest wykonywana i całe dostarczone ciepło powoduje tylko wzrost energii wewnętrznej.

Stosunek $c_{p}$ do $c_{V}$ jest charakterystyczny dla określonego gazu. Oznaczamy go grecką literą $\kappa$ (kappa) i nazywamy współczynnikiem Poissona lub współczynnikiem adiabaty:

\kappa=\frac{c_{p}}{c_{V}}=\frac{C_{p}}{C_{V}}

( 7.18 )

Pytania i problemy

Narysuj wykres procesu izochorycznego jako zależność $p$ od $V$ . W jaki sposób zaznaczysz na wykresie, że został on sporządzony dla rosnącej temperatury gazu?
W pewnym procesie temperatura gazu wzrosła o $\Delta T$ , co oznacza, że zmieniła się energia wewnętrzna gazu. Podaj związek między przyrostem energii wewnętrznej i przyrostem temperatury gazu.
Ustal, czy w procesie izochorycznym gaz wykonuje pracę. Czy zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem?
Narysuj wykres procesu izobarycznego jako zależność $p$ od $V$ . W jaki sposób zaznaczysz na wykresie, że został on sporządzony dla rosnącej temperatury gazu?
Wyjaśnij, czy w procesie izobarycznym gaz wykonuje pracę i napisz odpowiedni wzór. Czy jest wymieniane ciepło z otoczeniem?
Pokaż, że między ciepłem molowym przy stałym ciśnieniu a ciepłem molowym przy stałej objętości zachodzi związek opisany równaniem Mayera.
Ile wynosi ciepło molowe przy stałym ciśnieniu gazu – argonu? Wiemy, że ciepło molowe przy stałej objętości argonu wynosi $2,5\, R$ , gdzie $R$ – stała gazowa, $R=8,3143\cdot10^{3}\, J/(K\cdot kmol)$ .