4.4. Samoindukcja
Gdy przez zwojnicę płynie zmienny prąd, wytwarza on strumień pola magnetycznego, który przechodzi przez zwojnicę i sam się zmienia. Zmiana pola wywołuje w tej zwojnicy SEM indukcji. Zjawisko to nazywamy samoindukcją.
Aby zrozumieć zjawisko samoindukcji, przyjrzymy się sytuacji przedstawionej na il. 4.14.
a) Jeżeli przez pętlę przepuścimy zmienny prąd, to zmienne pole magnetyczne przenikające przez pętlę będzie wytwarzać w niej SEM indukcji.
b) Ten sam prąd przepływający przez solenoid składający się z kilku pętli wytworzy wielokrotnie silniejsze pole magnetyczne i wywoła w pętli większą SEM, gdyż pola magnetyczne pochodzące od prądu w każdej pętli nakładają się na siebie.
c) Jeszcze większą SEM indukcji uzyskamy, jeżeli pętla będzie się składać z więcej niż jednego zwoju, gdyż wówczas strumień wektora przepływa przez wiele zwojów, wywołując w każdym z nich SEM; te SEM się dodają.
d) Zmienny prąd w pętli wywoła w połączonej z nią pętli SEM indukcji, podobnie jak poprzednio. Ale również zmienny prąd w pętli wywoła SEM indukcji w pętli .
e) Sytuacja jest tu podobna do przypadku d). Zmienny prąd płynący w każdym ze zwojów solenoidu oddziałuje na pozostałe, wywołując w całym solenoidzie siłę elektromotoryczną samoindukcji (podział na pętlę i jest tu całkowicie dowolny i został na rysunku zachowany tylko w celu dydaktycznym, aby było łatwiej zrozumieć powiązanie tego przypadku z poprzednimi).
Przejdźmy teraz do rozważań ilościowych. Weźmy pod uwagę solenoid, przez który przepływa prąd zmienny. W celu wyrażenia siły elektromotorycznej indukcji w solenoidzie za pomocą natężenia prądu zmiennego , zastosujmy ogólne prawo indukcji Faradaya (4.7): . Obliczmy najpierw zmianę strumienia wektora przenikającego przez solenoid. Strumień przechodzący przez jeden zwój jest równy iloczynowi wektora i pola powierzchni zwoju: . Ponieważ solenoid ma zwojów, całkowity strumień:
Liczbę zwojów można wyrazić jako , gdzie – długość solenoidu, – gęstość liniowa uzwojenia. Natomiast (patrz wzór (3.31)). W obecności substancji o przenikalności magnetycznej zachodzi , zatem:
Widzimy, że wielkość jest stała (nie zależy od wartości natężenia prądu ) i dla długiego solenoidu:
Nazywamy ją współczynnikiem indukcji własnej albo – krótko – indukcyjnością. Zauważmy, że iloczyn jest objętością solenoidu, więc:
Indukcyjność jest dla danego obwodu elektrycznego stała i zależy od jego rozmiarów geometrycznych. Jednostką indukcyjności jest henr . Zgodnie z ogólnym wzorem
jeden henr jest to wartość indukcyjności takiego obwodu, w którym prąd o natężeniu jednego ampera wytwarza strumień jednego webera . Ponieważ – (można to wyprowadzić, analizując jednostki we wzorze (4.8)), to jeden henr wyraża się jako .
Ze wzoru (4.11) wynika, że jeżeli przez obwód płynie stały prąd, to strumień pola magnetycznego nie ulega zmianie. Wtedy , więc w obwodzie nie występuje SEM samoindukcji . Gdy prąd zmienia swoją wartość, wówczas zmienia się również strumień. W czasie zmiana strumienia wynosi . Korzystając ze wzorów (4.8) oraz (4.11), możemy napisać:
Otrzymaliśmy zatem wzór na SEM samoindukcji:
Znak minus we wzorze jest wyrazem reguły Lenza. Gdy natężenie prądu w obwodzie narasta, SEM samoindukcji temu przeszkadza – znak SEM samoindukcji jest przeciwny do znaku różnicy potencjałów na zaciskach uzwojenia. Natomiast gdy natężenie prądu w obwodzie maleje, SEM samoindukcji przeszkadza temu, co wyraża się znakiem takim samym, jak znak różnicy potencjałów na zaciskach uzwojenia. W ten sposób samoindukcja podtrzymuje w obwodzie malejący prąd.
Pytania i problemy
- W przykładzie (rozdział 3.7. Pole magnetyczne solenoidu) opisano cewkę, która może wytworzyć pole o określonej indukcji. Oblicz: a) indukcyjność cewki bez rdzenia , b) przenikalność rdzenia, który należy umieścić w jej wnętrzu, by uzyskać cewkę o indukcyjności .
- Przyjmij, że cewkę z rdzeniem z poprzedniego zadania zasilono napięciem stałym
. Po czasie ok. 0,12 s stwierdzono, że natężenie prądu
w obwodzie praktycznie przestało wzrastać i ustabilizowało
się na poziomie
. Wobec tego, po tym czasie, natężenie prądu jest stałe. Można zatem
zastosować prawo Ohma, gdyż cewka, prócz indukcyjności
(która teraz już nie wpływa na natężenie prądu), ma opór elektryczny
– jest to opór przewodu, z którego ją nawinięto.
- W pierwszym przybliżeniu przyjmij, że natężenie prądu narastało liniowo (il. 4.16a). Oblicz średnią wartość SEM samoindukcji podczas narastania prądu zgodnie z tą hipotezą.
- Dokładniejsza analiza pokazuje, że natężenie prądu narastało nieliniowo, osiągając wartość asymptotycznie (il. 4.17b). Oblicz średnią wartość SEM samoindukcji podczas narastania prądu zgodnie z tym założeniem. Przyjmij na przykład, że w każdym z sześciu odcinków czasowych o długości natężenie prądu zmieniało się liniowo i skorzystaj z siatki na wykresie oraz z tabeli na il. 4.18c.
- Porównaj wyniki otrzymane w poleceniach „a” i „b”. Uzasadnij, że wynik uzyskany metodą „b” jest lepszym przybliżeniem średniej SEM.