Dotychczas omawialiśmy drgania swobodne, tzn. takie, które zachodzą pod wpływem początkowego wychylenia ciała z położenia równowagi (lub nadania początkowej prędkości), zaś dalszy ruch odbywa się bez udziału sił zewnętrznych. Przy zaniedbaniu sił tarcia drgania takie nie zanikają, co, oczywiście, jest pewną idealizacją. W rzeczywistości, na skutek istnienia sił tarcia drgania takie prędzej czy później muszą zaniknąć; są to tzw. drgania gasnące. Jednakże można temu zapobiegać przez ciągłe pobudzanie układu drgającego za pomocą periodycznej siły zewnętrznej. Drgania powstające w ten sposób nazywamy drganiami wymuszonymi.

Nasze rozważania ograniczymy do drgań wymuszonych działaniem sinusoidalnej siły wymuszającej (jest to bardziej powszechny przypadek, niż by się wydawało; warto wiedzieć, że każdą siłę periodyczną można rozłożyć na składowe sinusoidalne). Przyjmiemy, że siła wymuszająca $F_{wym}$ ma amplitudę $F_{max}$ i działa z częstością kołową $\omega$. Zatem:

Układ drgający pod wpływem siły wymuszającej można sobie wyobrazić na przykład tak, jak pokazano na il. 5.12.

Amplituda drgań wymuszonych

Oprócz siły wymuszającej $F_{wym}$ w układzie drgającym działa jeszcze siła (kwazi)sprężysta $F_s=-kx$ oraz siła tarcia $F_t$. Wypadkowa tych sił nadaje ciału przyśpieszenie $a$. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona mamy:

Można wykazać, a doświadczenie to potwierdza, że w przypadku sinusoidalnej siły wymuszającej układ drga z częstością tej siły $\omega$. Zatem drgania wymuszone odbywają się według równania:

(gdzie występująca w argumencie funkcji sinus faza początkowa $\phi$ oznacza, że drganie wymuszone może różnić się fazą od drgania siły wymuszającej). Zatem przyśpieszenie ciała, zgodnie ze wzorem (5.11), wyniesie:

Po podstawieniu do (5.30) wzoru na przyspieszenie i przemieszczenie – zaniedbując tarcie $\text{(}{F}_t\approx 0\text{)}$ – otrzymamy równanie:

które powinno być spełnione w każdej chwili, co jest możliwe w dwóch przypadkach – gdy $\phi =0$ lub gdy $\phi =\pi$. Dla $\phi =0$ równanie (5.32) po uproszczeniu przyjmuje postać:

Po podstawieniu tu $k=m{\omega }_0^2$ (wzór (6.7), gdzie dla częstości własnej przyjęliśmy oznaczenie ${\omega }_0$, aby ją odróżnić od częstości wymuszającej $\omega$), otrzymamy wzór na amplitudę drgań wymuszonych:

Ponieważ, zgodnie z definicją, amplituda jest dodatnia, wzór (5.33) ma sens wtedy, gdy częstość drgań wymuszających jest mniejsza od częstości drgań własnych, tzn. gdy $\omega <{\omega }_0$. Wtedy drgania odbywają się w tej samej fazie co siła wymuszająca (tzn. że drgania te ani nie spóźniają się, ani nie przyśpieszają w stosunku do drgań siły wymuszającej). Gdy $\omega >{\omega }_0$, drgania zachodzą w przeciwfazie z drganiami siły wymuszającej $\text{(}\phi =\pi \text{)}$. Wtedy dla amplitudy należy wziąć wartość bezwzględną z wyrażenia (5.33):

Wykres amplitudy drgań wymuszonych w zależności od częstości siły wymuszającej przedstawiony jest na il. 5.14a; wykres wykonano według powyższego wzoru. Widzimy, że w pobliżu częstości własnej ${\omega }_0$ krzywa gwałtownie rośnie, do tego stopnia, że dla częstości $\omega ={\omega }_0$wyrażenie traci sens, gdyż amplituda rośnie do nieskończoności. Dzieje się tak, ponieważ przy wyprowadzaniu wzoru (5.34) nie uwzględniliśmy tłumienia drgań przez tarcie. W rzeczywistości krzywa zagina się (przestaje rosnąć) w pobliżu częstości własnej i w tym miejscu amplituda osiąga maksimum (il. 5.14b). Im mniejsze tłumienie, tym większa maksymalna amplituda wychylenia (il. 5.14c). Zjawisko gwałtownego narastania amplitudy drgań dla częstości drgań w pobliżu częstości własnej nazywamy rezonansem; zaś wykres zależności amplitudy wychylenia od częstości siły wymuszającej – krzywą rezonansową.

Doświadczenie pokazowe

Na haku w suficie (lub na wysięgniku statywu) zawieszamy sprężynę, doczepiamy do niej jeden lub dwa odważniki zaopatrzone w haczyki z obu stron. Pod odważnikiem zawieszamy drugą sprężynę, której dolny koniec powinien swobodnie wisieć nad stołem. Chwytamy dolny koniec sprężyny, przyciągamy do powierzchni stołu i drugą ręką wprawiamy w drgania ciężarek. Obserwujemy drgania własne, starając się „zapamiętać” ich częstotliwość (rytm tych drgań).

Następnie wytłumiamy ręką drgania własne i stukamy końcem sprężyny miarowo o stół, każdorazowo unosząc koniec sprężyny o kilka milimetrów nad blat. Jeśli częstotliwość „stukania” będzie istotnie mniejsza lub większa od częstotliwości własnej, to amplituda drgań ciężarka będzie niewielka. Jednak gdy dopasujemy częstotliwość stukania do częstotliwości własnej drgań, to uzyskamy zaskakująco dużą amplitudę drgań - przy niezmienionej amplitudzie czynnika wymuszającego.

Zjawisko rezonansu występuje bardzo często w przyrodzie i technice. Znane są przypadki niszczącego działania rezonansu, na przykład gdy częstość własna drgań budynków była zgodna z częstością drgań gruntu nawet podczas słabego trzęsienia ziemi. Konstrukcje inżynierskie ulegały zniszczeniu przez pracujące w nich silniki – wprawdzie o małej mocy, ale mające częstość równą częstości własnej drgań konstrukcji. Te same przyczyny powodują nieraz łamanie się wałów korbowych czy śmigiełek wirników turbin. Bardzo znanym przykładem destrukcyjnych skutków rezonansu jest zerwanie się w 1940 roku mostu nad cieśniną Tacoma w Stanach Zjednoczonych (il. 5.15). W takich sytuacjach do rezonansu dochodzi najczęściej w sposób nieplanowany, następuje przypadkowa zbieżność częstości własnej układu (z której istnienia zwykle nie zdajemy sobie sprawy) z częstością jakiegoś czynnika wymuszającego (którego pojawienia się nie przewidzieliśmy).

W innych przypadkach rezonans jest pożytecznie wykorzystywany, w sposób celowy. W radio- i teletechnice obwody rezonansowe mają szerokie zastosowanie, w szczególności do wykrywania bardzo słabych sygnałów. Będzie o tym mowa w dalszej części podręcznika.

Popularnym przykładem jest huśtawka. Osoba na huśtawce wykonuje intuicyjnie ruchy swojego ciała z określoną częstością, by wywołać wahania huśtawki o dużej amplitudzie.

Przykład 4

W wagonie kolejowym znajduje się ciężarek o masie $m=50\text{g}$ zawieszony na sprężynie o współczynniku $k=2\text{N}/\text{m}$. Przy jakiej prędkości pociągu $v$ wahadełko wpadnie w rezonans, jeżeli szyny mają długość $L=\mathrm{12,5}\text{m}$?

Rozwiązanie: Rezonans nastąpi wtedy, gdy częstość własna drgań ciężarka na sprężynce będzie równa częstości stuków kół o złącza szyn (i związanych z tym ruchów wagonu w kierunku góra-dół). Innymi słowy, gdy okres drgań własnych $T_0=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ jest równy czasowi przemieszczenia się pociągu na odległość równą długości szyny $T=\frac{L}{v}$. Stąd:

$$v=\frac{L}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}\approx \mathrm{12,5}\frac{\text{m}}{\text{s}}=45\frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Pytania i problemy

1. Wyjaśnij, na czym polega zjawisko rezonansu. Narysuj krzywą rezonansową.
2. Podaj przykłady korzystnego (celowego, planowego) i niekorzystnego skutku rezonansu.