2.4. Budowa atomu

Olbrzymi postęp w technice i technologii XX wieku zawdzięczamy w dużej mierze poznaniu budowy atomu. Powinniśmy zatem wiedzieć, jak jest zbudowany atom i poznać przynajmniej podstawowe jego własności. Zapoznamy się z modelem atomu wodoru Bohra. Mimo że model ten jest bardzo uproszczony i dzisiaj ma raczej historyczne znaczenie, to bardzo dokładnie opisuje całe widmo promieniowania wodoru, a symbole wprowadzone przez Bohra są stosowane do dzisiaj.

Model atomu Bohra

Pierwszą nieklasyczną teorię atomu opracował w 1913 roku Niels Bohr. Bohr próbował wyjaśnić znane w owym czasie wyniki doświadczeń uzyskanych głównie z badania atomowych widm emisji i absorpcji światła. Część jego założeń była zgodna z ówczesną wiedzą o atomie oraz z klasyczną mechaniką i klasyczną elektrostatyką. Inne założenia, znane jako trzy postulaty Bohra, wprowadzały do opisu atomu nowe pojęcia, właściwości i cechy. Niektóre z nich znalazły uzasadnienie w ramach powstałej w latach 30. XX wieku mechaniki kwantowej.

Założenia Bohra zgodne z ówczesnym stanem wiedzy

W drugiej dekadzie XX wieku było jasne, że atom zawiera dodatnio naładowane jądro atomowe (więcej o tym, jak odkryto jądro atomowe, możesz przeczytać w rozdziale 3.1. Miejsce jądra atomowego w strukturze materii). Wiadomo też było, że atomy zawierają elektrony, choć niejasne było, jak są one rozmieszczone w przestrzeni wokół jądra i czy oraz w jaki sposób się poruszają.

Znano całkiem dokładnie wartości mas protonu i elektronu. Fizycy określili też, choć tylko orientacyjnie, rozmiary atomów. Szacowano ich średnice na około 1–2 $\mathring{A}$ (symbol ten – angstrem – oznacza jednostkę długości charakterystyczną dla atomów; $1\,\mathring{A}=10^{-10}\, m$

Bohr przyjął, że najprostszy atom, atom wodoru, składa się z dwóch cząstek: elektronu i protonu. Proton ma masę około 1840 razy większą od masy elektronu. Elektron ma ujemny ładunek elektryczny $+e$ , zwany elementarnym, zaś proton ma ładunek $+e$ (wartość ładunku elementarnego $e=1,6\cdot10^{-19}\, C$ Proton i elektron przyciągają się więc siłami elektrostatycznymi.

Bohr założył, że elektron porusza się wokół protonu po orbicie kołowej. Siłą dośrodkową działającą na elektron jest przyciągająca siła elektrostatyczna wywierana przez proton (il. 2.27).

Ilustracja 2.27. **Atom wodoru według Bohra**

Elektron krąży na orbicie kołowej wokół dodatniego jądra – protonu

Ruch elektronów w tym modelu można porównać do ruchu planet wokół Słońca. Mechanika klasyczna pozwala powiązać promień orbity z prędkością elektronu (a więc także z jego energią kinetyczną) oraz z jego elektryczną energią potencjalną. Zmiana energii atomu przy emisji czy absorpcji promieniowania mogłaby więc być objaśniona zmianami promienia orbity elektronu.

Taki model atomu, zwany planetarnym, był jednak sprzeczny z fizyką klasyczną. Przewiduje ona bowiem, że ładunek poruszający się z przyspieszeniem (w tym przypadku dośrodkowym) emituje promieniowanie elektromagnetyczne o widmie ciągłym. Gdyby światem atomów rządziła fizyka klasyczna, atom nie mógłby istnieć. Emisja promieniowania powodowałaby straty energii elektronu, który szybko – po upływie miliardowych części sekundy – spadłby na jądro.

Aby wyjaśnić istnienie stabilnych atomów, Bohr potrzebował zasady, która wykluczałaby ciągłą emisję promieniowania przez krążący wokół jądra elektron. Oznacza to, że orbitalny ruch elektronu musi podlegać nie tylko klasycznej mechanice, lecz także jakimś innym prawom. Podobnie, by wyjaśnić liniowy charakter widm promieniowania emitowanego przez atomy, omawiany w poprzednim rozdziale, potrzebna była zasada dopuszczająca tylko niektóre wartości energii atomu. To zaś oznaczało, że promienie orbit elektronu nie mogą być dowolne, lecz muszą spełniać określone warunki, dotąd nieznane.

Pierwszy postulat Bohra

Bohr przyjął, że w atomie dozwolone są tylko takie orbity, dla których iloczyn pędu elektronu i promienia jego orbity jest całkowitą wielokrotnością $h$ – stałej Plancka podzielonej przez $2\pi$ .

Iloczyn pędu elektronu i promienia jego orbity nazywa się momentem pędu. Zatem moment pędu elektronu na orbicie może przybierać tylko wartości różniące się od siebie całkowitą wielokrotnością $\frac{h}{2\pi}$ .

mvr=n\frac{h}{2\pi}

( 2.10 )

gdzie: $m$ – masa elektronu, $v$ – jego prędkość, $r$ – promień dopuszczalnej orbity kołowej elektronu, a zmienna $n$ przybiera wartości liczb naturalnych $n=1,\,2,\,\text{…}$ Liczba $n$ została nazwana liczbą kwantową. Wskazuje ona stan, w którym znajduje się atom, i określa jednoznacznie właściwości atomu w tym stanie. Jeśli skorzystamy z klasycznych równań i uzupełnimy je o wzór (2.10), to możemy wyprowadzić wzory na promień $n$ -tej orbity $r_{n}$ , prędkość elektronu na $n$ -tej orbicie $v_{n}$ , a także energię atomu w stanie $n$ -tym $E_{n}$ .

Można zadać pytanie: dlaczego taki właśnie warunek ma spełniać orbita elektronu? Przypuszcza się, że Bohr tak dobrał warunek na dozwolone orbity elektronów, aby model atomu wodoru wyjaśniał obserwowane widma promieniowania tego pierwiastka. Po prostu, dopasował wzór (2.10) do danych doświadczalnych.

Przypuszcza się także, że Bohr przeczuwał, iż elektron wykazuje właściwości falowe (więcej informacji o falowym opisie materii znajdziesz w rozdziale 2.6. Korpuskularno-falowa natura materii (temat nadobowiązkowy)). Mógł on więc sobie wtedy wyobrazić, że związany w atomie elektron musi na swej orbicie tworzyć falę stojącą (o falach stojących piszemy w tomie III, w rozdziale 5.12. Fale stojące). W takiej sytuacji długość orbity (czyli obwód okręgu – spójrz uważnie na wzór (2.10): po jego lewej stronie możemy uzyskać iloczyn $2\pi\cdot r$ ) musi być równa całkowitej wielokrotności długości fali, czyli $n\cdot\left(h/p\right)$ , co możemy rozpoznać po prawej stronie wzoru (2.10), po jego prostym przekształceniu.

Drugi postulat Bohra

Stwierdza się w nim, że stany elektronu znajdującego się na dozwolonych orbitach, zgodnych z pierwszym postulatem, są stacjonarne, czyli elektron znajdujący się na tych orbitach nie wysyła fal elektromagnetycznych.

Postulat ten, o czym już wspomnieliśmy, jest sprzeczny z klasyczną fizyką. W skali atomowej dochodzą do głosu efekty kwantowe (patrz rozdział 2.6. Korpuskularno-falowa natura materii (temat nadobowiązkowy)). W związku z tym prawa elektrodynamiki obowiązujące w skali makroskopowej (potwierdzone doświadczalnie) nie sprawdzają się w pełni w skali mikroświata. Elektron na orbicie musiałby promieniować fale elektromagnetyczne – traciłby energię i po krótkim czasie spadłby na jądro, a atom przestałby istnieć. Jednakże doświadczenie pokazuje, że nic takiego się nie dzieje i atomy są trwałe. Dlatego Bohr postulował istnienie orbit stacjonarnych.

Trzeci postulat Bohra

Głosi on, że podczas przejścia elektronu z jednego stanu stacjonarnego do drugiego jest wypromieniowany albo pochłaniany jeden kwant energii. Atom emituje kwant energii podczas przejścia elektronu z orbity o wyższej energii (opisanej większą liczbą kwantową $n$ , czyli bardziej oddalonej od jądra) na orbitę o niższej energii (o mniejszej liczbie kwantowej, bliższą jądra). Pochłanianie kwantu (absorpcja) zachodzi przy odwrotnym przejściu elektronu – z orbity niższej na wyższą (il. 2.28). Częstotliwość $\nu$ fali elektromagnetycznej wypromieniowanej lub pochłoniętej przy tych przejściach wynika z bilansu energii:

h\nu=E_{n}-E_{k}

( 2.11 )

gdzie $E_{n}$ i $E_{k}$ są energiami odpowiednich stanów elektronu w atomie.

Zauważmy, że foton może być pochłonięty przez atom tylko wtedy, gdy energia fotonu jest równa różnicy między dozwolonymi energiami elektronu. Fotony o innej energii nie mogą zostać pochłonięte przez atom – atom jest dla nich przezroczysty.

Ilustracja 2.28. **Emisja i absorpcja fotonu w atomie**

Elektron może znajdować się tylko na orbitach spełniających pierwszy postulat Bohra. Emisja fotonu następuje, gdy elektron przeskakuje z wyższej orbity na niższą, zmniejszając swą energię o energię wypromieniowanego fotonu, a absorpcja – gdy elektron przeskakuje z niższej orbity na wyższą i zwiększa energię o energię pochłoniętego fotonu

Postulaty Bohra:

I. Dozwolone są tylko takie orbity, dla których moment pędu elektronu jest całkowitą wielokrotnością stałej Plancka $h$ dzielonej przez $2\pi$

mvr=n\frac{h}{2\pi}

II. Elektron znajdujący się na orbitach stacjonarnych, czyli zgodnych z pierwszym postulatem, nie wysyła fal elektromagnetycznych.

III. Podczas przejścia z jednej orbity stacjonarnej na drugą stacjonarną elektron wypromieniowuje albo pochłania kwant energii:

h\nu=E_{n}-E_{k}

Model atomu Bohra pozwala wyznaczyć $r_{n}$ – promienie kolejnych dozwolonych orbit elektronu w atomie wodoru.

Na elektron poruszający się wokół jądra działa przyciągająca siła kulombowska:

F=k\frac{e^{2}}{r^{2}}

Siła oddziaływania między dwoma ładunkami $q_{1}$ i $q_{2}$ jest wprost proporcjonalna do wartości obu ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości $r$ między nimi:

F=k\frac{q_{1}\cdot q_{2}}{r^{2}}

gdzie $k$ jest stałą.

W atomie wodoru oba ładunki: elektronu i protonu mają wartość $e$ (ładunek elementarny). Oczywiście, oddziaływanie grawitacyjne protonu z elektronem możemy pominąć wobec siły elektrycznej.

Siła ta pełni rolę siły dośrodkowej:

F_{r}=\frac{mv^{2}}{r}

Możemy więc przyrównać obie siły i otrzymamy równanie:

k\frac{e^{2}}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}

Jeśli zestawimy to równanie z pierwszym postulatem Bohra, otrzymamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi $r$ i $v$ :

\begin{cases} \begin{array}{c} k\frac{e^{2}}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\\ mvr=n\frac{h}{2\pi} \end{array}\end{cases}

Z układu równań można wyznaczyć $r_{n}$ – promienie kolejnych dozwolonych orbit:

r_{n}=n^{2}\frac{h^{2}}{4\pi^{2}kme^{2}}

( 2.12 )

gdzie $n$ to numer orbity $n=1,\,2,\,3,\,\text{…}$

Po podstawieniu wartości stałych $(h$ – stała Plancka, $m$ – masa elektronu, $e$ – ładunek elementarny) otrzymamy promień pierwszej orbity atomu wodoru: $r_{1}=0,5\,\mathring{A}$ . Łatwo obliczyć promień każdej innej orbity; przykładowo dla $n=3$ otrzymamy:

r_{3}=3^{2}\cdotr_{1}=9\cdot0,5\,\mathring{A}=4,5\,\mathring{A}

Warto jednak pamiętać, że współczesny opis atomów, nie tylko atomu wodoru, jest oparty na mechanice kwantowej. W teorii tej pojęcie toru elektronu (np. w postaci kołowej orbity) w ogóle nie występuje.

Emisja promieniowania. Serie widmowe

Elektron zwykle przebywa na pierwszej orbicie, czyli w stanie o liczbie kwantowej $n=1$ – jest to stan podstawowy atomu. Energia elektronu na tej orbicie jest najmniejsza. Promienie kolejnych dozwolonych orbit są coraz większe, zwiększa się też energia atomu.

Jeśli elektron znajduje się na wyższej orbicie $n>1$ , atom jest w stanie wzbudzonym. Aby wzbudzić atom, czyli spowodować przejście elektronu na wyższą orbitę, trzeba mu dostarczyć odpowiednią energię. Może to być energia termiczna – atom otrzymuje energię potrzebną do wzbudzenia w trakcie zderzenia z innym atomem. Atom może też zostać wzbudzony przez pochłonięcie fotonu, którego energia odpowiada różnicy między energią stanu wzbudzonego a energią stanu podstawowego. Stan wzbudzony nie trwa długo. Elektron powraca do stanu podstawowego w czasie rzędu $10^{-8}\, s$ . Stan ten może zostać osiągnięty poprzez bezpośrednie przejście ze stanu wzbudzonego do podstawowego lub w efekcie kilku przejść ze stanu wzbudzonego na coraz niższe poziomy, aż do stanu podstawowego. Przy każdym przejściu atom emituje jeden foton o odpowiedniej energii.

Często pytamy o „przebieg przeskoku elektronu” – jak on się odbywa? Czy w trakcie przeskoku, przykładowo z orbity drugiej na pierwszą, elektron przebywa w jakiejś pośredniej odległości od protonu (co byłoby sprzeczne z postulatami Bohra)? A jeśli nie, to czy przypadkiem elektron nie porusza się w trakcie przeskoku z nieskończoną prędkością (a więc szybciej niż światło)? Okazuje się, że w ramach modelu Bohra nie potrafimy udzielić odpowiedzi na te i podobne im pytania. Wynika to z ograniczonego zakresu stosowalności tego modelu.

Ujmując rzecz nieco prościej, można stwierdzić, że model Bohra dość poprawnie oddaje energetyczny obraz atomu wodoru. Obserwowane widma, emisyjne i absorpcyjne, dość dobrze zgadzają się z przewidywaniami modelu. Jednocześnie jednak niepoprawnie oddany jest przestrzenny obraz atomu w postaci kołowych orbit. Więcej o tym możesz przeczytać w rozdziale 2.7. Atomowe orbitale elektronowe – bardziej zaawansowane wyobrażenie atomu (rozdział nadobowiązkowy). Trzeba też pamiętać, że stosowanie tego modelu do opisu innych atomów niż atom wodoru napotkało na duże trudności i nigdy nie dało nawet częściowo zadowalających rezultatów.

Przypomnij sobie pojęcie serii widmowych z rozdziału 2.3. Widma promieniowania gazów. Model Bohra pozwala zinterpretować serie widmowe jako podzbiory widma: w każdej serii widmowej zgrupowane są linie widmowe powstające przy przeskokach na tę samą orbitę $k$ , z orbit o numerach $n$ , wyższych od niej , czyli $n=k+1$ , $n=k+2$ itd. Na il. 2.29 pokazano schematycznie, jak powstaje seria Balmera, a także inne serie w widmie wodoru.

rysunek — Ilustracja 2.29. **Jak powstaje seria Balmera (i inne serie) w widmie wodoru?**

Podczas przejść elektronów w atomie wodoru na drugą orbitę $k=2$ (z orbit trzeciej, czwartej itd.), emitowane są fotony o długościach fal należących do widzialnego zakresu widma (seria Balmera). Gdy elektrony przeskakują na pierwszą orbitę $k=1$ (z orbit drugiej, trzeciej itd.), emitowane jest promieniowanie leżące w nadfiolecie (seria Lymana). Przeskoki elektronów na orbitę trzecią $k=3$ (z orbit czwartej, piątej itd.), powodują emisję fotonów o długościach fal z zakresu podczerwieni (seria Paschena)

Poziomy energii atomu i widmo promieniowania – wyprowadzenie wzorów

W rozdziale 2.3. Widma promieniowania gazów stwierdziliśmy, że atom wodoru promieniuje fale światła tylko o wybranych częstotliwościach zgodnych ze wzorem (2.8):

\nu=R\cdot\left(\frac{1}{n'^{2}}-\frac{1}{n^{2}}\right)

gdzie $k$ i $n$ oznaczają, odpowiednio, stan energetyczny atomu po emisji i przed emisją.

Bohr zapostulował, że częstotliwość $\nu$ fali elektromagnetycznej wynika z bilansu energii $E$ elektronu w atomie:

h\nu=\left|E_{k}-E_{n}\right|=E_{n}-E_{k}

( 2.13 )

gdyż $E_{k}\ltE_{n}$

W obu wzorach występuje częstotliwość $\nu$ . Wzór (2.8) wyznacza doświadczalne wartości $\nu$ , zaś wzór (2.13) wyznacza teoretyczne wartości $\nu$ .

Z doświadczalnego wzoru (2.8) Bohr mógł wywnioskować, jaki powinien być charakter zależności energii atomu od liczby kwantowej $n$ . Wystarczy przekształcić równanie (2.8) następująco: pomnożyć obie strony przez $h$ i rozbić prawą stronę równania na dwa wyrazy:

h\nu=h R\cdot\frac{1}{k^{2}}-h R\cdot\frac{1}{n^{2}}

( 2.14 )

Po porównaniu tego wzoru z (2.13) otrzymamy wzór na energię elektronu w stanach $k$ i $n :$

E_{k}=-h R\cdot\frac{1}{k^{2}}

( 2.15 )

E_{n}=-h R\cdot\frac{1}{n^{2}}

( 2.16 )

Pokażemy teraz, jak z pierwszego postulatu Bohra wynika wzór na energie poziomów elektronowych w atomie wodoru i że wzór ten ma postać (2.15) i (2.16). Elektron mający ujemny ładunek, $-e$ , krąży wokół dodatniego jądra – protonu, o ładunku $+e$ . Energia elektronu:

E_{n}=\frac{mv^{2}}{2}+U

( 2.17 )

gdzie $U$ jest energią potencjalną elektronu w centralnym polu elektrostatycznym jądra:

U=-k_{0}\frac{e^{2}}{r}

( 2.18 )

Kulombowska siła przyciągania elektronu do jądra jest siłą dośrodkową. Mamy stąd równanie:

k_{0}\frac{e^{2}}{r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}

zatem

mv^{2}=k_{0}\frac{e^{2}}{r}

( 2.19 )

Korzystając ze wzoru (2.18), otrzymamy wyrażenie opisujące energię kinetyczną:

E_{kin}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{1}{2}k_{0}\cdot\frac{e^{2}}{r}=-\frac{1}{2}U

Energia elektronu, po uwzględnieniu wzoru (2.17):

E_{n}=-\frac{1}{2}U-U=-\frac{1}{2}U=-k_{0}\cdot\frac{e^{2}}{r}

( 2.20 )

Widzimy, że wystarczy teraz wyrazić promień orbity $r$ za pomocą liczby kwantowej $n$ , aby móc wyznaczyć energię $E_{n}$ (gdyż wartości $k_{0}$ i $e$ są znane). Przypomnijmy, że tę część wyprowadzenia wykonaliśmy już wcześniej, kończąc ją wzorem (2.12).

Aby otrzymać ostateczny wzór na dopuszczalne energie elektronu w atomie wodoru, wystarczy wyrażenie (2.12) podstawić do wzoru (2.20). Wówczas otrzymamy:

E_{n}=-\frac{2\pi^{2}k_{0}^{2}me^{4}}{h^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}}

( 2.21 )

Widzimy, że teoria Bohra daje właściwy (pochodzący z doświadczenia) wzór na energię elektronu w atomie wodoru.

Pytania i problemy

Przedstaw model Bohra atomu wodoru. Nazwij cząstki, jakie wchodzą w jego skład, podaj jakie mają ładunki, i jaki jest stosunek ich mas. Wyjaśnij, jakimi siłami te cząstki działają na siebie.
Wyjaśnij, w jaki sposób – według Bohra – porusza się elektron w atomie wodoru. Przedstaw pierwszy postulat Bohra.
Wyjaśnij, co oznacza stacjonarność dozwolonych orbit elektronu (drugi postulat Bohra). Zastanów się i powiedz, jak by się zachowywał elektron w atomie, gdyby nie obowiązywał ten postulat.
Przedstaw trzeci postulat Bohra w postaci wzoru oraz wyjaśnij opisowo, jaki ma związek z widmem atomu wodoru.
Wyjaśnij, co to jest widmo promieniowania atomu. Jak powstają widma emisyjne i absorpcyjne?
Rozważ, dlaczego najpierw została odkryta seria Balmera, a dopiero później inne serie widmowe. Wskazówka: Weź pod uwagę przykład Seria Balmera.