3.2. Własności jąder atomowych

Jądro atomowe jest strukturą niepodobną do żadnego z obiektów obserwowanych w świecie makroskopowym. W tym rozdziale poznamy dwa nowe aspekty właściwości jąder atomowych. Zacznijmy od przypomnienia poznanych już cech.

Skład. Jądro atomowe pierwiastka „X” zawiera $Z$ protonów, $A$ nukleonów oraz $A-Z$ neutronów, co zapisujemy jako:

$_{Z}^{A}X$
Masa jądra. Jest ona określona przede wszystkim liczbą masową $A$ . Można byłoby przypuszczać, że masa jądra jest sumą mas nukleonów zawartych w jądrze. Dowiesz się jednak z tego rozdziału, że masa jądra jest mniejsza od sumy mas nukleonów, z których złożone jest jądro! Co ważniejsze, wynika to ze słynnego wzoru (3.1).
Rozmiary jądra. Będziemy traktować jądro atomowe jako kulę, choć wiele jąder ma bardziej złożone kształty. Promień jądra, podobnie jak jego masa, zależy od liczby masowej $A$ . Jego wartość wyraża przybliżony, empiryczny wzór:

_{Z}^{A}X

( 3.4 )

gdzie: $R_{0}=1,2\cdot10^{-15}\, m$ , zaś $A$ to liczba masowa. Zatem rozmiary jąder atomowych zawierają się w granicach $\left(1,2\div6,3\right)\cdot10^{-15}\, m$ . Często mówimy, że jądro atomowe to obiekt o promieniu kilku femtometrów $1\, fm=10^{-15}\, m$ .

Przykład: Rozmiary jądra a rozmiary atomu

Oszacujmy rozmiary jądra atomowego i ich stosunek do rozmiarów atomu.

Rozwiązanie: Typowa średnica jądra atomowego to 10 fm, czyli $10^{-14}/10^{-10}=10^{-4}$ , zaś typowa średnica atomu to $1\,\mathring{A}$ , czyli $10^{-10}\, m$ . Tak więc stosunek rozmiaru jądra atomowego do rozmiaru atomu to wielkość rzędu:

10^{-14}/10^{-10}=10^{-4}

Okazuje się, że jądro atomowe ma wielkość jednej dziesięciotysięcznej części atomu.

Ilustracja 3.23. **Jeśli jądro atomowe miałoby wielkość piłki do ping-ponga, to atom miałby wielkość boiska**

Gdyby rozmiary atomu powiększyć do rozmiarów boiska do piłki nożnej, to rozmiary jądra atomowego byłyby mniejsze niż rozmiary piłki – i to nie piłki nożnej, ale piłeczki do ping-ponga.

Energia wiązania i defekt masy

Jądro atomowe to układ oddziałujących ze sobą nukleonów, związanych siłami jądrowymi. Gdybyśmy chcieli rozdzielić nukleony wchodzące w skład jądra, to musielibyśmy dostarczyć energii $\Delta E$ , by je oddalić od siebie. Tę energię nazywamy energią wiązania jądra.

Energia wiązania jądra atomowego to energia, którą trzeba dostarczyć do jądra atomowego, by rozdzielić je na swobodne nukleony. W procesie odwrotnym (często wieloetapowym), gdy swobodne nukleony łączą się w jądra atomowe, wydzielana jest energia wiązania o łącznej wartości

\Delta E

Pojęcie energii wiązania ma zastosowanie do dowolnego układu, w którym wyodrębnimy, choćby myślowo, przyciągające się składniki. Na przykład, by rozdzielić cząsteczkę wody na atom tlenu i atomy wodoru, trzeba dostarczyć jej energii. Na odwrót, w przypadku łączenia się atomów tlenu i wodoru w cząsteczkę wody wydziela się energia, makroskopowo rejestrowana jako wybuch.

Wydzielanie się energii wiązania grawitacyjnego występuje w skali kosmicznej. Tu przykładem może być zapadanie się obłoku materii kosmicznej przy tworzeniu się gwiazdy. Wydzielona w tym procesie energia objawia się drastycznym wzrostem temperatury – gwiazda „się zapala”.

Pamiętamy słynny wzór Einsteina:

E=mc^{2}

Zastanówmy się, jaki jest jego związek z energią wiązania $\Delta E$ . Jeśli po lewej stronie tego równania wystąpi właśnie $\Delta E$ , to po prawej musi pojawić się iloczyn $\Delta m$ i $c^{2}$ :

\Delta E=\Delta m \cdot c^{2}

Co znaczy $\Delta m$ ? Skoro $\Delta E$ oznacza ubytek energii (w procesie tworzenia jądra energia wiązania jest wydzielana), to $\Delta m$ musi oznaczać ubytek masy. Jeśli protony i neutrony tworzą związany układ nukleonów (jądro atomowe), to tracą część swojej masy wraz z energią wypromieniowaną w procesie tworzenia się jądra. Konsekwencją tego jest fakt, że masa jądra jest mniejsza od sumy mas tworzących to jądro nukleonów. Ten niezwykle ważny efekt nosi nazwę defektu masy. Doświadczalne porównanie mas jąder atomowych z masami swobodnych nukleonów, wchodzących w ich skład, jednoznacznie potwierdza ten wzór.

Ubytek masy nietrudno wyznaczyć, korzystając z zależności (il. 3.24):

We wzorze na il. 3.24: $E_{w}$ to energia wiązania jądra, $A$ i $Z$ – liczby: masowa i atomowa, $m_{p}$ , $m_{n}$ , $m_{j}$ – masy protonu, neutronu i całego jądra, $c$ – prędkość światła w próżni. Zauważmy, że $Zm_{p}$ – to suma mas protonów, a $\left(A-Z\right)m_{n}$ – suma mas neutronów.

Ilustracja 3.25. **Poglądowe przedstawienie deficytu masy**

Masa jądra (tutaj jądra $_{2}^{4}He$ ) jest mniejsza od sumy mas neutronów i protonów, z których jądro jest zbudowane

Przykład: Deficyt masy deuteronu

Jądro ciężkiego wodoru (deuteru), czyli tzw. deuteron, składa się z dwóch nukleonów – protonu i neutronu. Korzystając z wartości mas podanych za pomocą jednostek energii (czyli $MeV/c^{2}$ ): masa jądra deuteru $m_{D}=1\,875,62\, MeV/c^{2}$ , masa protonu $m_{p}=938,27\, MeV/c^{2}$ i masa neutronu $m_{n}=939,57\, MeV/c^{2}$ , oblicz energię wiązania deuteronu.

Rozwiązanie: Rachunek jest uproszczony dzięki wyrażeniu masy w jednostkach energii. Deficyt masy wyrażony w tych jednostkach, po uwzględnieniu czynnika $c^{2}$ , jest energią wiązania deuteronu $E_{w}=\Delta E$ , więc postępując zgodnie ze wzorem przedstawionym na il. 3.24, otrzymujemy:

E_{w}=[(m_{p}+m_{n})-m_{D}]c^{2}=[1\,877,84\, MeV/c^{2}-1\,875,62\, MeV/c^{2}]\, c^{2}=2,22\, MeV

Podobnie jak energia wiązania, tak i deficyt masy występuje w każdym układzie związanym. Jednakże w układach ciał makroskopowych, a nawet atomów i cząsteczek, deficyt ten jest tak mały, że niemożliwy do zmierzenia przy dzisiejszej technice (patrz zadania 2. i 3. w sekcji Pytania i problemy). Skutkiem tego było m.in. sformułowanie przez Antoine’a Lavoisiera, pod koniec XVIII wieku, empirycznego prawa zachowania masy. Głosi ono, że suma mas produktów reakcji jest równa sumie mas jej substratów. Wykrycie odstępstw od tego prawa (np. w postaci deficytu masy jąder atomowych) potwierdziło słuszność wzoru $\Delta E=\Delta m c^{2}$ . Co więc z prawem zachowania masy? Jest ono do dziś stosowane – jako bardzo dobre przybliżenie – do opisu reakcji chemicznych.

Wiele podstawowych właściwości jąder atomowych zależy od liczby masowej $A$ ; energia wiązania nie jest tu wyjątkiem. Ogólnie rzecz ujmując, łączna energia wiązania wszystkich nukleonów w jądrze jest tym większa, im więcej nukleonów zawiera jądro. Okazuje się jednak, że nie jest to zależność proporcjonalna, co prowadzi do wyjątkowo ciekawych efektów.

By fakt ten uwydatnić, pokażemy, jak energia przypadająca na związanie pojedynczego nukleonu w jądrze zależy od liczby masowej $A$ . Zależność ta przedstawiona jest na załączonym poniżej wykresie (il. 3.27).

Ilustracja 3.27. **Zależność energii wiązania nukleonu w jądrze od liczby masowej $A$**

Można zapytać: Czy przebieg zależności energii wiązania nukleonu w jądrze jest ważny, czy coś z niego wynika? Odpowiedź brzmi: TAK! Jest bardzo ważny i wynika z niego bardzo wiele. Oto najprostsze przykłady: z wykresu na il. 3.27 wyczytujemy możliwość skonstruowania reaktora jądrowego (i bomby atomowej), widzimy źródła energii gwiazd, w tym Słońca, objaśniamy zawartość pierwiastków na Ziemi. Można także postawić tezę, że gdyby wykres (il. 3.27) miał inny przebieg, to nasz Wszechświat wyglądałby inaczej, a może wcale nie mógłby istnieć. Odnosi się to również do życia na naszej planecie.

Zwróćmy już teraz uwagę na podstawowe cechy wykresu z il. 3.27:

Dla małych liczb masowych obserwujemy ogólny wzrost energii wiązania nukleonu w jądrze, ale wzrost ten jest bardzo nieregularny i są przypadki, gdy dla większych wartości liczby masowej $A$ energia wiązania jest mniejsza. Należy tu zwrócić uwagę na obecność kilku stosunkowo silnie związanych jąder atomowych: $_{2}^{4}He$ ; $_{6}^{12}C$ i $_{8}^{16}O$ .
Dla $A$ przyjmujących wartości około 60 energia wiązania przypadająca na jeden nukleon jest największa – wynosi ok. 8,8 MeV. Oznacza to, że jądra atomowe żelaza oraz pierwiastków z nim sąsiadujących są najsilniej związane spośród wszystkich jąder atomowych.
Wraz z dalszym wzrostem liczb masowych (powyżej $A=60$ ) energia wiązania nukleonów zmniejsza się. Energia wiązania nukleonów w jądrach o największych wartościach $A$ jest o ok. 1 MeV mniejsza niż największa energia wiązania.

Siły jądrowe

Wspomnieliśmy w rozdziale 2.4. Budowa atomu, przy okazji omawiania oddziaływania elektronów z jądrem atomowym, że ładunki elektryczne oddziałują siłą proporcjonalną do ich iloczynu $q_{1}\cdot q_{2}$ i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi, $\frac{1}{r^{2}}$ . W szczególności, dwa dodatnio naładowane protony odpychają się siłą $F$ daną wyrażeniem:

F=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}

( 3.5 )

gdzie $k$ jest współczynnikiem proporcjonalności.

W jądrach atomowych protony znajdują się w bardzo małych odległościach od siebie. Działają więc między nimi ogromne siły odpychające. Obecność obojętnych elektrycznie neutronów nie wpływa istotnie na to odpychanie. Pomimo tego jądro stanowi związany, zwarty obiekt. Wypływa stąd wniosek, że między protonami (a także neutronami) w jądrach atomowych muszą działać jakieś inne siły (oprócz elektrycznych), które są przyciągające i większe od sił odpychania elektrostatycznego. Siły te powinny działać również na neutrony, gdyż są one także związane w jądrach. Z drugiej strony, siły te muszą mieć mały zasięg, bo nie są obserwowane w odległościach większych niż typowy rozmiar jądra atomowego. Przykładowo, nie stwierdzamy, by jądra atomowe różnych atomów (oddalone od siebie o kilka angstremów) oddziaływały na siebie inaczej niż siłą elektryczną.

W przyrodzie występują oddziaływania grawitacyjne i elektromagnetyczne. Wynikające z nich siły nie umożliwiają jednak wytłumaczenia mechanizmu wiązania nukleonów w jądra atomowe. Przyciągające siły grawitacyjne są bowiem o wiele słabsze od sił elektromagnetycznych. Siły elektromagnetyczne są przyciągające dla cząstek o ładunkach różnoimiennych, ale są odpychające dla cząstek o jednakowym ładunku.

Siły wiążące protony i neutrony w jądrach atomowych (oraz kwarki w nukleonach) są przejawem występowania w przyrodzie tzw. oddziaływań silnych. Ze względów historycznych oddziaływania między nukleonami wewnątrz jąder atomowych określamy mianem oddziaływania jądrowe lub siły jądrowe.

Sformułujmy najważniejsze własności sił jądrowych.

Są niezależne od ładunku elektrycznego; swym działaniem obejmują zarówno protony, jak i neutrony, praktycznie na jednakowych zasadach.
Są krótkozasięgowe, ich zasięg jest rzędu $10^{-15}\, m$ .
Są przyciągające, ale stają się odpychające na bardzo małych odległościach, rzędu $10^{-16}\, m$ i poniżej.
Siły te działają tylko między sąsiednimi nukleonami w jądrze atomowym, nie obejmują całego jądra; jest to konsekwencją ich krótkiego zasięgu.
W obszarze swego działania, na małych odległościach, są wielokrotnie silniejsze niż siły grawitacyjne i elektromagnetyczne.

Jądro atomowe jest więc strukturą, w której występują oddziaływania „spajające” (przyciągające siły jądrowe, obejmujące tylko sąsiednie nukleony) oraz „stabilizujące” (odpychające siły jądrowe na małych odległościach, które uniemożliwiają zapadnięcie się jednych nukleonów w drugie). Jednak oprócz tego w jądrze atomowym występuje oddziaływanie „rozrywające” – jest nim elektrostatyczne odpychanie między protonami, obejmujące całe jądro. Taki „układ sił” nie zawsze zapewnia równowagę – dlatego nie każda kombinacja protonów i neutronów zapewnia stabilność i trwałość. Ilustruje to tzw. ścieżka stabilności jąder atomowych, omówiona szczegółowo w rozdziale 3.4. Prawo rozpadu promieniotwórczego.

Pytania i problemy

Co to jest deficyt masy jądra atomowego. Podaj jego związek z energią wiązania jądra.
Skorzystaj z wyniku przykładu Deficyt masy deuteronu i oblicz „procentowy deficyt masy” jądra deuteru, wyrażony jako stosunek deficytu masy do łącznej masy jego składników.
Energia wiązania cząsteczki wody $H_{2}O$ wynosi około 3 eV. Przyjmij przybliżone wartości masy: atomu wodoru $m_{H}=1,67\cdot10^{-27}kg$ oraz atomu tlenu $m_{O}=26,7\cdot10^{-27}kg$ i oblicz „procentowy deficyt masy” cząsteczki wody. Porównaj wynik z otrzymanym w zadaniu 2.
Opisz podstawowe cechy zależności energii wiązania pojedynczego nukleonu w jądrze od liczby masowej tego jądra. Postaw hipotezę o związku między jedną z tych cech a składem jądra Ziemi.