3.4. Prawo rozpadu promieniotwórczego

Wyobraźmy sobie próbkę zawierającą początkowo $N_{0}$ jąder promieniotwórczych. Jądro promieniotwórcze to takie, które może ulec przemianie (tutaj – przemianie $\alpha$ , bądź $\beta$ ). Oczywiście, liczba $N$ jąder w próbce, które jeszcze nie uległy przemianie, maleje w czasie. Szybkość ubytku tych jąder w próbce określa prawo rozpadu promieniotwórczego, zwane także prawem zaniku liczebności próbki promieniotwórczej.

Jak maleje liczebność próbki promieniotwórczej?

Doświadczalne badanie próbek promieniotwórczych jąder pokazuje, że liczba jąder $N$ , które nie uległy przemianie po czasie $t$ , maleje tak jak pokazuje krzywa przedstawiona na il. 3.43.

Wykres ten obrazuje prawo rozpadu promieniotwórczego. Zwrócimy uwagę na cztery jego cechy. Trzy pierwsze są widoczne „gołym okiem”:

Zależność jest malejąca. Cecha ta jest oczywista: w miarę upływu czasu jakieś jądra atomowe się rozpadają, natomiast nie ma powodu, by do próbki dołączały „nowe” jądra.
Wykres nie jest linią prostą. Liczba promieniotwórczych jąder pozostałych w próbce maleje nieliniowo wraz z upływem czasu. Uzasadnienie tej cechy podamy w dalszej części paragrafu; tutaj stwierdzimy tylko, że związana jest ona ze statystycznym charakterem rozpadu jądra (procesu emisji cząstki $\alpha$ bądź $\beta$ z wnętrza jądra).
Wykres nie osiąga wartości $N=0$ po żadnym określonym, z góry przewidywalnym czasie. Mówimy, że liczebność próbki dąży do zera asymptotycznie. Ta właściwość prawa rozpadu promieniotwórczego także wynika ze statystycznego charakteru zjawiska – nie da się przewidzieć, po jakim czasie pojedyncze jądro atomowe ulegnie przemianie.

Co to znaczy, że zjawisko rozpadu ma charakter statystyczny? Gdybyśmy nawet potrafili śledzić losy pojedynczego jądra w takiej próbce, to nie potrafilibyśmy przewidzieć, kiedy jądro to ulegnie „czekającej” je przemianie. Przyczyną jest to, że emisja cząstki $\alpha$ czy $\beta$ z wnętrza jądra jest dziełem przypadku: może nastąpić po sekundzie, godzinie, roku... Mówimy, że proces emisji cząstki ma charakter statystyczny, zachodzi z określonym prawdopodobieństwem. Podobnie jest z wynikiem pojedynczego rzutu monetą: może ona upaść bądź „orłem” do góry, bądź „reszką” (każda z tych możliwości jest realizowana z prawdopodobieństwem 50%), ale wyniku pojedynczego rzutu nie da się jednoznacznie przewidzieć. Nie da się też przewidzieć, po ilu rzutach wreszcie uzyska się „orła”.

Jeśli jednak poprosimy wiele osób o jednoczesne wykonanie rzutu monetą, to możemy się spodziewać, że około połowa z nich uzyska „orła”. To oczekiwanie zostanie spełnione tym dokładniej, im więcej osób wykona taki rzut. Podobnie, jeśli będziemy obserwować liczebność całej próbki jąder promieniotwórczych, to stwierdzimy, że maleje ona w czasie według określonego „przepisu”, zwanego prawem rozpadu promieniotwórczego.

Czwarta cecha wykresu związana jest ze skalą czasową. Przyjrzymy się teraz bliżej tej problematyce.

Skala czasowa zaniku liczebności próbki jąder promieniotwórczych

Promieniotwórcze jądra atomowe pierwiastków różnią się prawdopodobieństwem rozpadu. Jeśli więc wyodrębnimy kilka próbek jąder różnych pierwiastków promieniotwórczych (w celu uproszczenia przyjmijmy, że początkowa liczba jąder $N_{0}$ jest taka sama), to wykresy ich liczebności $N$ w czasie nie będą się pokrywać, choć będą miały jednakowy „kształt”. Sytuacja taka jest przedstawiona na il. 3.44.

Ilustracja 3.44. **Zależność czasowa liczebności czterech próbek promieniotwórczych**

Linią niebieską oznaczyliśmy zanik jąder izotopu kobaltu $_{27}^{60}Co$ . Rozpoznajemy w niej kształt z il. 3.43.

Jądra izotopu polonu $_{84}^{214}Po$ charakteryzują się prawdopodobieństwem rozpadu ok. 14 razy większym niż jądra $_{27}^{60}Co$ . Skutkiem tego jest znacznie szybszy zanik liczebności tej próbki: po około 3–4 latach spada ona – w skali wykresu – praktycznie do zera. Spadek ten jest tak szybki, że rozpoznanie charakterystycznego kształtu krzywej zaniku może wydawać się trudne.

Odwrotnie jest dla próbki jąder strontu $_{38}^{90}Sr$ : prawdopodobieństwo ich rozpadu jest ponad pięć razy mniejsze niż w przypadku jąder $_{27}^{60}Co$ . W efekcie, zanik tej próbki jest znacznie wolniejszy; odnosimy wręcz wrażenie, że w skali dwudziestu kilku lat zanik ten jest jednostajny, choć uważne spojrzenie na wykres pozwala zauważyć nieliniowy jego charakter. Wreszcie ostatni izotop, $_{6}^{14}C$ , którego jądra mają prawdopodobieństwo rozpadu ok. 1000 razy mniejsze niż jądra $_{27}^{60}Co$ . Tu widzimy, że w skali wykresu liczebność próbki praktycznie nie ulega zmianie – wnioskujemy, że upływ 20–30 lat w ogóle nie pozwala na zauważenie zaniku próbki.

Podsumujmy tę część rozważań następującym stwierdzeniem: dla każdego izotopu promieniotwórczego należy dobrać właściwą skalę czasu, w którym obserwowany jest zanik próbki. Skala ta związana jest z prawdopodobieństwem zajścia przemiany dla tego izotopu. W naszym przykładzie dogodnymi skalami czasowymi są: dla $_{84}^{214}Po$ ok. 2 lata, dla $_{27}^{60}Co$ ok. 30 lat, dla $_{38}^{90}Sr$ ok. 100–200 lat, zaś dla $_{6}^{14}C$ raczej dziesiątki tysięcy lat.

Warto wiedzieć, że rozpiętość właściwych skal czasowych dla znanych izotopów promieniotwórczych jest ogromna. Obejmuje ona 28 rzędów wielkości i rozciąga się od nanosekund

1\, ns=10^{-9}s

do setek miliardów lat (przypomnijmy, że wiek Wszechświata szacuje się na kilkanaście miliardów lat, a 300 miliardów lat to ok.

10^{-19}s

Czas połowicznego zaniku próbki jąder promieniotwórczych

Prawo rozpadu promieniotwórczego pozwala wyróżnić charakterystyczny czas zwany czasem połowicznego zaniku liczebności próbki (także okresem połowicznego zaniku próbki). Jest to czas, po którego upływie liczebność próbki maleje dwukrotnie. Oznaczamy go symbolem $T_{1/2}$ ; jest on wielkością charakteryzującą dany izotop promieniotwórczy.

W nazwie „czas połowicznego zaniku” tkwi rodzaj pułapki. Można byłoby przypuszczać, że kiedy miną dwa okresy połowicznego zaniku, tj. po czasie równym $2T_{1/2}$ , rozpadną się wszystkie jądra. Nie jest to jednak prawda. Kiedy bowiem drugi raz zaczynamy odmierzać czas, to w próbce jest już tylko połowa z początkowej liczby jąder promieniotwórczych. W czasie drugiego okresu rozpadnie się więc połowa, ale z tej połowy, czyli jedna czwarta początkowej liczby jąder, a jedna czwarta pozostanie nadal promieniotwórcza. Jeśli będziemy liczyć czas po raz trzeci, to rozpadnie się połowa z tej jednej czwartej, czyli jedna ósma pozostanie promieniotwórcza. I tak dalej...

Przykład: Ile jąder pozostanie w próbce?

Zastanówmy się, jaka część początkowej liczby jąder pozostanie promieniotwórcza po pięciu okresach połowicznego zaniku.

Rozwiązanie: Zauważ, że jedna czwarta, to $1/2^{2}$ , jedna ósma, to $1/2^{3}$ itd. Po pięciu okresach w próbce pozostanie więc $1/2^{5}$ , czyli $1/32$ początkowej liczby jąder. Oznacza to, że stosunek $N/N_{0}$ po upływie czasu $T=5\,T_{1/2}$ wynosi 3,125%.

Korzystając z tych wyników, spróbujmy odpowiedzieć na bardziej ogólne pytanie: Ile jąder promieniotwórczych pozostanie w próbce po $n$ okresach, jeśli początkowa liczba jąder była $N_{0}$ ? Po $n$ okresach w próbce pozostanie liczba jąder promieniotwórczych dana wzorem:

N_{n}=N_{0}\cdot\frac{1}{2^{n}}

( 3.6 )

Wzór ten pozwala przewidzieć liczebność próbki w dowolnej chwili $t$ . Wystarczy zauważyć, że liczba okresów połowicznego zaniku $n$ , to po prostu stosunek $t/T_{1/2}$ , gdzie $t$ jest czasem obserwacji. Czas ten niekoniecznie musi być równy całkowitej wielokrotności czasu połowicznego zaniku, więc $n$ niekoniecznie musi być liczbą całkowitą.

Badania rzeczywistych próbek jąder promieniotwórczych pokazują, że liczebność takich próbek zmienia się zgodnie z wykresem na il. 3.43 i zależnością (3.6). W następnym paragrafie przedstawimy i omówimy doświadczenie, którego przebieg jest uwarunkowany prawdopodobieństwem, podobnie jak rozpad jąder promieniotwórczych.

W przyrodzie występują różne izotopy promieniotwórcze, których czasy połowicznego zaniku zawierają się w bardzo szerokim zakresie: od nanosekund do miliardów lat. W tabeli (il. 3.45) ujęto kilka przykładowych izotopów, dla których podano czasy połowicznego zaniku wraz z nazwą rozpadu oraz wybrane informacje o nich.

Ilustracja 3.45. **Tabela – czasy połowicznego zaniku**

„Naturalny zegar promieniotwórczy”. Datowanie izotopowe

Prawo rozpadu promieniotwórczego jest jak zegar, który tyka z czasem równym okresowi połowicznego zaniku. Jednym z bardziej znanych praktycznych zastosowań tego rozpadu promieniotwórczego jest datowanie. Jest to metoda oznaczania wieku minerałów lub przedmiotów pochodzących z odległych okresów historycznych bądź prehistorycznych, czyli sprzed tysięcy, milionów, a nawet miliardów lat. Jest ona stosowana m.in. przez historyków, archeologów i geologów. Datowanie izotopowe polega, w najprostszym ujęciu, na ustaleniu stosunku koncentracji wybranych izotopów promieniotwórczych do izotopów stabilnych w badanej próbce.

Każdy niemal słyszał o możliwości wyznaczenia wieku szczątków organicznych, np. roślin lub zwierząt, które żyły na Ziemi w okresie od kilkuset do kilkudziesięciu tysięcy lat temu. Wykorzystuje się do tego promieniotwórczy izotop węgla $_{6}^{14}C$ , którego okres połowicznego zaniku wynosi 5730 lat.

Ilustracja 3.46. **Wiek słynnego całunu turyńskiego był także badany metodą węgla $_{6}^{14}C$ (fot. Giuseppe Enrie)**

Węgiel jest jednym z podstawowych pierwiastków w organizmach żywych. Najczęściej jest to stabilny izotop węgla $_{6}^{12}C$ , ale w przyrodzie występuje też, choć w bardzo małych ilościach, promieniotwórczy izotop $_{6}^{14}C$ . Kiedy organizm żyje, to następuje w nim stale wymiana materii z otoczeniem i stosunek ilości izotopu węgla $_{6}^{14}C$ do ilości izotopu $_{6}^{12}C$ jest taki, jak w atmosferze. Kiedy jednak organizm żyć przestaje, zmniejsza się w nim ilość promieniotwórczego izotopu $_{6}^{14}C$ zgodnie z prawem rozpadu promieniotwórczego. Wykonując pomiar rozpadów promieniotwórczych w szczątkach organizmów żywych, można zbadać, jak zmienił się ten stosunek, a wykorzystując znaną wartość czasu połowicznego zaniku izotopu $_{6}^{14}C$ – ocenić wiek badanych szczątków.

Pojawia się przy tym ciekawy problem: czy zawartość izotopu

_{6}^{14}C

w atmosferze jest stała? Z jednej strony wiemy, że ulega on rozpadowi promieniotwórczemu. Z drugiej strony, jeśli opisana metoda ma dawać wiarygodne wyniki, to musimy przyjąć, że znana dzisiaj procentowa zawartość

_{6}^{14}C

w atmosferze jest taka sama, jaka była wtedy, gdy badane szczątki przestały wymieniać materię organiczną z otoczeniem. Rozstrzygnięcie tego problemu podamy w następnym rozdziale, poświęconym reakcjom jądrowym.

Wzór (3.6) pozwala obliczyć liczebność próbki $N$ po czasie $t$ , gdy znamy początkową liczebność $N_{0}$ oraz czas połowicznego zaniku $T_{1/2}$ . Dokonajmy prostego „zabiegu”: zamieńmy wielkość szukaną w tym wzorze $(N)$ na daną, a w zamian niech będzie szukany czas $t$ . Wtedy mamy zadanie takie: „Określ czas $t$ , jaki upłynął od chwili, gdy liczebność próbki wynosiła $N_{0}$ , jeśli znasz $N_{0}$ oraz $N$ – jej liczebność obecną (czyli w chwili $t$ ). Dany jest także czas połowicznego zaniku $T_{1/2}$ tej próbki”. To zadanie trzeba rozwiązać.

Przykład: Oceniamy wiek przedmiotu

Stwierdzono, że próbka materii organicznej pobrana ze znalezionego podczas wykopalisk kawałka drewna zawiera trzy razy mniej izotopu $_{6}^{14}C$ (w porównaniu z izotopem $_{6}^{12}C$ ) niż w czasach współczesnych. Na podstawie wykresu z il. 3.47 oceń wiek artefaktu. Dla węgla $_{6}^{14}C$ czas połowicznego zaniku $T_{1/2}=5730$ lat.

Ilustracja 3.47. **Zależność czasowa zawartości izotopu $_{6}^{14}C$ we fragmencie drewna**

Rozwiązanie: Przyjmijmy, że zawartość $_{6}^{14}C$ w drzewie, z którego pochodzi znaleziony kawałek drewna, w chwili jego ścięcia dawno temu to umowne 100% na wykresie na il. 3.47. Obecnie zawartość ta zmalała trzykrotnie i stanowi 33,3% poziomu początkowego. Prowadzimy więc na wykresie poziomą linię (niebieską), odpowiadającą 33,3% na osi rzędnych i szukamy jej przecięcia z wykresem. Z tego punktu prowadzimy pionową linię (czerwoną) i odczytujemy z osi odciętych, że wiek artefaktu wynosi nieco ponad 9000 lat.

Umiejętność posługiwania się logarytmami pozwala obliczyć czas $t$ . Przekształćmy wzór (3.6):

N_{n}=N_{0}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=N_{0}\cdot\left(2\right)^{-n}

(2)^{-n}=\frac{N_{n}}{N_{0}}

-n=log_{2}(\frac{N_{n}}{N_{0}})

W ostatnim przekształceniu wykorzystaliśmy logarytm przy podstawie 2. Szukana wartość $n$ wynosi więc:

n=-log_{2}(\frac{1}{3})=log_{2}(3)\approx1,585

a szukany czas $t\approx1,585\cdot T_{1/2}=1,585\cdot5730$ lat $\approx9082$ lata, co zgadza się z wartością odczytaną z wykresu.

Prawo rozpadu promieniotwórczego jest funkcją wykładniczą, najczęściej wyrażaną w postaci:

N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}

Prawo to jest przykładem „poezji fizyki”. Poeta z pomocą kilku wierszy potrafi ukazać głębię uczuć, piękna, strachu czy nadziei. W fizyce jedno prawo wyrażone prostym wzorem matematycznym potrafi opisać efekty w mechanice, akustyce, optyce, elektryczności itd. Takie jest właśnie prawo rozpadu promieniotwórczego. Ten sam typ wzoru opisuje procesy relaksacyjne w wielu działach fizyki np.: zanik amplitudy drgań sprężyny, wyciszanie głosu struny w instrumentach muzycznych, ochładzanie się cieczy pozostawionej w niższej temperaturze, rozładowanie się kondensatora w obwodach elektrycznych i wiele innych zjawisk; także w dziedzinie chemii, biologii, a nawet nauk społecznych.

Nabycie umiejętności dostrzeżenia piękna i elegancji w prostym, jednolitym opisie matematycznym ogromnej różnorodności przyrody, zgodnie z maksymą e pluribus unum (łac. jedno z wielu), jest zaiste warte wielu wysiłków; dlatego zachęcamy wszystkich, by przeczytali cały rozdział do końca.

Komputerowe modelowanie zaniku promieniotwórczego (rozszerzenie wiadomości dla uczniów zainteresowanych fizyką)

Naturalne przemiany promieniotwórcze zachodzą spontanicznie, bez ingerencji zewnętrznych, w sposób losowy. Nie potrafimy przewidzieć, czy dane jądro rozpadnie się w określonym czasie, czy też nie. By więc opisać rozpad promieniotwórczy, musimy posłużyć się pojęciem prawdopodobieństwa, które najlepiej jest zdefiniować dla licznej próbki.

Obserwujemy próbkę jąder promieniotwórczych, powiedzmy, izotopu kobaltu $_{27}^{60}Co$ , o liczebności $N$ ; po czasie $\Delta t$ stwierdzamy, że liczebność próbki zmalała do $N'$ . Możemy wtedy powiedzieć, że prawdopodobieństwo $p$ rozpadu pojedynczego jądra kobaltu jest ilorazem liczby jąder $\left|\Delta N\right|$ , które się rozpadły, do liczby jąder $N$ , które miały taką możliwość:

p=\frac{\left|\Delta N\right|}{N}

( 3.7 )

W tym wzorze $\Delta N$ jest liczbą ujemną, gdyż oznacza różnicę między końcową liczebnością próbki $N'$ a jej liczebnością początkową $N$ :

\Delta N=N'-N

Wielkość $p$ rzeczywiście ma wszelkie cechy prawdopodobieństwa. Przekonuje nas o tym analiza wzoru (3.7) w przekształconej formie:

p=\frac{\left|N'-N\right|}{N}

Prawdopodobieństwo „sukcesu” jest stosunkiem liczby przypadków (prób), w których odniesiono umowny „sukces”, do wszystkich przypadków, w których ten sukces można było odnieść.

Tak zdefiniowane prawdopodobieństwo nie odzwierciedla, niestety, w sposób jednoznaczny właściwości jąder $_{27}^{60}Co$ stanowiących naszą próbkę. Wynika to z faktu, że zależy ono od arbitralnie ustalonego odcinka czasu $\Delta t$ , po którym określamy liczebność $N'$ . Przyjęto wobec tego zasadę przedstawiania prawdopodobieństwa $p$ w postaci iloczynu:

p=\lambda\cdot\Delta t

( 3.8 )

w którym $\lambda\approx0,13\,1/rok$ określa jednoznacznie właściwości jąder $_{27}^{60}Co$ . Wielkość tę nazywamy stałą rozpadu promieniotwórczego – każdy niestabilny izotop, podlegający którejkolwiek z poznanych przez nas przemian promieniotwórczych, charakteryzuje się określoną wartością $\lambda$ . Z kolei taki zapis narzuca warunek na odcinek czasu $\Delta t$ : musi on być na tyle krótki, by zachować warunek $p{mniejsze}1$ . Dla potrzeb takich, jak komputerowe doświadczenie, które przedstawimy w dalszym ciągu tego paragrafu, przyjmujemy wartości $\Delta t$ możliwie małe. Dzięki temu uzyskamy wartości $p\ll 1$ , co polepszy zgodność wyników komputerowej symulacji z rzeczywistością.

Z powyższego zapisu wynika także, że wielkość $\lambda$ jest mianowana: $\left[\lambda\right]=s^{-1}$ . Jednostce tej nie nadajemy jednak nazwy „herc”, gdyż samo zjawisko rozpadu promieniotwórczego nie ma bezpośrednio charakteru okresowego. Dla izotopu $_{27}^{60}Co$ stała rozpadu $\lambda\approx0,13\,1/rok$ .

Połączenie wzorów (3.7) i (3.8) daje nam matematyczny „przepis” na śledzenie zmian liczebności próbki promieniotwórczej – w jednakowych (możliwie krótkich) odcinkach czasu $\Delta t$ liczebność ta zmienia się (maleje) o $\Delta N$ dane wzorem:

\Delta N=-\lambda\cdot N\cdot\Delta t

( 3.9 )

Należy jednak pamiętać, że we wzorze tym wielkość $N$ nie jest stała! Po każdym odcinku czasu jej wartość maleje, więc ubytki $\Delta N$ nie są jednakowe.

Przeprowadzimy „doświadczenie komputerowe” symulujące – w bardzo prostej wersji – rozpad wirtualnej próbki jąder promieniotwórczych zgodnie ze wzorem (3.9). Do tego doświadczenia przyjmiemy następujące założenia:

Początkowa liczebność próbki $N_{0}=4\,000$ .
Będziemy obserwować liczebność próbki w umownych odstępach czasu $\Delta t=1\, s$ .
Przyjmiemy, że prawdopodobieństwo zajścia rozpadu pojedynczego jądra w jednosekundowym odstępie czasu wynosi 0,1. Oznacza to, że każde z jąder rozpada się w tym czasie z prawdopodobieństwem 10%.
W celu uproszczenia symulacji przyjmiemy, że w każdym jednosekundowym odstępie czasu rozpada się dokładnie 10% próbki.
Jeśli jądro nie ulegnie rozpadowi, to prawdopodobieństwo jego rozpadu w następnym odstępie czasu $\Delta t$ pozostaje stałe i nadal wynosi 10%.

W tabeli (il. 3.48) przedstawiono wynik takiego wirtualnego doświadczenia (dla uproszczenia podano jedynie kilka pierwszych wierszy tabeli), uzyskany w arkuszu kalkulacyjnym. W każdym wierszu pokazano czas, liczbę jąder, które nie uległy rozpadowi do tego czasu, oraz liczbę jąder $\Delta N$ , które ulegają rozpadowi w kolejnym odstępie czasu $\Delta t=1\, s$ ; liczbę tę obliczono zgodnie ze wzorem (3.9):

\left|\Delta N\right|=\lambda\cdot\Delta t\cdot N

Zwróćmy uwagę, że $\Delta N$ stanowi zawsze 10% aktualnej wartości $N$ (zaokrąglone do liczby całkowitej). W każdym kolejnym wierszu czas zostaje powiększony o $\Delta t$ , zaś liczebność $N$ zostaje pomniejszona o $\Delta N$ z poprzedniego wiersza.

Ilustracja 3.48. **Wyniki wirtualnego doświadczenia**

Na rysunku poniżej (il. 3.49) pokazano wykres uzyskanej zależności $N(t)$ . Ma ona wszystkie cechy prawa rozpadu promieniotwórczego, o których wspominaliśmy wcześniej w tym rozdziale.

Ilustracja 3.49. **Zależność czasowa liczby $N$ jąder próbki promieniotwórczej, które nie uległy rozpadowi do czasu $t$**

Czas połowicznego zaniku jest bezpośrednio związany ze stałą rozpadu $\lambda$ wzorem, w którym występują logarytmy (wyprowadzenie tego związku znajdziesz w dalszej części tego rozdziału):

T_{1/2}=\frac{\ln(2)}{\lambda}

Ponieważ $\ln\left(2\right)\approx0,69$ i $\lambda=0,1\,1/s$ , w naszej symulacji komputerowej uzyskaliśmy czas połowicznego zaniku $T_{1/2}$ nieco krótszy niż siedem sekund.

Na koniec pokażemy, że uzyskany w komputerowym doświadczeniu wykres jest w dobrym przybliżeniu zgodny z wykresem uzyskanym na podstawie wzoru (3.6):

N_{n}=N_{0}\cdot\left(\nicefrac{1}{2}\right)^{n}

w którym podstawiliśmy za $n$ iloraz $t/T_{1/2}$ . Na rysunku poniżej (il. 3.50) przedstawiono oba wykresy. Różnice między nimi wynikają z przybliżonego charakteru naszej symulacji komputerowej, w której przyjęliśmy jednosekundowe odstępy czasowe do określania kolejnych wartości liczebności próbki. Im krótszy czas $\Delta t$ zostałby w niej przyjęty, tym wykres czerwony (przybliżony) bardziej zbliżyłby się do wykresu czarnego (dokładnego).

Ilustracja 3.50. Porównanie zależności $N(t)$ uzyskanej w symulacji komputerowej (linia czerwona) z zależnością dokładną (linia czarna) uzyskaną z prawa rozpadu promieniotwórczego

Wyprowadzenie prawa rozpadu promieniotwórczego (materiał nadobowiązkowy)

Wyprowadzimy prawo rozpadu promieniotwórczego, wychodząc z ogólnych przesłanek i przyjmując całkowicie przypadkowy charakter promieniotwórczości jąder.

Przyjmijmy zatem, że rozpad promieniotwórczy danego jądra zachodzi zupełnie przypadkowo. Załóżmy także, że prawdopodobieństwo rozpadu jest stałe w czasie, tzn. zawsze po określonym odcinku czasu liczba jąder zanika jednakowo, np. po określonym czasie $T_{1/2}$ (tzw. okresie połowicznego zaniku) zanika połowa jąder, po czym znowu połowa itd.

Oznaczmy początkową liczbę jąder przez $N_{0}$ .

Po czasie $t=T_{1/2}}$ będzie ich $N_{1}=\frac{N_{0}}{2}$ , czyli

po czasie $t=T_{1/2}$ : $\frac{N_{1}}{N_{0}}=\frac{1}{2}$ .

Po czasie $t=2T_{1/2}$ będzie ich $N_{2}=\frac{N_{1}}{2}=\frac{\frac{N_{0}}{2}}{2}=\frac{N_{0}}{4}$ , czyli

po czasie $t=2T_{1/2}$ : $\frac{N_{2}}{N_{0}}=\frac{1}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$ .

Po następnym odcinku czasu $T_{1/2}$ ich liczba jeszcze raz zmniejszy się o połowę, czyli łącznie po czasie $t=3T_{1/2}$ będzie ich $\frac{N_{3}}{N_{0}}=\frac{1}{8}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3}$ itd.

Widzimy, że po czasie $t=nT_{1/2}$ ich liczba zmniejsza się według wzoru:

\frac{N}{N_{0}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

Uogólnijmy ten wzór. Najpierw zauważmy, że $n=\frac{t}{T_{1/2}}$ i dla dowolnego czasu $t$ mamy zależność:

\frac{N}{N_{0}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

( 3.10 )

Stąd

N=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

( 3.11 )

Otrzymaliśmy wzór – równoważny wzorowi (3.6) – określający prawo rozpadu promieniotwórczego wyrażone za pomocą okresu połowicznego zaniku $T_{1/2}$ .

Aby uzyskać wzór w postaci wykładniczej, należy przekształcić (3.11) w następujący sposób. Najpierw logarytmujemy obustronnie równość (3.11):

\ln\left(\frac{N}{N_{0}}\right)=\ln\left[\left(\frac{1}{2}\right]^{\frac{t}{T_{1/2}}}\right]

Stąd

\ln\frac{N}{N_{0}}=\frac{t}{T_{1/2}}\ln\left(\frac{1}{2}\right)

Zatem

\ln\frac{N}{N_{0}}=-t\left(\frac{\ln2}{T_{1/2}}\right)

( 3.12 )

Oznaczmy wyrażenie w nawiasie przez $\lambda$ :

\lambda=\frac{\ln2}{T_{1/2}}

( 3.13 )

( $\lambda$ – tzw. stała rozpadu promieniotwórczego). Otrzymamy, że:

\ln\frac{N}{N_{0}}=-\lambda t

( 3.14 )

Funkcją odwrotną do logarytmu naturalnego jest funkcja wykładnicza, więc

\frac{N}{N_{0}}=e^{-\lambda t}

Stąd ostateczna postać prawa rozpadu promieniotwórczego:

N=N_{0}e^{-\lambda t}

( 3.15 )

gdzie: $e=2,7183...$ – podstawa logarytmu naturalnego, $\lambda$ – stała rozpadu; jej wartość jest charakterystyczna dla danego pierwiastka promieniotwórczego, $N_{0}$ – liczba jąder pierwotnych w chwili $t=0$ , $N$ – liczba jąder pierwotnych po czasie $t$ .

Pytania i problemy

W podsumowaniu pod il. 3.44 podano orientacyjne skale czasowe, dogodne do przedstawiania zaniku czterech izotopów promieniotwórczych. Uzasadnij, że są one związane z prawdopodobieństwami zajścia przemiany dla tych izotopów. Skorzystaj z informacji w tekście bezpośrednio pod il. 3.44.
Zilustruj graficznie fakt, że czas połowicznego zaniku nie musi być liczony od chwili zero. Wydrukuj wykres na il. 3.43 i zaznacz na nim odcinek odpowiadający $T_{1/2}$ liczony od początku obserwacji. Następnie pokaż, przykładowo, że od chwili osiągnięcia liczebności na poziomie 80% do chwili osiągnięcia 40% także mija $T_{1/2}$ .
Uzupełnij wydrukowany wykres z il. 3.43 o linie obrazujące zanik próbki promieniotwórczej o czasie połowicznego zaniku dwa razy krótszym oraz dwa razy dłuższym niż pokazano na wykresie.
W wykopaliskach pod Kaliszem znaleziono fragment drewnianej palisady. Poddano go datowaniu metodą radiowęglową i stwierdzono, że zawartość izotopu $_{6}^{14}C$ stanowi w nim ¾ zawartości oryginalnej. Oceń na tej podstawie, czy ta palisada mogła powstać za panowania pierwszych Piastów.
Uczeń stwierdził, że skoro po czasie połowicznego zaniku rozpada się połowa początkowej zawartości próbki promieniotwórczej, to po czasie równym połowie $T_{1/2}$ powinna się rozpaść jedna czwarta zawartości próbki. Oceń, czy teza ta jest prawdziwa; uzasadnij swoją ocenę.
Przedstaw, w możliwe ogólnym ujęciu, pojęcie stałej rozpadu promieniotwórczego $\lambda$ .
Wydrukuj wykres 5. (il. 3.49) i zaznacz na nim odcinek odpowiadający $T_{1/2}$ , liczony od początku obserwacji. Następnie pokaż, że kolejnym odcinkom $T_{1/2}$ odpowiadają połówkowe zaniki liczebności próbki.