1.2. Prawo Coulomba

W 1785 roku Charles de Coulomb na podstawie wielu żmudnych pomiarów sformułował prawo oddziaływania ładunków elektrycznych. Swoje pomiary wykonywał za pomocą przyrządu przedstawionego na il. 1.5. Jest to waga skręceń, podobna do zastosowanej kilkanaście lat później przez Cavendisha do pomiaru sił grawitacji (tom 1, rozdział 5.2 Laboratoryjne potwierdzenie prawa grawitacji).

Ilustracja 1.5. **Waga skręceń, za pomocą której Coulomb sprawdzał swoje prawo**

Prawo Coulomba znamy jeszcze z gimnazjum. Przypomnijmy sobie jego treść: siła oddziaływania między dwoma punktowymi ładunkami elektrycznymi jest wprost proporcjonalna do iloczynu wartości ładunków i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między nimi.

Prawo to zapisujemy matematycznie za pomocą wzoru, w którym $q_{1}$ i $q_{2}$ to wartości oddziałujących ładunków, zaś $r$ to odległość między nimi:

F=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}

( 1.1 )

Współczynnik proporcjonalności można również przedstawić w postaci:

k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}

( 1.2 )

gdzie

\varepsilon_{0}

to tzw. przenikalność elektryczna próżni, a

\varepsilon_{r}

zależy od ośrodka i nosi nazwę względnej przenikalności elektrycznej ośrodka;

\varepsilon_{r}

jest bezmianowe, dla próżni

\varepsilon_{r}=1

. Przez ładunek punktowy rozumiemy naładowane ciało o zaniedbywalnie małym rozmiarze. Jest to wygodna abstrakcja, analogiczna do pojęcia punktu materialnego.

Wzór (1.1) przewiduje możliwość uzyskania siły „dodatniej” (gdy ładunki są jednoimienne i się odpychają) lub „ujemnej” (gdy ładunki są różnoimienne i się przyciągają). Należy jednak pamiętać, że wartość wektora (tutaj: wektora siły) jest zawsze dodatnia. Dlatego też we wzorze (1.1) należy wziąć wartość bezwzględną iloczynu ładunków.

Siła kulombowska występująca w równaniu (1.1), podobnie jak inne siły, np. grawitacyjne, podlega trzeciej zasadzie Newtona: siły oddziaływania dwóch ładunków są sobie równe co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie zwrócone. Siła Coulomba, tak samo jak siła grawitacji, jest centralna: działa ona wzdłuż prostej łączącej te dwa ładunki. Zauważmy, że prawo Coulomba jest formalnie podobne do prawa grawitacji.

Jednostką ładunku elektrycznego w układzie SI jest 1 kulomb (1 C). Zdefiniowano go za pomocą natężenia prądu elektrycznego (ponieważ w układzie SI jednostką podstawową jest amper, a nie kulomb). Jeżeli zatem przez przewodnik płynie prąd o natężeniu jednego ampera (1 A), to ładunek przepływający przez przekrój poprzeczny tego przewodnika w ciągu jednej sekundy (1 s) jest równy jednemu kulombowi: $1\, C=1\, A\cdot1\, s$ . Można również zdefiniować tę jednostkę jako wielokrotność wartości ładunku elementarnego, czyli ładunku elektronu i protonu. Wtedy $1C$ ładunków elementarnych.

Jednostką siły jest 1 N, zaś jednostką długości jest 1 m, więc ze wzoru (1.1) wynika, że współczynnik $k$ ma jednostkę $N\cdot m^{2}\cdot C^{-2}$ . Wartość liczbowa $k=10^{-7}\, c^{2}$ (gdzie $c$ – wartość liczbowa prędkości światła). Wiemy, że prędkość światła w próżni wynosi około $3\cdot10^{8}\, m/s$ , więc wartość liczbowa $k$ wynosi w przybliżeniu $9 \cdot 1 0^{9}$ :

k\thickapprox10^{-7}\,\frac{N\cdot s^{2}}{C^{2}}\cdot\left(3\cdot10^{8}\frac{m}{s}\right)^{2}=9\cdot10^{9}\,\frac{N\cdot m^{2}}{C^{2}}

W związku z tym, zgodnie ze wzorem (1.2), przenikalność elektryczna próżni wynosi:

\varepsilon_{0}=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{C^{2}}{N\cdot m^{2}}

W ośrodku (poza próżnią) wartość współczynnika $k$ jest $\varepsilon_{r}$ razy mniejsza (wzór (1.2)).

Przykład 1

Dwa elektrony odpychają się od siebie siłami elektrycznymi $F_{e}$ , ponieważ mają ładunki elektryczne. Mają również masy, więc przyciągają się siłą grawitacyjną $F_{G}$ . Porównajmy te dwie siły.

Masa elektronu wynosi $m=9\cdot10^{31}\, kg$ , ładunek $e=1,6\cdot10^{-19}\, C$ , zaś stała grawitacji $G=6,673\cdot10^{-11}\, m^{3}\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2}$ .

Rozwiązanie: Ponieważ: $F_{e}=k\frac{e^{2}}{r^{2}}$ i $F_{G}=G\frac{m^{2}}{r^{2}}$ , więc:

\frac{F_{e}}{F_{G}}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}Gm^{2}}

( 1.3 )

Widzimy, że stosunek tych sił nie zależy od odległości między elektronami. Po podstawieniu wartości otrzymamy:

\frac{F_{e}}{F_{G}}=4,26\cdot10^{42}

Można więc stwierdzić, że rozpatrując oddziaływania ciał naładowanych elektrycznie, w szczególności w świecie cząstek, atomów i cząsteczek chemicznych, możemy całkowicie zaniedbać ich wzajemne oddziaływania grawitacyjne. Siły grawitacyjne odgrywają pierwszoplanową rolę dopiero przy oddziaływaniu ciał kosmicznych (planet, gwiazd) mających duże masy.

Doświadczenie „Coulomb”

Za pomocą pomiaru siły odpychania elektrostatycznego dwóch metalowych kulek oszacujemy ładunek na każdej z nich.

Ważymy dwie jednakowe lekkie kulki o powierzchniach przewodzących (np. piłeczki pingpongowe pokryte farbą przewodzącą). Zawieszamy je na lekkich sztywnych taśmach izolacyjnych jednakowej długości (proponujemy zastosować taśmy, a nie nitki, żeby kulki po naładowaniu i odskoczeniu od siebie nie „tańczyły” w powietrzu). Można też zamiast sztywnych taśm izolacyjnych użyć cieniutkiej żyłki wędkarskiej zamocowanej na izolującym elemencie. Obie taśmy zwieszamy tak, aby kulki się stykały. Mierzymy odległość $l$ od punktu zawieszenia do środka kulki. Elektryzujemy kulki ładunkiem ujemnym przez jednoczesne dotknięcie ich od dołu szklaną pałeczką. Po naelektryzowaniu kulek nie należy od razu usuwać pałeczki, lecz za jej pomocą ustabilizować kołyszące się kulki. Kulki stabilizują się w odległości $r$ (il. 1.7), a taśmy ustawią się do siebie pod kątem $\alpha$ . Wyznaczymy ładunek kulki i odpowiemy na pytanie, ile elektronów dodaliśmy każdej kulce.

Ilustracja 1.7. Dwie naładowane kulki odskakują od siebie

Zapisujemy wyniki pomiarów. Oto przykładowe wyniki:

- długość taśmy: $l=50\, cm$ ,

- masa kulki: $m=1\, g$ ,

- odległość między kulkami: $r=5\, cm$ .

Opracowujemy wyniki doświadczenia.

Naszym zadaniem jest wyznaczenie ładunku $q$ każdej kulki i, na podstawie znajomości wartości ładunku elektronów $e=1,6\cdot10^{-19}\, C$ , ich dodatkowej liczby na kulce. Spójrzmy na wzór Coulomba (1.1):

F=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}

Przewodzące kulki są jednakowe, jeśli więc odskoczyły jednocześnie od pałeczki, to uzyskały jednakowe ładunki. Nawet jeśli jeden z nich jest nieco większy, a drugi nieco mniejszy, to nie powinny się różnić więcej niż o rząd wielkości. W naszym oszacowaniu uzasadnione jest więc przyjęcie, że $q_{1}=q_{2}=q$ . Na podstawie wzoru Coulomba mamy:

q=r\sqrt{\frac{F}{k}}

( 1.4 )

Wzór ten wystarczy nam do wyznaczenia ładunku, gdyż odległość $r$ zmierzyliśmy, a siłę elektrostatycznego odpychania między kulkami możemy łatwo wyznaczyć na podstawie naszych wyników pomiarowych.

Na il. 1.7 widzimy, że $F=mg\, tg\frac{\alpha}{2}=mg\frac{r}{\sqrt{\left(2l\right)^{2}-r^{2}}}$ . Po podstawieniu tego wyrażenia do wzoru (1.4) i przekształceniu otrzymamy następujący wzór na ładunek kulki:

q=\sqrt{\frac{mgr^{3}}{k\sqrt{\left(2l\right)^{2}-r^{2}}}}

( 1.5 )

Dla naszych danych mamy:

q=\sqrt{\frac{mgr^{3}}{k\sqrt{\left(2l\right)^{2}-r^{2}}}}=\sqrt{\frac{0,0025\, kg\cdot9,81\, m\cdot s^{-2}\cdot\left(0,05\, m\right)^{3}}{9\cdot10^{9}\, N\cdot C^{-2}\cdot m^{2}\cdot\sqrt{\left(2\cdot0,5\right)^{2}-0,05^{2}}m}}=1,85\cdot10^{-8}\, C

Liczbę nadmiarowych elektronów $N$ na kulce otrzymamy, gdy podzielimy ładunek $q$ na kulce przez ładunek jednego elektronu $e=1,6\cdot10^{-19}\, C$ . W naszym przykładzie otrzymamy: $N=1,7\cdot10^{11}$ . Jak widzimy, jest to duża liczba, jednak w porównaniu z liczbą elektronów w objętości $1\, cm^{3}$ metalu (rzędu $10^{22}$ ) $N$ jest sto miliardów razy mniejsza.

Pytania i problemy

Podaj treść prawa Coulomba oraz przedstaw wzór na wartość siły opisanej za pomocą tego prawa.
Wyjaśnij, jakie ciała nazywamy ładunkami punktowymi.
We wstępie (rozdział Elektrostatyka) napisaliśmy, że gdybyśmy dwóm TIR-om stojącym blisko siebie zdjęli po 1% elektronów, to siła ich wzajemnego odpychania stałaby się niewiarygodnie wielka, mogłaby unieść ciężar równy ciężarowi Ziemi na Ziemi. Teraz, znając prawo Coulomba, możesz się przekonać, czy to jest prawda. Oblicz:
1. siłę elektrostatycznego odpychania dwóch TIR-ów załadowanych materiałem z miedzi (gęstość miedzi wynosi $\rho=8,9\, g/cm^{3}$ ), którym zdjęto po 1% elektronów. Przyjmij, że TIR-y, tak jak w przykładzie Przykład 2, stoją blisko siebie (środki mas załadunków znajdują się w odległości $r=15\, m$ od siebie) oraz że ich masy wynoszą po $m=40\, ton$ . Przyjmij ponadto, że siły oddziaływania TIR-ów pochodzą głównie z ich załadunków (tzn, że pozostała masa TIR-a: kabina, koła, napęd…, jest mała w porównaniu z załadunkiem);
2. porównaj otrzymaną wartość siły elektrostatycznego odpychania z siłą, jaką Ziemia by przyciągała drugi taki sam kulisty glob, znajdujący się w bezpośredniej bliskości – czyli gdy odległość środków tych kul wynosiłaby $2R=2\cdot6\,400\, km$ .