W tomie I e-podręcznika opisaliśmy budowę atomu, dysponując wiedzą z zakresu podstawowego, co ograniczyło głębsze zrozumienie atomu. Teraz znajomość elektrostatyki w zakresie rozszerzonym stwarza możliwość głębszej analizy praw rządzących ruchem elektronów w atomach.

Zapoznamy się bliżej z modelem atomu Bohra. Był on pierwszym modelem atomu uwzględniającym zjawiska kwantowe. Jego dużą zaletą jest to, że jest bardzo poglądowy – łatwy do wyobrażenia.

Niels Bohr opracował w 1913 roku pierwszą nieklasyczną teorię atomu. Oparł ją na znanych w owym czasie wynikach doświadczeń uzyskanych głównie z badania atomowych widm emisji i absorpcji światła. Widma te świadczą o tym, że elektron w atomie może mieć tylko niektóre, skokowo zmieniające się wartości energii, gdyż emituje i pochłania światło (od 1905 roku używano pojęcia fotonu) o określonych, skokowo zmieniających się wartościach częstotliwości (w interpretacji fotonowej: określonych, skokowo zmieniających się wartościach energii). W fizyce używa się określeń „skwantowane poziomy energetyczne atomu” lub „dyskretne poziomy energetyczne atomu” do opisania owej skokowo zmieniającej się wartości energii.

Atom wodoru to układ elektron-proton. Proton jest cięższy od elektronu około 1840 razy. Elektron, mający ujemny ładunek $e=\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{C}$, w atomie wodoru porusza się w kulombowskim polu dodatniego jądra – protonu, którego ładunek jest co do wartości bezwzględnej równy ładunkowi elektronu. Średnia odległość elektronu od jądra, gdy elektron ten jest w stanie podstawowym, jest równa:

gdzie symbol $\text{Å}$ (angstrem) oznacza jednostkę długości charakterystyczną dla atomów, $1\text{Å}={10}^{-10}\text{m}$. Natomiast rozmiary protonu są około 5 rzędów wielkości mniejsze, czyli są mniejsze około sto tysięcy razy od rozmiarów atomu. Możemy zatem uznać, że pole elektryczne, w którym porusza się elektron, jest polem wytworzonym przez ładunek punktowy (il. 1.22). Elektron jest przyciągany do jądra siłą elektrostatyczną.

Bohr przyjął, że elektrony poruszają się po klasycznych torach, podobnie jak planety po kołowych orbitach. Stwierdził, że znane zjawiska związane z budową atomu dadzą się wyprowadzić z kilku podstawowych postulatów.

Pierwszy postulat Bohra: moment pędu elektronu (traktowanego jako punkt materialny) na orbicie jest całkowitą wielokrotnością „kreślonej” stałej Plancka $\hslash$, czyli:

gdzie: $m$ – masa elektronu, $v$ – jego prędkość, $r$ – promień dopuszczalnej orbity kołowej elektronu, a $n$ przybiera wartości liczb naturalnych $\text{(}n=1,2,\dots \text{)}$. Kreślona stała Plancka jest mniejsza od stałej Plancka $h$ o czynnik $2\pi$; $\hslash =h/2\pi$.

Drugi postulat Bohra to stwierdzenie, że stany elektronu znajdującego się na orbitach zgodnych z pierwszym postulatem są stacjonarne, czyli elektron znajdujący się na tych orbitach nie wysyła fal elektromagnetycznych. Mimo że elektron na orbicie porusza się z przyśpieszeniem (dośrodkowym), to wbrew prawu klasycznemu (ładunek krążący po orbicie powinien promieniować falę) nie wypromieniowuje on fali elektromagnetycznej.

Trzeci postulat Bohra głosi, że podczas przejścia elektronu z jednego stanu stacjonarnego do drugiego (z jednej orbity na drugą) jest wypromieniowany albo pochłonięty jeden kwant energii. Atom emituje kwant energii podczas przejścia elektronu z orbity o wyższej energii (bardziej oddalonej od jądra) na orbitę o niższej energii, (bliższą jądra). Pochłanianie kwantu (absorpcja) zachodzi przy odwrotnym przejściu elektronu – z orbity bliższej jądra na bardziej odległą. Częstotliwość $\nu$ fali elektromagnetycznej wypromieniowanej przy tych przejściach wynika z bilansu energii:

gdzie $E_n$ i $E_m$ są energiami odpowiednich stanów elektronu w atomie.

Jak Bohr doszedł do swojego modelu atomu

Pokażemy teraz, jak Bohr doszedł do tych postulatów.

1. Dlaczego Bohr przyjął, że elektron porusza się tylko po wybranych orbitach – okręgach o określonych promieniach?

Było wiadomo wcześniej, że światło emitowane przez atomy charakteryzuje się widmem liniowym (nieciągłym). Na przykład atomy wodoru emitują światło w zakresie widzialnym tylko o ustalonych długościach fali. Jeżeli światło emitowane przez wodór w stanie gazowym ukształtujemy w wąską wiązkę, przepuszczając światło przez wąską szczelinę, a na jej drodze umieścimy pryzmat (lub siatkę dyfrakcyjną), to zaobserwujemy wielokrotny obraz szczeliny o różnych barwach, czyli układ kolorowych prążków (il. 1.23), zwany widmem.

Każdy prążek odpowiada określonej długości fali światła. Zbiór tych prążków stanowi tutaj tzw. serię Balmera.

Doświadczalnie ustalono, że odpowiednie długości fal $\lambda$ tej serii można wyznaczyć ze wzoru:

$\frac{c}{\lambda }=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

( 1.32 )

gdzie $R$ – stała wyznaczona doświadczalnie z badań widm promieniowania atomowego, tzw. stała Rydberga.

Wzór ten można również przedstawić w postaci:

$\nu =R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

( 1.33 )

gdyż $\nu =c/\lambda$.

Ogólnie, częstotliwości fal wszystkich serii linii wodoru spełniają zależność:

$\nu =R\left(\frac{1}{n{\text{'}}^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

( 1.34 )

gdzie $n>n\text{'}$,

$n\text{'}=1$ – seria Lymanna,

$n\text{'}=2$ – seria Balmera,

$n\text{'}=3,n\text{'}=4,n\text{'}=5$ – pozostałe serie.

Wzór (1.34) interpretuje się następująco: atomy wodoru promieniują światło tylko o wybranych częstotliwościach (długościach fal), lub w obrazie fotonowym – atomy emitują tylko takie fotony, których częstotliwości dane są wzorem (1.34).

Energia fotonów $h\nu$ emitowanych przez atom wyraża się wzorem:

$h\nu =hR\left(\frac{1}{n{\text{'}}^2}-\frac{1}{n^2}\right)$

( 1.35 )

Jeżeli prawą stronę tego wzoru rozbijemy na dwie części:

$h\nu =\left(-\frac{hR}{n^2}\right)-\left(-\frac{hR}{n{\text{'}}^2}\right)$

( 1.36 )

to można dojść do wniosku, że wzór przedstawia bilans energii – energia stracona przez atom (przez wyemitowanie fotonu) $h\nu$ jest równa różnicy energii atomu przed emisją $E_n$ i po emisji $E_{n\text{'}}$:

$h\nu =E_n-E_{n\text{'}}$

( 1.37 )

Porównując wzory (1.36) z (1.37), można przyjąć, że energia atomu w stanie wyższym (gdy $n>n\text{'}$) wynosi:

$E_n=-\frac{hR}{n^2}$

Natomiast energia atomu w stanie niższym (gdy $n>n\text{'}$) wynosi:

$E_{n\text{'}}=-\frac{hR}{n{\text{'}}^2}$

Ogólny wzór:

$E_n=-\frac{hR}{n^2}$

( 1.38 )

mówi nam, że energia atomu wodoru wyrażona jest za pomocą liczb naturalnych $n=1,2,3,\dots$, czyli może przyjmować tylko nieciągły zbiór wartości (zmieniających się skokowo).

Korzystając z tego wzoru, Bohr już mógł łatwo pokazać, że każdemu poziomowi energii atomu odpowiada określona orbita elektronu. Jego rozumowanie przebiegało prawdopodobnie w następujący sposób.

Wiadomo, że energia elektronu na orbicie składa się z energii  kinetycznej i potencjalnej:

$E=m\frac{v^2}{2}+U$

( 1.39 )

gdzie $U$ – energia potencjalna:

$U=-k_0\frac{e^2}{r}$

( 1.40 )

Widzimy, że energia potencjalna elektronu na orbicie jest wyrażona za pomocą promienia orbity $r$.

Podobnie można wyrazić energię kinetyczną (we wzorze (1.39) – za pomocą promienia orbity $r$). Znamy wzór na siłę dośrodkową $F_r$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $r$:

$F_r=\frac{m{v}^2}{r}$

W naszym przypadku jest to siła przyciągania $F_e$ elektronu do jadra:

$F_e=k_0\frac{e^2}{r^2}$

Stąd równanie: $\frac{m{v}^2}{r}=k_0\frac{e^2}{r^2}$, które po przekształceniu przyjmie postać:

$\frac{m{v}^2}{2}=k_0\frac{e^2}{2r}$

( 1.41 )

Po wstawieniu (1.41) i (1.40) do (1.39) przekonamy się, że całkowita energia elektronu na $n$-tej orbicie zależy od promienia $r_n$ tej orbity:

$E_n=-k_0\frac{e^2}{2r_n}$

( 1.42 )

Pozostał teraz już ostatni krok do wykazania, że orbity elektronu muszą przybierać nieciągły zbiór wartości – trzeba przyrównać wzory (1.42) i (1.38). Wówczas otrzymamy:

$-\frac{hR}{n^2}=-k_0\frac{e^2}{2r_n}$

Stąd ostatecznie:

$r_n=\frac{k_0{e}^2}{2hR}{n}^2$

( 1.43 )

Widzimy, że promień $r$ przybiera nieciągły (dyskretny) zbiór wartości wyrażonych za pomocą $n=1,2,3,\dots$.

Zatem pokazaliśmy, że elektrony w atomie poruszają się tylko po określonych – skwantowanych – orbitach.

Teraz możemy pokazać, jak Bohr stwierdził, że moment pędu elektronu w atomie jest również skwantowany.

2. Jak Bohr doszedł do postulatu: $mvr=nh/2\pi$

Przekształcając wzór (1.41), możemy przedstawić pęd $mv$ elektronu na orbicie w postaci:

$mv=\sqrt{k_0\frac{m{e}^2}{r}}$

( 1.44 )

Po pomnożeniu obu stron tego wzoru przez $r$, otrzymamy wzór na moment pędu elektronu:

$mvr=\sqrt{k_{0}m{e}^{2}r}$

Korzystając z (1.43), otrzymamy:

$mvr=\sqrt{k_{0}m{e}^2\frac{k_0{e}^2}{2hR}{n}^2}$

Stąd:

$mvr=n\sqrt{\frac{k_0^{2}m{e}^4}{2hR}}$

( 1.45 )

Pierwiastek zawiera tu same znane wielkości. Po wstawieniu znanych wartości stałych pod pierwiastek otrzymamy jego wartość równą: $\mathrm{1,055}\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$. Bohr uznał, że to nie jest przypadkowa liczba. Zauważył, że jest to wartość stałej Plancka $h=\mathrm{6,63}\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$, dzielona przez $2\pi$, zatem wzór (1.45) przyjmie postać pierwszego postulatu Bohra:

$mvr=n\frac{h}{2\pi }$

( 1.46 )

Widzimy więc, dlaczego Bohr przyjął właśnie taki postulat.

Czytając dalszy ciąg tego rozdziału, zapewne zauważysz, że powyższe wzory i ich przekształcenia się powtarzają. Nie ma w tym niczego dziwnego, gdyż w dalszym ciągu rozdziału będziemy wykazywać, jakie są skutki przyjęcia postulatów Bohra.

Dzięki przyjęciu postulatów Bohra można było teoretycznie wyznaczyć promienie orbit $r_n$ oraz energie $E_n$ elektronu w atomie wodoru i sprawdzić zgodność tych wyników z doświadczeniem.

Najpierw zauważmy, że siła dośrodkowa działająca na elektron w jego ruchu wokół protonu to siła Coulomba. Mamy zatem równanie:

Z pierwszego postulatu Bohra (1.30) mamy:

Przekształcimy równanie (1.47) następująco:

Po podzieleniu obustronnie tych dwóch ostatnich równań przez siebie, wyeliminujemy $v$ i otrzymamy:

Wzór (1.50) można zapisać również w postaci:

gdzie:

oznacza promień pierwszej orbity.

Ze wzoru (1.51) możemy odczytać, że promień kolejnej orbity rośnie proporcjonalnie do kwadratu liczby $n$.

Jak widać, model Bohra daje prostą odpowiedź na pytanie, jak duży jest atom wodoru. Po podstawieniu odpowiednich, znanych wartości do wzoru (1.50), dla $n=1$ otrzymamy wartość promienia pierwszej orbity Bohra:

Wartość ta zgadza się dobrze ze znaną z doświadczenia wartością promienia atomu wodoru znajdującego się w stanie podstawowym.

Ostateczny wzór na dozwolone energie elektronu otrzymamy w następujący sposób:

Wiadomo, że energia elektronu na orbicie składa się z energii kinetycznej i potencjalnej:

gdzie $U$ – energia potencjalna:

Widzimy, że energia potencjalna elektronu na orbicie jest wyrażona za pomocą promienia orbity $r$. Podobnie można wyrazić energię kinetyczną (we wzorze (1.39) – za pomocą promienia orbity $r$). Znamy wzór na siłę dośrodkową $F_r$ ciała poruszającego się po okręgu o promieniu $r$:

W naszym przypadku jest to siła przyciągania $F_e$ elektronu do jadra:

Stąd równanie: $\frac{m{v}^2}{r}=k_0\frac{e^2}{r^2}$, które po przekształceniu przyjmie postać:

Po wstawieniu (1.41) i (1.40) do (1.39) przekonamy się, że całkowita energia elektronu na $n$-tej orbicie zależy od promienia $r_n$ tej orbity:

Teraz wystarczy do wzoru (1.42) podstawić wyrażenie (1.50). Wówczas otrzymamy:

albo

Skorzystaliśmy tutaj ze wzorów $\hslash =\frac{h}{2\pi }$ oraz $k_0=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$.

Wyrażenie na energie poziomów elektronowych w atomie wodoru (1.48) jest dokładnie takie samo, jak otrzymywane we współczesnej teorii kwantowej. Wartość energii zgadza się dobrze z doświadczeniem.

Przykład 4

Doświadczalnie stwierdzono, że energia jonizacji atomu wodoru wynosi $E_j=\mathrm{13,6}\text{eV}$. Należy sprawdzić, czy tę wartość można otrzymać, stosując wzór (1.58) na energię elektronu w atomie wodoru.

Rozwiązanie: Energia jonizacji to praca, jaką trzeba wykonać, aby oddalić elektron znajdujący się początkowo w stanie podstawowym atomu $\text{(}n=1\text{)}$ poza zasięg sił elektrostatycznego przyciągania jądra, umownie – do nieskończoności. Zatem, po podstawieniu do wzoru (1.58) $n=1$, otrzymamy:

$\begin{array}{c}{E}_{1,\infty }=\left|E_1\right|=\frac{m{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^2}=\frac{\left(\mathrm{9,1094}\cdot {10}^{-31}\text{kg}\right)\cdot {\left(\mathrm{1,6022}\cdot {10}^{-19}\text{C}\right)}^4}{8\cdot {\left(\mathrm{8,8542}\cdot {10}^{-12}\frac{\text{F}}{\text{m}}\right)}^2\cdot {\left(\mathrm{6,6261}\cdot {10}^{-34}\text{J}\cdot \text{s}\right)}^2}=\\ =\mathrm{2,18}\cdot {10}^{-18}\text{J}=\frac{\mathrm{2,180}\cdot {10}^{-18}}{\mathrm{1,6022}\cdot {10}^{-19}}\text{eV}=\mathrm{13,6}\text{eV}\end{array}$

Widzimy, że dokładne pomiary energii jonizacji potwierdzają wzór (1.58).

Łatwo możemy zauważyć, że pierwszy postulat Bohra dopuszcza tylko takie orbity, których długość jest całkowitą wielokrotnością długości fal de Broglie’a $\text{(}\lambda =\frac{h}{p}\text{)}$ (o falach de Broglie’a była mowa w klasie pierwszej). Równanie (1.30) możemy przekształcić następująco: $mvr=n\frac{h}{2\pi }$, stąd $2\pi r=n\frac{h}{mv}$, ale $\frac{h}{mv}=\frac{h}{p}=\lambda$, więc:

Na takiej orbicie powstaje fala stojąca (il. 1.25) – elektron może tu być dowolnie długo (pełne objaśnienie pojęcia fal stojących i warunków ich powstawania znajdziesz w rozdziale 5.12. Fale stojące). W przypadku innych orbit, gdzie nie mieści się całkowita wielokrotność długości fali de Broglie’a $\text{(}2\pi r\ne n\lambda \text{)}$, elektron nie może stale na nich przebywać. Tam jest fala biegnąca, która – obiegając taką orbitę – interferuje sama ze sobą i – w odróżnieniu od orbit stacjonarnych – może się wygaszać. Widzimy, że teoria de Broglie’a wyjaśnia, dlaczego elektron może trwale przebywać na orbitach, dla których spełniony jest pierwszy postulat Bohra.

Pytania i problemy

1. Oblicz prędkość elektronu w tak zwanym stanie wzbudzonym w atomie wodoru, mając dane: stałą $k$ we wzorze Coulomba, $k=9\cdot {10}^9\text{N}{\text{m}}^2/{\text{C}}^2$, ładunek elektronu $e=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{C}$, masę elektronu $m=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{kg}$ i promień orbity elektronu $r=\mathrm{2,12}\cdot {10}^{-10}\text{m}$. Oceń, jak duża jest to prędkość, porównując ją z prędkością kuli karabinowej $\text{(}{v}_k=820\text{m}/\text{s}\text{)}$ oraz z prędkością światła.
2. Oblicz energię potencjalną elektronu wyrażoną w elektronowoltach, mając dane – jw.
3. Oblicz całkowitą energię (kinetyczna i potencjalna) elektronu w atomie, mając dane – jw.
4. Ile energii trzeba udzielić elektronowi w opisanym powyżej stanie wzbudzonym w atomie wodoru, aby zjonizować ten atom?