Efekt Dopplera polega na zmianie częstotliwości odbieranej fali, gdy źródło lub odbiornik się porusza. Gdy źródło dźwięku oddala się od nas, ton rejestrowany przez nasze ucho jest niższy, czyli ma niższą częstotliwość, i rejestrowana fala jest dłuższa. Wiedząc, o jaką wartość wzrasta długość fali, możemy określić prędkość oddalania się źródła dźwięku. Podobnie jest w obserwacji optycznej – tzw. poczerwienienie galaktyki pozwala określić prędkość jej oddalania się od nas. Obecnie przyjrzymy się bliżej temu efektowi w akustyce.

Dotychczas uważaliśmy, że częstotliwość źródła ${\nu }_0$, częstotliwość fali $\nu$ i częstotliwość odbierana przez odbiornik (np. przez nasze ucho lub mikrofon) $\nu \text{'}$ są jednakowe. Dlatego oznaczaliśmy je wspólnym symbolem $\nu ={\nu }_0=\nu \text{'}$. Jest to słuszne tylko wtedy, gdy źródło i odbiornik nie poruszają się w ośrodku, w którym rozchodzi się fala. Jednakże gdy źródło lub odbiornik są ruchome, wówczas $\nu \ne {\nu }_0$ lub $\nu \text{'}\ne {\nu }_0$. Zjawisko to odkrył w 1842 roku Christian Doppler – fizyk i astronom austriacki.

Ze zjawiskiem tym spotykamy się w życiu codziennym – na przykład, wysokość tonu silnika odbieranego przez nasze ucho jest wyższa, gdy samochód się do nas zbliża, gwałtownie spada, gdy samochód nas mija i pozostaje niższa, gdy samochód się oddala. Jeszcze wyraźniej zjawisko to jest zauważalne na wyścigach motocyklowych. Żeby to stwierdzić, wcale nie musimy iść na te wyścigi, wystarczy obejrzeć je w telewizji – gdy motocykle mijają kamerę i mikrofon, słychać wyraźne obniżanie tonu ich silników.

Zmianę częstotliwości fali przy ruchomym źródle, a więc i długości fali, najłatwiej można zaobserwować, przeprowadzając następujące doświadczenie.

Doświadczenie pokazowe

Na powierzchni wody wytwarzamy falę, umieszczając w niej rytmiczne źródło poruszające się ze stałą prędkością. Obserwujemy, że kręgi na wodzie nie są koncentryczne, ale zagęszczają się przed źródłem, a rozrzedzają się za nim (il. 5.41).

Wyprowadzimy teraz wzór na częstotliwość odbieraną przez odbiornik, przy źródle poruszającym się względem ośrodka z prędkością $v$. Przyjmiemy, że jest ona mniejsza od prędkości fali $u$ $\text{(}v<u\text{)}$, ponieważ w przeciwnym przypadku powstałaby komplikacja związana z wytworzeniem się fali uderzeniowej. Wiemy już, że przed ruchomym źródłem fala ulegnie skróceniu. Gdy źródło było nieruchome, długość fali wynosiła ${\lambda }_0=uT$. Teraz długość fali zmniejszy się o odcinek $vT$ przebyty przez źródło w czasie $T$, więc $\lambda ={\lambda }_0-vT=uT-vT=\text{(}u-v\text{)}T$. Zatem:

Fala za ruchomym źródłem będzie dłuższa: $\lambda ={\lambda }_0+vT=uT+vT=\text{(}u+v\text{)}T$. Zatem dla tego przypadku:

Ruch źródła ma wpływ na długość fali, natomiast nie wpływa na prędkość rozchodzenia się fali, gdyż jest ona uwarunkowana własnościami sprężystymi ośrodka. Zatem $\lambda =\frac{u}{\nu }$ i ${\lambda }_0=\frac{u}{{\nu }_0}$. Po podstawieniu tych wyrażeń do (5.58) i (5.59) i po przekształceniu otrzymamy częstotliwość rejestrowaną przez odbiornik:

Gdy źródło pozostaje w spoczynku, a odbiornik porusza się względem ośrodka z prędkością $u$, wówczas odbiornik zarejestruje zmienioną częstotliwość. Jednakże zmiana częstotliwości teraz odbywa się na innej zasadzie. Długość fali pozostaje niezmieniona, gdyż źródło jest w spoczynku: $\lambda ={\lambda }_0=\frac{u}{{\nu }_0}$. Ale fala porusza się względem odbiornika ze zmienioną prędkością $v_w=u+v$, gdy odbiornik zbliża się do źródła, i z prędkością $v_w=u-v$, gdy odbiornik się od niego oddala. Częstotliwość rejestrowana przez odbiornik wyniesie $\nu \text{'}=\frac{v_w}{{\lambda }_0}={\nu }_0\frac{v_w}{u}$. Zatem:

Widzimy, że częstotliwość rejestrowana przez odbiornik zmienia się, w przypadku gdy źródło się porusza, a odbiornik spoczywa, jak również w przypadku, gdy źródło spoczywa, a odbiornik się porusza. Jednakże zmiany te w obu przypadkach są różne.

EXE Doświadczenie: Efekt Dopplera

Przykład 11

Porównaj wynik zmiany częstotliwości rejestrowanej przez odbiornik w dwóch przypadkach: a) gdy źródło zbliża się do nieruchomego odbiornika z prędkością $v=\mathrm{0,9}u$, b) gdy odbiornik zbliża się do nieruchomego źródła z prędkością $v=\mathrm{0,9}u$.

Rozwiązanie: a) Po podstawieniu do wzoru (5.61) $v=\mathrm{0,9}u$, otrzymamy:

$$\nu =\frac{{\nu }_0}{1-\frac{v}{u}}=\frac{{\nu }_0}{1-\mathrm{0,9}}=10{\nu }_0$$

b) Po podstawieniu do wzoru (5.62) $v=\mathrm{0,9}u$, otrzymamy:

$$\nu \text{'}={\nu }_0\left(1+\frac{v}{u}\right)={\nu }_0\left(1+\mathrm{0,9}\right)=\mathrm{1,9}{\nu }_0\approx 2{\nu }_0$$

Widzimy, że wyniki znacznie różnią się od siebie. Zatem dla fal mechanicznych jest rzeczą istotną, czy względem ośrodka porusza się źródło, czy odbiornik.

Wobec zasady względności wydaje się, że nie powinno być różnicy między wynikami w tych dwóch przypadkach, gdyż nie powinno być ważne, co właściwie się porusza – źródło czy odbiornik. Jednakże należy zauważyć, że ich ruch względny nie jest tu istotny. Liczy się ich ruch względem ośrodka sprężystego, w którym rozchodzą się fale. Przekonamy się, omawiając fale elektromagnetyczne, że efekt Dopplera nie zależy od tego, czy porusza się źródło, czy odbiornik. Dla tych fal bowiem nie ma ośrodka (rozchodzą się w próżni). Wtedy ważny jest tylko ruch względny źródła względem odbiornika i/lub na odwrót.

Przykład 12

Częstotliwość podstawowego tonu sygnału dźwiękowego lokomotywy wynosi ${\nu }_0=650\text{Hz}$. Obserwator stojący na peronie stwierdza, że dźwięk ten ma częstotliwość $\nu \text{'}=680\text{Hz}$. Czy lokomotywa zbliża się, czy oddala od obserwatora? Jaką ma prędkość?

Rozwiązanie: Długość fali się zmniejsza przed ruchomym źródłem, więc jej częstotliwość się zwiększa. Zatem lokomotywa zbliża się do obserwatora. Obowiązuje tu wzór (5.60), gdzie $\nu \text{'}=\nu$, więc:

$$\nu \text{'}=\frac{{\nu }_0}{1-\frac{v}{u}}$$

Stąd obliczymy prędkość $v$ lokomotywy, gdyż prędkość głosu w powietrzu jest znana: $u=340\text{m}/\text{s}$. Po przekształceniu tego wzoru otrzymamy:

$$v=u\left(1-\frac{{\nu }_0}{\nu \text{'}}\right)=340\cdot \left(1-\frac{650}{680}\right)\frac{\text{m}}{\text{s}}=15\frac{\text{m}}{\text{s}}=54\frac{\text{km}}{\text{h}}$$

Prędkość lokomotywy wynosi 54 km/h.

Pytania i problemy

1. Wyjaśnij, na czym polega zjawisko Dopplera.
2. Wyjaśnij, na czym polega efekt Dopplera dla fal akustycznych. Przedstaw równania opisujące zmiany, które są istotą efektu Dopplera. Wyprowadź te równania.
3. Wytłumacz, dlaczego odbierana zmiana częstotliwości dźwięku podczas ruchu źródła różni się od zmiany częstotliwości podczas ruchu odbiornika. Przecież ruch jest względny, a zasada względności mówi, że jeżeli ciało $A$ porusza się względem ciała $B$ z określoną prędkością, to ciało $B$ porusza się względem ciała $A$ z tą samą wartością bezwzględną prędkości.
4. Wyjaśnij, czy można ustalić prędkość źródła dźwięku lub prędkość odbiornika fal dźwiękowych, jeżeli znamy częstotliwość dźwięku wysyłanego przez źródło i częstotliwość dźwięku rejestrowanego przez odbiornik.