W podrozdziale 2.6. Prawo Joule’a-Lenza otrzymaliśmy wyrażenie (2.20) opisujące zmianę energii wewnętrznej przewodnika, gdy przepływa przez niego prąd. Teraz wyjaśnimy, dlaczego wówczas przewodnik się rozgrzewa. Przedstawimy mikroskopowy obraz rozpraszania energii wewnątrz przewodnika i pokażemy, jak wynika z niego wyrażenie (2.20).

Elektron pod wpływem pola uzyskuje na końcu drogi swobodnej prędkość dryfu $u=a\tau$, gdzie $a=\frac{eE}{m}$; zatem $u=\frac{eE\tau }{m}$. Nabywa więc energii kinetycznej:

Zderzając się niesprężyście z jonem na końcu tej drogi, oddaje mu dopiero co nabytą energię kinetyczną. Jony sieci przewodnika w wyniku bombardowania przez elektrony wykonują intensywniejsze drgania. Zwiększenie energii drgań jonów sieci oznacza wzrost energii wewnętrznej przewodnika pod wpływem prądu, czyli tzw. ciepło Joule'a-Lenza.

Obliczmy to ciepło. Jeżeli koncentracja elektronów przewodnictwa wynosi $n$, to w całej objętości przewodnika $V_{obj}=lS$ jest ich $N=n{V}_{obj}=nlS$. Każdy z tych elektronów przekazuje energię kinetyczną $E_k$ i zderza się $z$ razy w czasie $t$, więc jony uzyskają energię:

Podstawiając do (2.65) liczbę zderzeń w czasie $t$, która wynosi $z=\frac{1}{\tau }$, oraz wyrażenie (2.64), otrzymamy:

Natężenie pola można wyrazić za pomocą napięcia na odcinku $l$ przewodnika. Korzystając z (1.29): $E=\frac{U}{l}$, jak również ze wzoru: $\tau =\frac{2m}{n{e}^2\rho }$ (2.62), gdzie $\rho$ jest oporem właściwym, mamy:

Wzór ten jest tożsamy ze wzorem (2.20). W ten sposób udało nam się pokazać mechanizm powstawania ciepła Joule'a-Lenza w modelu gazu elektronowego.

Pytania i problemy

1. Wyjaśnij, na czym polega mechanizm ogrzewania się przewodnika pod wpływem prądu.
2. Zgodnie z prawem Joule'a-Lenza, energia wydzielona w przewodniku z prądem zwiększa się proporcjonalnie do czasu. Dlaczego więc włókno żarówki może pracować bardzo długo i nie stopi się pod wpływem prądu?