2.7. Obwody prądu stałego

Wiele obwodów to kombinacje oporów połączonych szeregowo oraz/lub równolegle. Zasady takiego łączenia oporników są nam znane z gimnazjum. Tutaj tylko w skrócie je przypomnimy.

Połączenia szeregowe i równoległe

Na il. 2.13 przedstawiono trzy oporniki połączone szeregowo. W obwodzie takim przez wszystkie oporniki musi płynąć prąd o takim samym natężeniu $I$ .

Ilustracja 2.13. Opór $R$ jest równoważny trzem oporom $R_{1}$ , $R_{2}$ , i $R_{3}$ oporników połączonych szeregowo

Całkowita różnica potencjałów wynosi:

U=U_{1}+U_{2}+U_{3}

Po podzieleniu obu stron przez $I$ otrzymamy:

\frac{U}{I}=\frac{U_{1}}{I}+\frac{U_{2}}{I}+\frac{U_{3}}{I}

Zatem:

R=R_{1}+R_{2}+R_{3}

( 2.24 )

Widzimy, że opór całkowity trzech oporników połączonych szeregowo jest równy sumie oporów poszczególnych oporników. Ten sumaryczny opór nazywamy oporem zastępczym, gdyż podłączenie opornika o takim oporze zamiast tych trzech nie zmienia ani natężenia prądu, ani napięcia.

Wzór (2.24) można uogólnić na dowolną liczbę oporników $n$ :

R=R_{1}+R_{2}+...+R_{n}

( 2.25 )

Wartość oporu zastępczego oporników połączonych szeregowo jest równa sumie wartości tych oporów.

Ilustracja 2.14. Opór $R$ jest równoważny trzem oporom $R_{1}$ , $R_{2}$ , i $R_{3}$ oporników połączonych równolegle

Na il. 2.14 przedstawiono trzy oporniki połączone równolegle. Teraz napięcie $U$ jest wspólne – jednakowe na wszystkich trzech opornikach, natomiast prąd się rozgałęzia, zatem $I=I_{1}+I_{2}+I_{3}$ . Po podzieleniu obu stron tego równania przez $U$ otrzymamy:

\frac{I}{U}=\frac{I_{1}}{U}+\frac{I_{2}}{U}+\frac{I_{3}}{U}

lub

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}

( 2.26 )

Dla $n$ oporników połączonych równolegle mamy ogólny wzór:

\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+...+\frac{1}{R_{n}}

( 2.27 )

Odwrotność oporu zastępczego połączonych równolegle oporników jest równa sumie odwrotności poszczególnych oporów.

Zauważmy, że gdy mamy do czynienia z dwoma opornikami $R_{1}$ i $R_{2}$ połączonymi równolegle, to korzystamy ze wzoru na ich opór zastępczy $R$ :

R=\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1}+R_{2}}

Prawo Ohma dla obwodu zamkniętego

W rozdziale 2.1. Napięcie i siła elektromotoryczna podaliśmy definicję siły elektromotorycznej (2.1):

\mathcal{E}=\frac{W_{Z}}{q}

( 2.28 )

gdzie $W_{Z}$ oznacza pracę wykonaną przez źródło przy przenoszeniu ładunku $q$ między elektrodami źródła. Przypomnijmy, że ładunek dodatni w źródle jest przenoszony do elektrody dodatniej, a ujemny – do elektrody ujemnej. Właśnie do tego jest potrzebna praca $W_{Z}$ . Dzięki temu ładunki uzyskują energię. Jeżeli elektrody są połączone przewodnikiem o oporze $R$ , zamykającym obwód (il. 2.15), to energia równa pracy wykonanej w źródle prądu przez siły postronne zostanie przekazana przewodnikowi na zwiększenie jego energii wewnętrznej (2.20), która zostanie oddana otoczeniu. Jest to tzw. ciepło Joule'a-Lenza. Zatem:

W_{Z}=\mathcal{E}q=I^{2}Rt

( 2.29 )

Ilustracja 2.15. Praca siły elektromotorycznej jest równa ciepłu Joule'a-Lenza wydzielanemu na odcinku zewnętrznym obwodu i wewnątrz źródła

Jednakże prąd przepływa nie tylko w obwodzie zewnętrznym, ale i w źródle prądu, gdzie występuje wewnętrzny opór $r$ źródła. Tam również wydziela się ciepło Joule'a-Lenza. Dlatego w równaniu (2.30) do oporu $R$ powinniśmy dodać jeszcze opór wewnętrzny źródła $r$ . Uwzględniając ponadto, że $q=It$ , otrzymamy:

\mathcal{E}It=I^{2}(R+r)t

Po uproszczeniu mamy:

\mathcal{E}=I\left(R+r\right)

( 2.30 )

albo

I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}

( 2.31 )

Wzór (2.31) nosi nazwę prawa Ohma dla obwodu zamkniętego lub prawa Ohma dla całego obwodu.

Uwaga praktyczna. W celu zbadania stanu zużycia ogniwa mierzy się zwykle napięcie $U_{R}$ na jego zaciskach. Zapytajmy, w jakim stopniu ten praktyczny pomiar jest uzasadniony.

O faktycznym stanie ogniwa świadczy jego SEM, którą można zmierzyć dokładnie w sposób przedstawiony w rozdziale 2.9. Pomiary wielkości elektrycznych.

Pomiar napięcia $U_{R}$ pozwala tylko w przybliżeniu ocenić stan ogniwa, ponieważ podłączenie miernika napięcia oznacza podłączenie oporu $R$ i miernik wskazuje napięcie na tym oporze równe $U_{R}$ .

Z prawa Ohma (2.31) możemy określić wartość napięcia $U_{R}$ wskazywanego przez woltomierz na zaciskach ogniwa (lub zasilacza) o sile elektromotorycznej $\mathcal{E}$ i wewnętrznym oporze $r$ , do którego podłączono opornik o oporze $R$ (il. 2.16):

Ilustracja 2.16. Pomiar napięcia na zaciskach źródła

R_{V}

oznacza opór wewnętrzny woltomierza, który z założenia jest duży (dużo większy od oporu

r

)

Skoro:

U_{R}=R I

to po wstawieniu tu (2.31), otrzymamy:

U_{R}=\mathcal{E}\cdot\frac{R}{R+r}

Widzimy, że napięcie $U_{R}$ jest nieco niższe od SEM ogniwa $\mathcal{E}$ .

Pytania i problemy

Podaj wzory na opór wypadkowy $n$ oporników połączonych szeregowo i równolegle.
Czy po połączeniu szeregowym dwóch oporników o jednakowym oporze ich łączny opór zwiększy się, czy zmniejszy się? Odpowiedź uzasadnij.
Czy po połączeniu równoległym dwóch oporników o jednakowym oporze ich łączny opór zwiększy się, czy zmniejszy? Odpowiedź uzasadnij.
Cztery jednakowe oporniki o oporach R = 10 Ω połączono szeregowo. Po połączeniu ich do źródła prądu zmierzone napięcie na końcowych zaciskach tego zestawu oporników wynosiło U = 230 V . Oblicz:
1. ile wynosi napięcie na każdym oporniku,
2. jaki prąd płynie przez każdy opornik.
Cztery jednakowe oporniki o oporach R = 10 Ω połączono równolegle. Po połączeniu ich do źródła prądu zmierzone napięcie na końcowych zaciskach tego zestawu oporników wynosiło U = 230 V . Oblicz:
1. ile wynosi napięcie na każdym oporniku,
2. jaki prąd płynie przez każdy opornik.
Podaj treść prawa Ohma dla całego obwodu. Przedstaw równanie opisujące zależność, którą to prawo wyraża.
Cztery oporniki o różnych od zera oporach R 1 , R 2 , R 3 i R 4 połączono zgodnie ze schematem il. 2.17a, a następnie zgodnie ze schematem il. 2.17b.

Ilustracja 2.17. Dwie możliwości połączenia czterech oporów – ilustracja zadania
1. Wyraź opór zastępczy $R_{a}$ układu „a” za pomocą oporów $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ i $R_{4}$ . Wskazówka: Układ „a” jest równoległym połączeniem podukładów $R_{1}-R_{3}$ oraz $R_{4}-R_{2}$ .
2. Wyraź opór zastępczy $R_{b}$ układu „b” za pomocą oporów $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ i $R_{4}$ . Wskazówka: Układ „b” jest szeregowym połączeniem podukładów $R_{1}-R_{2}$ oraz $R_{3}-R_{4}$ .
3. Czy może opór $R_{b}$ być równy oporowi $R_{a}$ ? Jeżeli tak, to podaj warunek, jaki muszą spełniać opory $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ i $R_{4}$ , aby $R_{a}=R_{b}$ .