Wstępna analiza wyników pomiarów

Stwierdzamy, że punkty pomiarowe układają się w określonym porządku. Żaden z punktów nie odstaje w sposób znaczący od tego porządku, co świadczy o wykonaniu pomiarów bez popełnienia błędu grubego (pomyłki).

Zauważamy, że porządek ułożenia punktów nie jest wyznaczony przez linię prostą – na il. 8.11b poprowadzono prostą optymalną przechodzącą możliwie blisko wszystkich punktów pomiarowych. Prosta ta przechodzi jednak tylko przez niewielką część prostokątów niepewności. Odchylenia punktów od tej prostej mają charakter systematyczny, świadczący o ułożeniu punktów wzdłuż linii krzywej.

Powyższe stwierdzenie prowadzi nas do wniosku, że zależność $\beta \text{(}\alpha \text{)}$ nie jest liniowa. Jest to zgodne z prawem Snelliusa (8.3), które łączy zależnością liniową sinusy kątów padania i załamania światła. Dalsze postępowanie idzie w kierunku „wyprostowania” uzyskanej zależności, podobnie jak to uczyniliśmy przy okazji doświadczeń „Akceleracja” (rozdz. 1.13. Doświadczenie „Akceleracja”, tom II) i „AkceleracjaBIS” (rozdz. Doświadczenie „Akceleracja BIS”, tom II).

Analiza przekształconych wyników pomiarów

Z prawa załamania światła (8.3) wynika, że:

czyli

co można zapisać jako $Y=aX$. Jest to zależność liniowa, w której pomocnicza zmienna $Y=sin\beta$, zaś pomocnicza zmienna $X=sin\alpha$. Symbolem $a$ oznaczyliśmy współczynnik kierunkowy zależności $Y\text{(}X\text{)}$, równy odwrotności współczynnika załamania $a=\frac{1}{n}$.

Obliczamy wartości sinusów kątów $\alpha$ i $\beta$ (zamieniwszy uprzednio ich miary ze stopni na radiany) i wpisujemy je do odpowiednich kolumn tabelki pomiarów (il. 8.10). Każdej wartości sinusa kąta przypisujemy też niepewność pomiarową. Wynika ona przede wszystkim z niepewności wyznaczania samych kątów $\Delta \alpha$ i $\Delta \beta$. Ocenimy je, przyjmując za podstawę dokładność skali kątomierza oraz szerokość wiązki światła. W opisanym tu doświadczeniu przyjęto, że $\Delta \beta =\Delta \alpha =\mathrm{0,5}°$.

Mając te wartości, możemy ocenić $\Delta X=\Delta \left(sin\alpha \right)$ i $\Delta Y=\Delta \left(sin\beta \right)$. Niepewności te będą różne, gdyż funkcja sinus nie jest liniowa. Dla dowolnego kąta $\gamma \in <0;90°>$ niepewność jego sinusa zapisujemy jako:

Wykonujemy wykres zależności $sin\beta$ od $sin\alpha$ w ten sposób, że na osi odciętych odkładamy wartości $X=sin\alpha$, zaś na osi rzędnych – wartości $Y=sin\beta$ (il. 8.12a). Punkty pomiarowe otaczamy prostokątami niepewności pomiarowej i prowadzimy prostą optymalną możliwie blisko wszystkich punktów. Uwaga: Wykres należy wykonać w odpowiedniej skali, by uwidocznić niepewności pomiarowe, które są tu małe.

Cieszymy się, jeżeli punkty na wykresie układają się w pobliżu prostej optymalnej, a ta przechodzi przez wszystkie prostokąty niepewności, gdyż świadczy to o tym, że potwierdziliśmy doświadczalnie prawo załamania światła!

Obliczenie współczynnika załamania światła

Wartość współczynnika kierunkowego $a$ prostej optymalnej określa nam odwrotność wartości współczynnika załamania ośrodka półkola (szkła) względem powietrza (8.9). Współczynnik kierunkowy prostej zaś jest tożsamy z jej nachyleniem do osi $X$ (czyli $sin\alpha$). Nachylenie to obliczamy, korzystając z wykresu na il. 8.12a i z pomocniczych punktów $A$ i  $B$ umieszczonych na prostej optymalnej – stosujemy przy tym postępowanie opisane w doświadczeniu „AkceleracjaBIS” (rozdz. 4.9. Doświadczenie „Akceleracja BIS”, tom II).

Odczytana z wykresu wartość współczynnika kierunkowego $a=\mathrm{0,65426}$ (w tym doświadczeniu jest to wielkość niemianowana) odpowiada współczynnikowi załamania:

Niepewność pomiarową $n$ szacujemy na podstawie wykresu na il. 8.12b, nadal stosując postępowanie opisane w doświadczeniu „AkceleracjaBIS” (rozdz. 4.9. Doświadczenie „Akceleracja BIS”, tom II). Kreślimy dwie skrajne proste przechodzące przez wszystkie prostokąty niepewności. Nachylenie $a_{\text{min}}$ prostej niebieskiej z punktami $\text{A'}$ i $\text{B'}$ pozwoli nam obliczyć maksymalną dopuszczalną wartość $n_{\text{max}}$:

Podobnie, nachylenie $a_{\text{max}}$ prostej zielonej z punktami $\text{A''}$ i $\text{B''}$ pozwala nam obliczyć minimalną dopuszczalną wartość $n_{\text{min}}$:

Oszacowana maksymalna niepewność pomiarowa $\Delta n$ jest połową różnicy pomiędzy $n_{\text{max}}$ a $n_{\text{min}}$:

Po dokonaniu odpowiednich zaokrągleń, zapisujemy współczynnik załamania szkła, z którego zrobione było półkole jako:

Względna niepewność pomiarowa $\frac{\Delta n}{n}\approx \mathrm{3,3}\%$.

Podsumowanie

Wszystkie postawione cele doświadczenia zostały osiągnięte. Zmierzone kąty padania i załamania światła ułożyły się na wykresie $\beta \text{(}\alpha \text{)}$ na linii krzywej, czego należało oczekiwać. Z kolei na wykresie $sin\beta \text{(}sin\alpha \text{)}$ punkty ułożyły się na linii prostej, co jest zgodne z przewidywaniami prawa załamania światła (prawa Snelliusa).

W doświadczeniu nie popełniono istotnych błędów (pomyłek), a odstępstwa punktów od optymalnej linii prostej na wykresie $sin\beta \text{(}sin\alpha \text{)}$ miały losowy charakter i mieściły się w granicach niepewności pomiarowej.

Zastosowana graficzna metoda wyznaczenia współczynnika załamania światła w szkle i oszacowania jego niepewności pomiarowej dała wynik:

co oznacza względną niepewność pomiarową 3,3%, bardzo przyzwoitą jak na szkolne warunki.

Wynik ten, uzyskany dla żarowego światła latarki, jest zgodny z wartością wzorcową $n=\mathrm{1,52}$ (tabela na il. 8.6, rozdział 8.1. Prawa odbicia i załamania światła). Wartość ta jest wprawdzie podana dla światła żółtego, ale można przyjąć, że żółte światło odpowiada z grubsza środkowi widma widzialnego.