Kondensator płaski

Pojęcie pojemności elektrycznej najlepiej można objaśnić na przykładzie kondensatora płaskiego. Kondensator płaski to układ dwóch równoległych płyt o jednakowych rozmiarach i kształtach. Przyjmujemy, że odległość $d$ między płytami jest niewielka w porównaniu z liniowymi wymiarami płyt. Wtedy pole elektryczne wewnątrz naładowanego kondensatora możemy traktować jako jednorodne i nie uwzględniać jego zniekształcenia na brzegach płyt.

Jeżeli ładunek na jednej okładce (okładką nazywamy przewodnik w układzie kondensatora) wynosi $Q$, to na skutek indukcji na drugiej okładce wynosi $-Q$. Gęstość powierzchniowa ładunku jest równa $\sigma =\frac{Q}{S}$ (gdzie $S$ – pole powierzchni płyty). W związku z tym natężenie pola między okładkami (patrz wzór (1.12)) w obecności dielektryka (o przenikalności ${\epsilon }_r$) można wyrazić następująco:

Natężenie pola możemy także wyrazić za pomocą różnicy potencjałów $U$ między płytami: $E=\frac{U}{d}$ (wzór (1.29)). Mamy zatem równanie $\frac{U}{d}=\frac{Q}{{\epsilon }_r{\epsilon }_{0}S}$ lub $Q=\frac{{\epsilon }_r{\epsilon }_{0}S}{d}U$.

Widzimy, że występuje proporcja między ładunkiem $Q$ płyt a różnicą potencjałów (napięciem) między płytami. Zatem stosunek $\frac{Q}{U}$ jest dla danego kondensatora stały i wynosi:

Okazuje się, że jest to prawidłowość typowa dla układu dwóch dowolnych przewodników, zwanych ogólnie kondensatorem.

Wielkość równą stosunkowi ładunku do napięcia układu dwóch przewodników nazywamy pojemnością kondensatora i oznaczamy symbolem $C$:

Zatem wzór na pojemność kondensatora płaskiego, wobec (1.60), ma postać:

Jednostką pojemności jest farad, $1\text{F}=\frac{1\text{C}}{1\text{V}}$. Pojemność jednego farada jest bardzo duża, dlatego w praktyce stosuje się podwielokrotności tej jednostki, jak pikofarady $\left(1\text{pF}={10}^{-12}\text{F}\right)$ lub mikrofarady $\left(1\text{μ}\text{F}={10}^{-6}\text{F}\right)$.

Kondensator kulisty

Pojęcie pojemności stosuje się również do pojedynczych izolowanych przewodników. Pojemnością przewodnika nazywamy stosunek zgromadzonego na nim ładunku do jego potencjału elektrycznego:

We wzorze tym przyjmujemy, że potencjał przewodnika nienaładowanego jest zerowy, czyli:

Tak zdefiniowana pojemność zależy przede wszystkim od kształtu i rozmiaru przewodnika. Szczególnie prosty jest przypadek przewodzącej kuli lub sfery o promieniu $R$. Po jej naładowaniu ładunkiem $Q$, jej powierzchnia uzyskuje potencjał (wzór 1.24):

Tak więc zgodnie ze wzorem 1.63, pojemność elektryczna przewodzącej kuli (sfery) wyraża się jako:

Upływ ładunku z naładowanego przewodnika. Efekt ostrza

Bezpośrednią przyczyną przebicia kondensatora, czyli przekształcenia się izolatora między jego płytkami w przewodnik, jest pole elektryczne panujące wewnątrz tego izolatora. Odpowiednio silne pole może wymusić powstanie w izolatorze swobodnych ładunków (przykładem może tu być jonizacja powietrza). Takie swobodne ładunki, elektrony i jony, są przyspieszane w panującym polu elektrycznym i mogą doprowadzić do wtórnej jonizacji w ośrodku. W ten sposób lawinowo narasta liczba swobodnych ładunków; to właśnie powoduje zamianę izolatora w przewodnik.

Na ogół nie potrafimy przewidzieć, w którym miejscu kondensatora płaskiego rozpoczyna się jego przebicie. Wynika to właśnie z jednorodnego charakteru pola panującego między jego okładkami. Nieco inaczej ma się sprawa z pojedynczym przewodnikiem. Poza przypadkiem kuli (sfery) przewodzącej potrafimy wskazać obszary, w których pole elektryczne otaczające naładowany przewodnik ma szczególnie duże natężenie oraz inne obszary, w których to natężenie jest słabsze. Możemy wtedy przewidywać, że upływ ładunku rozpocznie się właśnie w miejscach silnego pola elektrycznego.

Rozstrzyga o tym lokalna krzywizna powierzchni przewodnika. Wielkość ta, oznaczana grecką literą $\rho$, jest dla okręgu stała (w każdym jego punkcie taka sama) i równa odwrotności promienia $r$ tego okręgu:

$$\rho =\frac{1}{r}$$

Oznacza to, że spośród dwóch okręgów o promieniach $r_1$ i $r_2$, takich że $r_1>r_2$, ten drugi jest bardziej zakrzywiony niż ten pierwszy. Można to zilustrować, ustawiając je tak, by były do siebie styczne wewnętrznie (il. 1.27)

Wędrując po drugim okręgu od punktu $A$ do punktu $B_2$, przebywamy drogę równą $\frac{1}{4}$ obwodu tego okręgu. Zmieniamy więc przy tym kierunek ruchu (skręcamy) o $90°$. Wędrując z kolei po pierwszym okręgu od punktu $A$ do punktu $B_1$, przebywamy taką samą drogę, ale skręcamy o mniej niż $90°$, gdyż droga ta jest krótsza od $\frac{1}{4}$ obwodu pierwszego okręgu. Łuk pierwszego okręgu jest więc mniej zakrzywiony niż łuk drugiego.

Krzywizna powierzchni kulistej o promieniu $R$ jest także stała w każdym jej punkcie. Obowiązuje przy tym ten sam związek, co dla okręgu: krzywizna $\rho$ równa odwrotności promienia $\rho$.

Wpływ lokalnej krzywizny na natężenie pola elektrycznego opiszemy na przykładzie uproszczonego modelu przewodnika, który składa się z dwóch sfer o różnych promieniach $R_1$ i $R_2$ (przyjmiemy, że $R_1>R_2$), połączonych bardzo długim i bardzo cienkim przewodem. Po naładowaniu takiego przewodnika wszystkie jego punkty uzyskują ten sam potencjał elektryczny. Można także przyjąć – w przybliżeniu – że potencjały każdej ze sfer wyrażają się za pomocą wzoru 1.24, zaś natężenia pól elektrycznych przy powierzchniach sfer dane są wzorem 1.9.

Oznaczmy ładunki zgromadzone na sferach przez $Q_1$ i $Q_2$; równość potencjałów sfer pozwala zapisać:

Ładunki zgromadzone na tych kulach nie są więc jednakowe; proporcjonalnie większy ładunek gromadzi się na kuli o większym promieniu (o mniejszej krzywiźnie), co jest intuicyjnie zrozumiałe. Można to także objaśnić, powołując się na pojemności elektryczne tych kul (wzór 1.66): $C_1$ jest większa od $C_2$, więc ładunek $Q_1$ też musi być proporcjonalnie większy od $Q_2$, by zapewnić jednakowe potencjały obu kul.

Jednak zupełnie odwrotnie mają się do siebie natężenia pól elektrycznych, panujących przy powierzchni każdej z kul. Zgodnie bowiem ze wzorem 1.9,

$$\frac{E_1}{E_1}=\frac{k\frac{Q_1}{R_1^2}}{k\frac{Q_2}{R_2^2}}=\frac{k\frac{Q_1}{R_1}\cdot \frac{1}{R_1}}{k\frac{Q_2}{R_2}\cdot \frac{1}{R_2}}=\frac{V_1}{V_2}\cdot \frac{\frac{1}{R_1}}{\frac{1}{R_2}}=\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}$$

W przekształceniach wykorzystaliśmy równość potencjałów obu sfer oraz związek krzywizny $\rho$ z promieniem $\rho$ dla kuli. Otrzymaliśmy bardzo ciekawy wynik: natężenie pola elektrycznego w pobliżu naładowanej kuli jest proporcjonalne do jej krzywizny (czyli odwrotnie proporcjonalne do jej promienia). Wynik ten można uogólnić następująco:

Nasze rozumowanie daje więc możliwość wskazania obszaru na powierzchni przewodnika, w którym najprawdopodobniej rozpocznie się upływ ładunku. Jest to obszar najsilniej zakrzywiony, w którym pole elektryczne jest najsilniejsze. W tych okolicach dojdzie – w pierwszej kolejności – do jonizacji izolatora (np. powietrza) otaczającego przewodnik. To pozwoli odpłynąć ładunkowi zgromadzonemu na tym przewodniku lub dopłynąć ładunkowi zebranemu wokół przewodnika. Analogiczne rozumowanie pozwala stwierdzić, że proces dopływu ładunku do przewodnika także rozpoczyna się w obszarze najsilniejszego pola elektrycznego.

Ta prawidłowość nazywa się efektem ostrza lub zjawiskiem ostrzowym. Ostrze bowiem jest takim obszarem (miejscem) powierzchni, który ma największą krzywiznę. Dotyczy to zarówno ostrza „jednowymiarowego” (np. ostrze noża), jak i ostrza „punktowego” (np. ostrze szpilki).

Piorunochron

Wśród praktycznych zastosowań zjawiska ostrzowego najbardziej znane to piorunochron. Pierwszym elementem instalacji odgromnikowej w budynku jest właśnie metalowe ostrze, wysunięte odpowiednio wysoko ponad najwyższy punkt dachu. Te dwa zasadnicze czynniki – jak najmniejsza odległość od chmury oraz jak najbardziej zaostrzony koniec – sprzyjają skierowaniu ładunku elektrycznego przepływającego w trakcie wyładowania atmosferycznego właśnie w piorunochron, a nie w inne elementy budynku. Ładunek ten jest odprowadzany przez pozostałe elementy instalacji odgromnikowej wprost do ziemi.

Wbrew powszechnemu mniemaniu, a nawet wbrew pobieżnym obserwacjom, piorun nigdy nie uderza „nagle”. Chmura ładuje się stosunkowo powoli; wzrasta różnica potencjałów pomiędzy nią a powierzchnią ziemi, wzrasta również średnie natężenia pola elektrycznego. Jednak w pobliżu szczytu przedmiotów wysokich, natężenie pola jest silniejsze od średniego – wynika to z przybliżonego (w tych warunkach) związku $E=\frac{U}{d}$. Podobnie jest w pobliżu przedmiotów zakończonych ostrzem – w ich okolicach pole jest także silniejsze niż średnie.

Dochodzi wtedy do upływu ładunków (najczęściej elektronów) z takich przedmiotów lub napływu ładunków do nich. Taki początkowy przepływ może lawinowo się rozrosnąć – wtedy następuje wyładowanie: „uderza piorun”. Bardzo często jednak ten początkowy upływ wygasa. Można go jednak poczuć – powietrze wypełnia charakterystyczny zapach ozonu, powstającego z atmosferycznego tlenu pod wpływem upływających ładunków. Można także zobaczyć taki upływ – wytrawni żeglarze znają tzw. ognie świętego Elma. Są to obszary zjonizowanego powietrza; świecą one na ogół na niebiesko lub fioletowo. Powstają na topach masztów, czasami na innych elementach takielunku. Bywa nawet, że ogniki pojawiają się na czubkach palców marynarzy. Są one najlepiej widoczne nocą, także w dzień przy silnym zachmurzeniu. Pojawiają się jako zwiastun burzy, lub już po jej minięciu.