4.5. Energia pola magnetycznego (temat nadobowiązkowy)

Wykażemy, że pole magnetyczne wewnątrz zwojnicy, przez którą płynie prąd o natężeniu $I$ , ma energię $\mathcal{W}_{mag}$ wyrażoną za pomocą wzoru:

$\mathcal{W}_{mag}=\frac{LI^{2}}{2}$

( 4.13 )

Ilustracja 4.19. Dwa obwody

a) prąd stały

$I$ wytwarza stałe pole magnetyczne w zwojnicy, b) zanikający prąd

$i$ w obwodzie wywołuje zmienny strumień pola magnetycznego w zwojnicy, który wywołuje SEM indukcji zwojnicy. Przepływ prądu przez opornik

$R$ powoduje wydzielanie w nim ciepła. Energia pola magnetycznego w cewce zostaje zużyta na ciepło w oporniku

Rozpatrzymy zmiany zachodzące w obwodzie przedstawionym na il. 4.19. W przypadku a) (przełącznik w położeniu $1$ - $2$ – klucz zamknięty) przez cewkę przepływa prąd o natężeniu $I$ . Strumień pola magnetycznego w zwojnicy ma wartość $\Phi=LI$ (patrz wzór (4.11)). Przez opornik płynie prąd $I'$ , zasilany przez SEM $\mathcal{E}$ . W przypadku b) (przełącznik w położeniu $1$ - $2$ – klucz otwarty), SEM $\mathcal{E}$ jest wyłączona z obwodu; przez opornik $R$ popłynie malejący prąd $i$ , zasilany SEM samoindukcji cewki. Na oporniku wydzieli się energia, tzw. ciepło Joula-Lenza, kosztem energii pola magnetycznego w zwojnicy. Prąd $i$ w cewce będzie zanikał. Zgodnie z równaniem (4.7) SEM indukcji ma wartość:

$\mathcal{E}_{ind}=-\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

( 4.14 )

SEM w małym przedziale czasu $\Delta t$ wykonuje pracę przemieszczania ładunków $\Delta q$ kosztem ubytku energii pola magnetycznego:

$-\Delta\mathcal{W}_{mag}=\Delta q\mathcal{E}_{ind}$

( 4.15 )

Zatem:

$\Delta\mathcal{W}_{mag}=\Delta q\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=\frac{\Delta q}{\Delta t}\Delta\Phi=i\Delta\Phi$

( 4.16 )

gdzie $i$ jest chwilową wartością natężenia prądu.

Strumień pola magnetycznego zależy liniowo od wartości natężenia prądu $\Phi=Li$ . Na wykresie zależności $i$ od $\Phi$ (il. 4.20) zmiana energii pola magnetycznego $\Delta\mathcal{W}_{mag}$ zgodnie ze wzorem (4.16) jest przedstawiona za pomocą wąskiego paska. Po zsumowaniu tych pasków, otrzymamy całkowitą energię pola magnetycznego cewki z prądem $I$ . Jest ona liczbowo równa polu powierzchni trójkąta zacieniowanego na rysunku, zatem $\mathcal{W}_{mag}=\frac{I\Phi}{2}=\frac{LI^{2}}{2}$ . Otrzymaliśmy w ten sposób wzór (4.13). Mimo że wzór ten otrzymaliśmy dla pola magnetycznego zwojnicy (solenoidu), przez którą przepływa prąd, jest on słuszny także dla ogólnego przypadku.

Ilustracja 4.20. Pole powierzchni trójkąta odpowiada wartości energii pola magnetycznego

Pytania i problemy

Jaką energię będzie miało pole magnetyczne solenoidu wykonanego według wskazówek w przykładzie 7 (rozdz. 3.7. Pole magnetyczne solenoidu), jeżeli w solenoidzie będzie płynął prąd o natężeniu $I=0,24\, A$ .
W przykładzie 7 (rozdz. 3.7. Pole magnetyczne solenoidu) pisaliśmy, że w tamtych warunkach solenoid nagrzewa się. Oczywiście jest to związane z rozpraszaniem energii. Jak ten proces wpływa na energię pola magnetycznego wewnątrz cewki?