Elementy bierne w obwodzie prądu przemiennego

Opornik w obwodzie z prądem przemiennym jest elementem czynnym. Można wymienić dwie role, jakie spełnia on w obwodzie: wraz z amplitudą SEM opór określa amplitudę (lub wartość skuteczną) natężenia prądu (wzór (6.6)) oraz powoduje zamianę energii elektrycznej w obwodzie na energię wewnętrzną lub jej przetwarzanie na inną formę (np. mechaniczną lub świetlną).

W obwód prądu przemiennego można też włączyć dwa rodzaje elementów biernych: kondensator o pojemności $C$ (rozdz. 1.7. Pojemność elektryczna) oraz cewkę indukcyjną o współczynniku samoindukcji $L$ (rozdz. 4.4. Samoindukcja). Uzyskuje się w ten sposób tzw. obwód RLC. Elementy bierne spełniają w takim obwodzie następujące role.

A. Wraz z amplitudą SEM oraz elementami czynnymi (opornikami) współokreślają amplitudę (lub wartość skuteczną) natężenia prądu. Wprowadzają też dodatkową zależność tej amplitudy od częstotliwości SEM. Elementom biernym przypisujemy zawadę – odpowiednik oporu elektrycznego.

B. Elementy bierne nie przetwarzają energii elektrycznej w inne formy energii. Zapewniają naprzemienne gromadzenie i oddawanie energii elektrycznej. Kondensator gromadzi ją w postaci energii pola elektrycznego, która ma charakter energii potencjalnej, zaś cewka – w postaci energii pola magnetycznego, która jest energią typu kinetycznego.

C. Obecność w obwodzie elementów $L$ lub $C$ powoduje powstanie przesunięcia fazowego pomiędzy przebiegiem natężenia prądu a przebiegiem napięcia. Takiego przesunięcia nie wywołuje opornik – patrz il. 6.6. Pojawienie się przesunięcia fazowego obniża średnią moc wydzielaną w obwodzie.

D. Cewka i kondensator połączone szeregowo powodują wyróżnianie przez obwód określonej częstotliwości, zależnej od $L$ i $C$. Zasilanie obwodu napięciem o tej właśnie częstotliwości wywołuje efekt zbliżony do rezonansu w mechanicznym układzie drgającym (rozdz. 5.5. Drgania wymuszone. Rezonans). Obwód RLC nazywany jest obwodem rezonansowym. Taki obwód, nawet bez obecności sinusoidalnej siły elektromotorycznej SEM, ale jednorazowo zasilony energią (np. przez naładowanie kondensatora) może sam stać się źródłem prądu zmiennego o tej częstotliwości (może stać się obwodem drgającym).

Pełna analiza obwodów RLC i ich właściwości jest niełatwa, ale jest ciekawa i pouczająca. Przedstawimy w ogromnym skrócie podstawowe właściwości tych obwodów, bez wyprowadzeń, jedynie dla przypadku szeregowego połączenia elementów $R$, $L$ i  $C$. Warto się jednak zapoznać choćby z tak pobieżnym opisem, gdyż obwody te są podstawą wielu zjawisk spotykanych i wykorzystywanych w elektrotechnice, radiotechnice i elektronice.

1. Elementy i schemat

Niech obwód będzie zasilany przez źródło napięcia sinusoidalnie zmiennego o amplitudzie ${\epsilon }_0$ i częstości $\omega$ (rozdz. 6.1. Prądnica prądu przemiennego). Zależność $\epsilon \text{(}t\text{)}$ dana jest równaniem:

W obwód ten włączono szeregowo opornik $R$, kondensator o pojemności $C$ oraz cewkę indukcyjną (zwojnicę) o współczynniku samoindukcji $L$. Schemat uzyskanego w ten sposób obwodu RLC pokazano na il. 6.8.

2. Natężenie prądu

W obwodzie RLC płynie prąd sinusoidalnie zmienny w czasie, o natężeniu danym równaniem:

gdzie:

$I_0$ – amplituda płynącego prądu,

$\omega$ – częstość zmian prądu (równa zawsze częstości zmian napięcia),

$\phi$ – przesunięcie fazowe pomiędzy prądem a napięciem, świadczące o tym, że przebieg zmian tych wielkości nie jest synchroniczny. Brak synchronizacji prądu z napięciem wynika właśnie z obecności w obwodzie elementów biernych $L$ i  $C$.

3. Zawada elementów biernych; zawada wypadkowa

Odpowiednikiem oporu elektrycznego jest cecha elementu biernego zwana jego zawadą i oznaczana symbolami $Z_C$ (zawada pojemnościowa) oraz $Z_L$ (zawada indukcyjna). Zawada wyrażana jest, podobnie jak opór, w omach. Podstawowa różnica między zawadą a oporem polega na tym, że zawada zależy nie tylko od właściwości elementu (jego pojemności lub indukcyjności) ale także od częstości zmian przyłożonego napięcia. Zawada pojemnościowa maleje odwrotnie proporcjonalnie do rosnącej częstości, a zawada indukcyjna rośnie proporcjonalnie do częstości:

Zwróćmy tu uwagę na ciekawy skutek odwrotnej zależności każdej z zawad od $\omega$. W przypadku małych wartości $\omega$ (mówimy wtedy o prądach powoli zmiennych lub wolnozmiennych) zawada $Z_L$ staje się niewielka, za to zawada $Z_C$ rośnie nieograniczenie, gdy $\omega$ dąży do zera. Oznacza to, że prąd powoli zmienny napotka na poważną „zawadę” pojemnościową w obwodzie. Z kolei przy bardzo dużych wartościach $\omega$ (mówimy wtedy o prądach szybkozmiennych) zawada $Z_C$ staje się niewielka, za to zawada $Z_L$ nieograniczenie rośnie wraz ze wzrostem $\omega$. Oznacza to, że prąd szybkozmienny także napotka na poważną „zawadę” w obwodzie, choć tym razem będzie to zawada indukcyjna.

Nieco nietypowe jest wyrażenie podające wypadkową zawadę $Z_{RLC}$ elementów połączonych szeregowo – nie jest ona zwykłą sumą zawad elementów składowych, lecz wyraża się wzorem:

Często stosowaną graficzną interpretację wzoru (6.19) pokazano na il. 6.9. Na poziomej osi odkładamy wartość oporu czynnego $R$. Na pionowej osi odkładamy wartości zawad elementów biernych: pojemnościową – w górę, indukcyjną – w dół. Odejmujemy graficznie $Z_L$ od $Z_C$, otrzymując na pionowej osi odcinek o długości $Z_{LC}=\text{|}{Z}_C-Z_L\text{|}$ – odpowiada on wypadkowej zawadzie elementów biernych. Odcinki $Z_{LC}$ oraz $R$ wyznaczają prostokąt, którego przekątna ma długość $Z_{RLC}$. Kąt między tą przekątną a osią $R$ jest kątem przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem a natężeniem prądu. O przesunięciu fazowym będziemy mówić w punkcie 5.

4. Prawo Ohma dla amplitudy natężenia prądu

Za pomocą wyrażenia (6.19) można zapisać związek amplitudy natężenia prądu $I_0$ z amplitudą napięcia ${\epsilon }_0$. Ma on postać prawa Ohma:

Taki sam związek obowiązuje dla skutecznych wartości napięcia ${\epsilon }_{\text{sk}}$ i natężenia $I_{\mathrm{sk}}$:

5. Przesunięcie fazowe

Przesunięcie fazowe $\phi$ pomiędzy przebiegiem napięcia (czysto sinusoidalnym) a przebiegiem natężenia prądu wyraża się najprościej przez funkcje trygonometryczne:

lub w sposób nieco bardziej ogólny:

Ostatni wzór pokazuje, że przesunięcie fazowe $\phi$ może być dodatnie (dla obwodów „pojemnościowych”, w których $Z_C>Z_L$) lub ujemne (dla obwodów „indukcyjnych”, w których $Z_C<Z_L$). Wartości $\phi$ są ograniczone do przedziału $<-\pi /2\text{;}+\pi /2>$, czyli od $-90°$ do $+90°$.

Na wykresie (il. 6.10) pokazano sinusoidalny przebieg $\epsilon \text{(}t\text{)}$ oraz przesunięty w fazie o  $\phi =+\pi /4$ $\text{(}+45°\text{)}$ przebieg $I\text{(}t\text{)}$ w obwodzie „pojemnościowym”.

6. Przemiany energii w obwodzie RLC; wydzielana moc średnia

Zależność mocy od czasu dana jest iloczynem chwilowego napięcia i chwilowego natężenia prądu:

Iloczyn ${\epsilon }_0{I}_0$ oznaczono tu symbolem $P_0$ i wykorzystano tożsamość trygonometryczną:

Wykres funkcji $P\text{(}t\text{)}$ wraz z przebiegami $\epsilon \text{(}t\text{)}$ oraz $I\text{(}t\text{)}$ pokazano na il. 6.11. Wartości mocy maksymalna $P_d$ i minimalna $P_u$ spełniają warunek: $P_d-P_u=P_0$. Funkcja $P\text{(}t\text{)}$ jest funkcją trygonometryczną o okresie dwukrotnie krótszym od $T$ i o amplitudzie równej $1/2P_0$; jest ona przesunięta wzdłuż osi $P$ o wartość $1/2P_{0}cos\phi$. Ta ostatnia cecha jest istotna, gdyż to ona determinuje średnią wartość mocy w ciągu jednego okresu:

Ostatecznie otrzymujemy:

Skąd się biorą i co oznaczają ujemne fragmenty zależności $P\text{(}t\text{)}$? W każdej chwili na oporze czynnym następuje przetwarzanie energii elektrycznej w energię wewnętrzną, świetlną, mechaniczną itp. To przetwarzanie jest nieodwracalne. Związaną z tym moc traktujemy jako dodatnią – taką interpretację przyjęliśmy na wykresach na il. 6.7. Równolegle zachodzą procesy gromadzenia bądź oddawania (zależy to od rozpatrywanej chwili) energii elektrycznej przez elementy bierne. Objawem oddawania energii elektrycznej przez element bierny do obwodu jest właśnie przyjmowanie przez chwilową moc $P\text{(}t\text{)}$ wartości ujemnych.

7. Stan rezonansowy

Specyficzną cechą obwodu RLC jest możliwość uzyskania w nim stanu rezonansowego. Polega to na takim doborze parametrów $L$, $C$ i  $\omega$, by zminimalizować zawadę $Z_{\mathrm{LRC}}$. Jeśli spojrzymy uważnie na wzór (6.19), to zauważymy, że gdy $Z_{\mathrm{C}}=Z_L$, to $Z_{LRC}=R$. Każda inna relacja pomiędzy $Z_C$ i $Z_L$ prowadzi do wzrostu $Z_{LRC}$. Równość $Z_C=Z_L$ oznacza zaś, po uwzględnieniu wzoru (6.18), że:

Przy takim doborze parametrów nie tylko zawada całkowita obwodu jest minimalna, ale natężenie prądu w nim płynące ma maksymalną amplitudę $I_0$ (wzór (6.20)), zaś przesunięcie fazowe $\phi =0$ (wzory (6.21) i (6.22)). To wszystko powoduje, że w stanie rezonansowym wydziela się w obwodzie maksymalna moc (wzór (6.24)). Zależność amplitudy natężenia prądu $I_0$ od częstości $\omega$ pokazano na il. 6.12. Krzywa ta, o charakterystycznym „dzwonowym” kształcie, nazywa się krzywą rezonansową.

Obwód RLC „wyróżnia” częstość daną wzorem (6.25) – jest on szczególnie podatny na zasilanie napięciem zmiennym z tą częstością. Częstość tę nazywa się częstością rezonansową obwodu lub jego częstością własną; jest ona oznaczana symbolem ${\omega }_0$:

Szczególnie ciekawym aspektem krzywej rezonansowej jest osiąganie przez amplitudę natężenia prądu maksymalnej wartości przy $\omega ={\omega }_0$. Ta właściwość obwodu jest wykorzystywana np. w odbiornikach fal radiowych do dostrajania odbiornika do żądanej stacji. Poprzez regulację pojemności kondensatora i/lub współczynnika samoindukcji cewki w obwodzie połączonym z anteną odbiornika, nastawia się częstość własną tego obwodu. W ten sposób wyklucza się praktycznie możliwość wzbudzania w antenie prądów o częstotliwości innej niż wybrana. Unika się w ten sposób zakłóceń w odbiorze tej stacji.

8. Obwód drgający

Obwód RLC nie wymaga ciągłego zasilania napięciem zmiennym – takie zasilanie jest odpowiednikiem wymuszania drgań mechanicznych, opisanego w rozdz. 5.5. Drgania wymuszone. Rezonans. Wiemy jednak, że drgania mechaniczne można pobudzić przez jednorazowe dostarczenie energii (potencjalnej lub kinetycznej). Podobnie, w obwodzie RLC można wzbudzić przepływ prądu zmiennego poprzez naładowanie kondensatora lub przepuszczenia prądu przez cewkę. Obwód realizujący tę pierwszą możliwość przedstawiono na il. 6.13.

Po naładowaniu kondensatora stałym napięciem $U$ (przełącznik w poz. 1) następuje jego rozładowanie przez cewkę i opornik (przełącznik w poz. 2). Energia pola elektrycznego zgromadzona w kondensatorze częściowo rozprasza się na oporniku, ale częściowo zamienia się w energię pola magnetycznego w cewce. W dalszym ciągu procesu ta ostatnia także częściowo się rozprasza, ale częściowo zamienia się w energię pola elektrycznego w kondensatorze. Jeśli wartość $R$ jest odpowiednio mała, w obwodzie płynie prąd zmienny o zanikającej w czasie amplitudzie:

gdzie:

$I_0\text{(}t\text{)}$ – malejąca w czasie amplituda płynącego prądu,

$\omega$ – częstość zmian prądu, równa w przybliżeniu ${\omega }_0$ (wzór (6.26)); przybliżenie to jest tym lepsze, im opór $R$ jest mniejszy.

Taki obwód może być źródłem fali elektromagnetycznej, jeśli konstrukcja kondensatora lub cewki umożliwia rozchodzenia się pola, odpowiednio – elektrycznego lub magnetycznego, w przestrzeń poza obwód.