Interferencja światła na dwóch szczelinach – doświadczenie Younga

Jeżeli przepuścimy światło przez dwie wąskie szczeliny położone blisko siebie, to po przejściu przez szczeliny światło padające na ekran utworzy obraz interferencyjny w postaci wielu prążków, naprzemiennie, jasnych i ciemnych.

Doświadczenie to przebiega podobnie jak w przypadku interferencji fal na wodzie wychodzących z dwóch źródeł – rozdz. 5.11. Interferencja. Podobnie jak tam, maksima (interferencyjne) natężenia fali występują w miejscach, gdzie fale spotykają się w fazach zgodnych.

Minima występują tam, gdzie fale spotykają się w fazach przeciwnych. Na il. 8.32 pokazano schematycznie dwa promienie wybiegające z obu szczelin pod kątem $\vartheta$. W celu wyznaczenia kierunków kątowych, dla których występują maksima i minima fali wypadkowej, trzeba określić różnicę dróg tych promieni. Widzimy na rysunku, że różnica ta wynosi $\Delta =dsin\vartheta$ $\text{(}d$ – odległość między szczelinami). Te dwa promienie będą nakładać się w fazach zgodnych, gdy $\Delta$ będzie całkowitą wielokrotnością długości fali $n\lambda$, stąd warunek na wzmocnienie:

Warunek na minimum otrzymamy, gdy $\Delta$ będzie całkowitą wielokrotnością nieparzystej liczby połówek długości fali $\text{(}2n+1\text{)}\cdot \frac{\lambda }{2}$, więc:

Na il. 8.33 pokazano wynik komputerowej symulacji powstawania obrazu interferencyjnego w doświadczeniu Younga.

Siatka dyfrakcyjna

Obraz dyfrakcyjny w doświadczeniu Younga jest na ogół mało wyraźny, ze względu na to, że tylko mała część strumienia światła przechodzi przez dwie szczeliny. Dlatego zbudowano tzw. siatkę dyfrakcyjną, która stanowi układ nie dwóch, ale wielu szczelin. Siatkę dyfrakcyjną można wykonać różnymi sposobami. Jeden ze sposobów polega na wykonaniu szeregu delikatnych równoległych rys na szkle. Rysy takie stanowią przeszkody dla światła, przerwy między rysami spełniają rolę szczelin. Odległość między sąsiednimi szczelinami w siatce dyfrakcyjnej nazywa się stałą siatki. Zwykle jest ona bardzo mała. W pracowniach szkolnych stała siatki wynosi od 0,01 mm do 0,003 mm. Do celów naukowych stosuje się siatki dyfrakcyjne o dużo mniejszej stałej, nawet poniżej 0,001 mm.

Wzmocnienia interferencyjne

Warunek wzmocnienia wyraża się identycznym wzorem jak dla dwóch szczelin (8.26). Jeżeli bowiem fale wychodzące z dwóch sąsiednich szczelin wzmacniają się w określonym kierunku, to będą się wzmacniać również fale w tym kierunku z pozostałych szczelin. W praktyce najczęściej wykorzystuje się warunek wzmocnienia światła ugiętego na siatce dyfrakcyjnej dla precyzyjnego wyznaczania długości fali światła, czyli wzór (8.26) w postaci:

Jak wynika z powyższego wzoru, przy znajomości stałej siatki $d$ wystarczy zmierzyć kąt ugięcia $\vartheta$ wybranego rzędu wzmocnienia $n$. W tym celu stosuje się specjalne przyrządy, zwane spektrometrami.

Wygaszenia interferencyjne

W przypadku dwóch szczelin, w opisanym na początku paragrafu doświadczeniu, pomiędzy dwoma kolejnymi wzmocnieniami pojawia się interferencyjne wygaszenie. Na il. 8.33 pokazano wynik komputerowej symulacji powstawania obrazu interferencyjnego na zaciemnionym ekranie, wyposażonym w podziałkę kątową. W symulacji użyto światła laserowego o długości fali $\lambda =710\text{nm}$ oraz dwóch szczelin (każda o szerokości $3\text{μ}\text{m}$), których środki były odległe o $d=7\text{μ}\text{m}$.

Uzyskano wyraźne i bardzo szerokie maksimum główne (tzw. zerowy prążek interferencyjny) oraz dwa maksima (prążki) pierwszego rzędu pod kątami ugięcia ${\vartheta }_{\pm 1}\approx \pm \mathrm{5,8}°$. Odpowiadają one $n=1$ i $n=-1$ we wzorze (8.26). Możemy przekonać się o zgodności tych danych ze wzorem (8.26): z lewej strony mamy $sin\text{(}\pm \mathrm{5,8}°\text{)}\approx \pm \mathrm{0,10106}$, z prawej zaś $\text{(}\pm 1\cdot 710\text{nm}\text{)}\text{/}\text{(}7\text{μ}\text{m}\text{)}\approx \pm \mathrm{0,10143}$. Podobne sprawdzenie można wykonać dla wzmocnień wyższych rzędów (aż do $n=\pm 4$), także widocznych na ekranie. Na uzyskanym rozkładzie widać też minima interferencyjne; zaznaczono dwa spośród nich, które odpowiadają $n=0$ i $n=1$ we wzorze (8.27).

Zwiększajmy teraz liczbę $N$ szczelin, nie zmieniając ani ich rozmiarów, ani odległości między nimi. Na kolejnych rysunkach (il. 8.33b–d) przedstawiono wynik symulacji, odpowiednio, dla $N=4$, $N=6$ i $N=20$. Zwróćmy uwagę na zachodzące zmiany w obrazie interferencyjnym (są one najlepiej widoczne w obszarze do drugiego rzędu wzmocnienia), polegające przede wszystkim na wzbogaceniu jego struktury:

• wzmocnienia (prążki) „zasadnicze”, tj. zgodne ze wzorem (8.26), pozostają na swoich miejscach (dla $n=\pm 1$ są one zaznaczone przerywanymi liniami),
• wzmocnienia „zasadnicze” stają się coraz węższe,
• pomiędzy wzmocnieniami „zasadniczymi” pojawia się $N-2$ wzmocnień „pobocznych”,
• pomiędzy wzmocnieniami „pobocznymi” występuje $N-1$ wygaszeń,
• opisana powyżej „wzbogacona” struktura staje się coraz bardziej wyrazista w miarę wzrostu $N$.

Dodatkowe wzmocnienia i wygaszenia powstają w takich kierunkach, w których następuje interferencja tylko niektórych fal kulistych, wysłanych przez szczeliny. W miarę wzrostu $N$ wzrasta liczba na przemian położonych „pobocznych” maksimów i minimów, ale stają się one coraz węższe, a natężenie światła w punktach wzmocnień maleje. Widać tu zaletę użycia wielu szczelin – wzmocnienia „zasadnicze” stają się coraz węższe. Umożliwia to coraz bardziej precyzyjny pomiar kątów ugięcia, a co za tym idzie, coraz dokładniejszy pomiar długości fali.

Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej

Przyjmijmy, przykładowo, warunki opisane w komputerowej symulacji; niech więc ${\lambda }_1=710\text{nm}$. Jeśli chcielibyśmy, by układ dwóch szczelin (il. 8.33a) rozróżniał tę falę od innej, o długości ${\lambda }_2$, to pierwsze maksimum dla tej ostatniej powinno przypadać na kąt $\vartheta \approx 9°$. Zastosowanie wzoru (8.28) pozwala obliczyć ${\lambda }_2=7\text{μ}\text{m}\cdot sin9°\approx 1100\text{nm}$ – jest to poza zakresem widzialnym! Jeżeli jednak użyjemy układu czterech szczelin (il. 8.33b), to rozróżnimy falę o długości ${\lambda }_2$, której pierwsze maksimum przypada na kąt $\vartheta \approx \mathrm{7,5}°$. W tym przypadku ${\lambda }_2\approx 910\text{nm}$. Układ sześciu szczelin (il. 8.33c) wymagałby powstania prążka pierwszego rzędu dla ${\lambda }_2$ pod kątem $\vartheta$ nieco mniejszym od $7°$, zaś il. 8.33d nie pozwala graficznie określić tego kryterium dla układu 20 szczelin.

Możemy ująć warunek rozdzielania fal o różnych długościach w sposób ogólny. Zgodnie ze wzorem (8.28), kąty ugięcia ${\vartheta }_1$ i ${\vartheta }_2$, dla których zachodzi wzmocnienie pierwszego rzędu każdej z fal, spełniają warunki:

Zauważmy, że ${\vartheta }_1>{\vartheta }_2$ gdyż przyjęliśmy, że ${\lambda }_1<{\lambda }_2$. Niech ${\vartheta }_1^{\mathrm{\text{'}}}$ będzie kątem ugięcia, dla którego następuje pierwsze wygaszenie interferencyjne po wzmocnieniu $\text{„}{\vartheta }_1\text{”}$ (użyte tu określenie „po” oznacza, że ${\vartheta }_1<{\vartheta }_1^{\mathrm{\text{'}}}$). Można wykazać, że gdy w siatce dyfrakcyjnej obraz powstaje w wyniku nałożenia się fal z $N$ szczelin, to kąt ${\vartheta }_1^{\mathrm{\text{'}}}$ spełnia warunek ogólniejszy niż wzór (8.27) dla $n=1$:

Dla doświadczenia Younga $N=2$ – widać więc, że powyższy wzór staje się tożsamy ze wzorem (8.27) dla $n=1$. Dla większej liczby szczelin iloraz $1/N$ odzwierciedla fakt istnienia $N-1$ minimów „pobocznych” pomiędzy dwoma maksimami „zasadniczymi”.

Jeśli ${\vartheta }_2={\vartheta }_1^{\mathrm{\text{'}}}$, to lewe strony we wzorach (8.29) i (8.30) są jednakowe; stąd wynika, że:

Symbolem $\lambda$ oznaczono tu dowolną długość fali (np. średnią) między dwiema bliskimi ${\lambda }_1$ i ${\lambda }_2$. Zdolność rozdzielczą siatki dyfrakcyjnej $R$ definiujemy jako:

Widać więc, że zdolność ta jest bezwymiarowym parametrem równym liczbie szczelin $N$ siatki dyfrakcyjnej, które uczestniczą w powstawaniu obrazu.

Ugięcie światła białego

W przypadku gdy na siatkę dyfrakcyjną rzucimy światło białe, po jego przejściu otrzymamy rozszczepienie widma ciągłego. Zjawisko to łatwo możemy wytłumaczyć, gdyż wiemy, że światło białe składa się z fal o różnej długości. Z warunku (8.26) możemy odczytać, że dla każdego rzędu wzmocnienia $n$ kąt ugięcia $\vartheta$ jest tym większy, im większa jest długość fali. Zatem wykazaliśmy, że najsilniej ugina się promień czerwony (największa długość fali w widmie), a najmniej – promień fioletowy (najkrótsza fala w widmie). Zauważmy, że jest to kolejność odwrotna niż w pryzmacie.

Nasze rzęsy stanowią siatkę dyfrakcyjną. Dlatego spoglądając na światło i mrużąc przy tym oczy, możemy zauważyć zabarwione tęczowo światło. Siatka dyfrakcyjna może dawać obraz interferencyjny nie tylko w świetle przechodzącym, ale również w odbitym. Dlatego patrząc na płytę kompaktową, widzimy jej tęczowe zabarwienie.