Praca w polu elektrostatycznym

Weźmy pod uwagę dodatni ładunek próbny $q$ w polu jednorodnym. Chcemy go przesunąć z punktu $A$ do $B$ o pewien odcinek $l$, jak na il. 1.17. Zapytajmy, jaką pracę $W$ wykonamy, jeżeli będziemy działać na ładunek siłą $F$ zwróconą przeciwnie do siły działania pola. Zgodnie ze wzorem ogólnym na pracę $W=Fl\text{cos}\alpha$ (patrz tom 2, rozdział 3.1 Praca), mamy:

gdzie $qE=F$ jest wartością siły, z jaką przesuwamy ładunek.

Praca ta nie zależy od tego, czy będziemy ją wykonywać, idąc wzdłuż drogi $AB$, czy idąc wzdłuż $ACB$. Rzeczywiście, idąc wzdłuż drogi $ACB$, na odcinku $AC$ nie wykonujemy żadnej pracy, gdyż działamy siłą prostopadłą do przesunięcia $\text{(}\text{cos}90°=0\text{)}$. Cała praca zostanie wykonana na odcinku $CB=d=l\text{cos}\alpha$, zatem $W_{CB}=qE\left(l\text{cos}\alpha \right)=qEd$ (siła $\overrightarrow{F}$ jest równoległa do odcinka $CB$), więc $W_{CB}=W_{AB}$.

Twierdzenie, że praca przesunięcia ładunku w polu między dwoma punktami nie zależy od drogi przejścia między tymi punktami, możemy udowodnić w ogólnym przypadku, gdy droga jest dowolna, np. jest linią krzywą, jak na il. 1.18. Całą krzywą dzielimy na elementy $\Delta l$ tak małe, że możemy je uważać za odcinki proste. Każdy z nich będzie nachylony pod określonym kątem $\alpha$ do linii pola, więc i do siły, z jaką pracujemy. Na każdym z tych odcinków mamy sytuację podobną do wyżej rozważanej; to znaczy, że praca jest taka sama, jak praca wzdłuż rzutu tego odcinka na kierunek linii pola. Rzuty te (przykładowo $\Delta l_{\text{I}}$ i $\Delta l_{\text{II}}$) oznaczono kolorem czerwonym na il. 1.18. Suma tych wszystkich prac jest równa pracy na odcinku $CB$, tak jak poprzednio, mimo że była wykonywana wzdłuż dowolnej krzywej od $A$ do $B$. Natomiast odcinki prostopadłe do linii pola (oznaczone kolorem czarnym na il. 1.18) nic nie wnoszą do pracy wykonywanej między punktami $A$ i $B$. Ponieważ nie było żadnych założeń co do krzywej, jest ona dowolnie przeprowadzona między punktami $A$ i $B$. Dla każdej krzywej możemy przeprowadzić podobne rozumowanie i zawsze wynik będzie taki sam: praca wykonana wzdłuż krzywej będzie równa pracy na odcinku $CB$:

Nasze rozważania można uogólnić dla dowolnego pola elektrostatycznego. Zatem: praca przesunięcia ładunku między dwoma punktami w polu elektrostatycznym nie zależy od drogi, zależy tylko od położenia tych punktów.

Taką samą własność ma pole grawitacyjne. Praca przesunięcia jakiejś masy w polu grawitacyjnym również nie zależy od drogi lecz, tylko od położenia punktu początkowego i końcowego. Zatem siły elektryczne i grawitacyjne mają wspólną cechę: są siłami zachowawczymi, bowiem tylko taka siła, której praca nie zależy od kształtu drogi, ale od położenia punktów końcowych tej drogi, nazywa się siłą zachowawczą. Jest to ważne stwierdzenie, gdyż tylko w odniesieniu do pól zachowawczych możemy mówić o energii potencjalnej i tylko w ich przypadku jesteśmy w stanie zdefiniować potencjał.

Zanim jednak zdefiniujemy potencjał pola elektrycznego, podamy jeszcze wzór na pracę przesunięcia ładunku próbnego $q$ między dwoma punktami w polu (niejednorodnym) wytworzonym przez ładunek punktowy. Nie możemy stosować tu wzoru (1.15), gdyż siła nie jest stała. Podobne zagadnienie spotkaliśmy przy wyprowadzeniu wzoru na pracę w polu grawitacyjnym wytworzonym przez kulistą masę. Zależność siły grawitacyjnej od promienia $r$ w tamtym przypadku:

jest podobna do zależności od promienia $r$ siły elektrostatycznej w obecnym przypadku:

Rozumowanie przy wyprowadzaniu wzoru na pracę siły zewnętrznej w polu elektrostatycznym jest podobne do rozumowania w przypadku pola grawitacyjnego (wzór (5.35) w tomie II):

Zatem, możemy skorzystać z tej analogii i podać gotowy wzór na pracę przesunięcia ładunku próbnego $q$ przez siłę zewnętrzną w polu elektrostatycznym wytworzonym przez punktowy ładunek $Q$:

Zwróćmy uwagę na to, że wzór (1.19) różni się znakiem od wzoru (1.18). Wynika to stąd, że siła grawitacji jest zawsze siłą przyciągania dwóch ciał, podczas gdy siła elektrostatyczna może być zarówno siłą przyciągającą, jak i odpychającą. Zwrot siły we wzorze (1.17) jest automatycznie uwzględniony (przez znak iloczynu ładunków $Qq$, po zrezygnowaniu z wartości bezwzględnej) i wpływa na znak we wzorze (1.19).

Energia potencjalna ładunku w polu elektrostatycznym

Siły elektryczne są siłami zachowawczymi, dlatego praca wykonana przez siłę zewnętrzną przy przesuwaniu ciała naładowanego w polu nie zostaje zmarnowana i może być zwrócona – ciało uzyskuje energię potencjalną $\Delta E_p$. Miarą zmiany tej energii jest wykonana praca $\Delta E_{p21}=W_{21}$. Dla pola pochodzącego od źródła punktowego zgodnie ze wzorem (1.19) mamy:

Energia potencjalna ładunku w polu wzrasta $\text{(}{E}_{p2}>E_{p1}\text{)}$, gdy siła zewnętrzna wykonuje pracę przeciw sile elektrostatycznej, czyli:

a) przeciw sile odpychania – w przypadku ładunków jednoimiennych,

b) przeciw sile przyciągania – w przypadku ładunków różnoimiennych.

Energia potencjalna ładunku w polu maleje $\text{(}{E}_{p2}<E_{p1}\text{)}$, gdy pracę wykonuje siła elektrostatyczna, czyli:

a) siła odpychania – w przypadku ładunków jednoimiennych,

b) siła przyciągania – w przypadku ładunków różnoimiennych.

Aby móc określić energię potencjalną ładunku $q$ w danym punkcie pola wytworzonego przez ładunek $Q$, trzeba zdecydować, gdzie jej wartość przyjmiemy za równą zeru. Zakładamy, że poziom zerowy energii potencjalnej jest w nieskończoności, czyli tam, gdzie ładunek jest oddalony od innych na taką odległość, iż inne ładunki na niego nie działają. Zatem praca $W_{\infty A}$ wykonana przy sprowadzeniu ładunku z nieskończoności do danego punktu $A$ pola jest miarą energii potencjalnej $E_p$ ładunku znajdującego się w tym punkcie, czyli:

Jeżeli ładunek próbny $q$ znajduje się w punkcie odległym o $r=r_2$ od punktowego ładunku źródła pola $Q$, a $r_1$ dąży do nieskończoności, to – zgodnie z (1.19) – energia potencjalna ładunku $q$ wynosi:

Otrzymaliśmy wzór na energię potencjalną ładunku $q$ w polu o źródle punktowym $Q$:

W przypadku ładunków różnoimiennych, których iloczyn jest ujemny, energia jest ujemna. Jest to zrozumiałe, gdyż w tym przypadku pracę przy przesunięciu ładunku z nieskończoności do danego punktu wykonują siły pola i energia potencjalna maleje od zera w nieskończoności do określonej wartości ujemnej w danym punkcie. Wykresy zależności (1.22) przedstawione są na il. 1.19.

Potencjał elektryczny

Podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego, potencjał elektryczny zdefiniujemy jako stosunek energii potencjalnej ładunku $q$ w danym punkcie pola do wartości tego ładunku:

Jednostką potencjału jest jeden wolt, $1\text{V}=\frac{1\text{J}}{1\text{C}}$.

Dla pola o symetrii punktowej potencjał, zgodnie z jego definicją i ze wzorem (1.22), wyrażamy jako:

Widzimy, że o ile potencjał maleje odwrotnie proporcjonalnie do pierwszej potęgi promienia, to natężenie tego pola (wzór (1.8)) maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości:

Podobne zależności potencjału i natężenia pola od odległości występują również w polu grawitacyjnym.

W wielu przypadkach wygodnie jest wyrazić pracę $W_{12}$ wykonaną między dwoma punktami za pomocą różnicy potencjałów. Określmy zatem potencjał (1.24) dla punktu $\text{2}$ oraz dla punktu $\text{1}$: $V_2=\frac{E_{p2}}{q}$, $V_1=\frac{E_{p1}}{q}$.

Po odjęciu stronami otrzymujemy:

skąd:

Wyraziliśmy przyrost energii potencjalnej $\Delta E_{p21}$ za pomocą różnicy potencjałów. $\Delta E_{p21}=W_{12}$ (przyrost energii potencjalnej jest równy pracy), więc:

Zwróćmy uwagę na to, że $W_{12}$ oznacza tu pracę siły zewnętrznej przy przesuwaniu ładunku w polu z punktu $\text{1}$ do $\text{2}$. Siła ta ma zwrot zawsze przeciwny do siły pola działającej na ładunek $q$ (patrz np. il. 1.17)). Jeżeli chcemy wyznaczyć pracę, którą wykonuje pole, przesuwając ładunek $q$ z punktu $\text{1}$ do $\text{2}$, to musimy we wzorze (1.26) zmienić znak na przeciwny, zatem:

Różnicę potencjałów nazywamy napięciem i zwykle oznaczamy przez $U$. Dzięki temu wzór na pracę (1.26) przybiera prostą postać:

Jednostką napięcia – tak jak potencjału – jest $1\text{J}/1\text{C}$.

Praca przesunięcia w polu ładunku między dwoma punktami, między którymi panuje napięcie $U$, daje przyrost energii potencjalnej ładunku $W=qU=\Delta E_p$. Dla pola jednorodnego $\Delta E_p=qEd$ (patrz (1.15)), więc $qU=qEd$ $\text{(}d$ jest odległością między tymi punktami liczoną wzdłuż linii pola). Stąd po prostym przekształceniu otrzymujemy popularny wzór na natężenie pola jednorodnego:

Wzór (1.29) pozwala określić często stosowaną w praktyce jednostkę natężenia pola elektrycznego:

Przypomnijmy, że ze wzoru (1.6) wynika równoważna jednostka:

Podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego, również tutaj stosuje się poglądowe przedstawienie pola elektrostatycznego za pomocą powierzchni ekwipotencjalnych, czyli takich, na których potencjał ma jednakową wartość.

Zgodnie ze wzorem (1.24) w przypadku pola o symetrii punktowej potencjał przybiera jednakową wartość dla wszystkich punktów o tym samym promieniu $r$, czyli dla punktów jednakowo odległych od środka. Miejscem geometrycznym tych punktów jest powierzchnia kuli o promieniu $r$. Zatem powierzchnie ekwipotencjalne dla tego pola są koncentrycznymi sferami ze środkiem w punkcie, w którym znajduje się ładunek źródła pola (il. 1.20).

Jak widać na rysunku, kierunek linii pola jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej w każdym punkcie pola. Ta własność linii pola jest charakterystyczna dla dowolnego pola o dowolnej symetrii. Oczywiście, praca przesunięcia ładunku z dowolnego punktu na powierzchni ekwipotencjalnej do innego punktu położonego na tej samej powierzchni jest równa zeru.