1.8. Łączenie kondensatorów

W praktyce stosuje się różne sposoby łączenia kondensatorów. Wyróżniamy dwa podstawowe – łączenie równoległe i szeregowe. Poznanie ich pozwoli na sprowadzenie wielu połączeń kondensatorów do tych dwóch.

W wyniku łączenia kondensatorów otrzymujemy pojemność wypadkową. Obliczymy ją, znając pojemności składowe. Na il. 1.28 przedstawiono połączenie równoległe trzech naładowanych kondensatorów. Wszystkie okładki kondensatorów z jednej strony połączone są ze sobą (okładką nazywamy przewodnik w układzie kondensatora). Tak samo jest z drugiej strony. Zatem potencjał $V_{1}$ połączonych ze sobą okładek po jednej stronie wszystkich kondensatorów jest jednakowy, a na połączonych okładkach z drugiej strony występuje jednakowy potencjał $V_{2}$ , różny od $V_{1}$ . Zatem na każdym kondensatorze występuje taka sama różnica potencjałów $U=V_{2}-V_{1}$ . Całkowity ładunek $Q$ na wszystkich połączonych okładkach z jednej strony jest sumą ładunków występujących na każdym kondensatorze i wynosi:

Q=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}

( 1.68 )

Ilustracja 1.28. Trzy kondensatory połączone równolegle

Po podzieleniu równania (1.68) przez $U$ otrzymamy:

\frac{Q}{U}=\frac{Q_{1}}{U}+\frac{Q_{2}}{U}+\frac{Q_{3}}{U}

Zatem, zgodnie z definicją pojemności (1.61), mamy:

C=C_{1}+C_{2}+C_{3}

( 1.69 )

czyli pojemność całkowita układu kondensatorów połączonych równolegle jest sumą ich pojemności.

Obliczymy teraz pojemność całkowitą układu kondensatorów połączonych szeregowo (il. 1.29). Ładunek na każdym z kondensatorów jest taki sam, ponieważ ładunek $+Q$ doprowadzony z zewnątrz na lewą okładkę pierwszego kondensatora wytwarza pole, które przyciąga taki sam ładunek, ale przeciwnego znaku $-Q$ na prawą okładkę. Z kolei ładunek $-Q$ przypływa z okładki lewej połączonego kondensatora 2, więc na tej okładce jego wartość wynosi $+Q$ . Taka sytuacja powtarza się w odniesieniu do kondensatorów 2 i 3. Natomiast na prawą okładkę kondensatora 3 dopływa ładunek $-Q$ z zewnątrz.

Ilustracja 1.29. Układ trzech kondensatorów połączonych szeregowo

Całkowite napięcie $U$ jest sumą napięć na poszczególnych kondensatorach:

U=U_{1}+U_{2}+U_{3}

Wykorzystując wzór $U=\frac{Q}{C}$ , otrzymamy:

\frac{Q}{C}=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}+\frac{Q}{C_{3}}

Stąd:

\frac{1}{C}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}

( 1.70 )

zatem odwrotność pojemności całkowitej układu kondensatorów połączonych szeregowo jest sumą odwrotności pojemności każdego z kondensatorów.

Przykład 5

Mamy do dyspozycji kondensatory o pojemności $C_{1}=10\,\mu F$ każdy, przeznaczone do pracy pod napięciem $U_{1}=500\, V$ . Powinniśmy połączyć je w baterię o pojemności $C=4\,\mu F$ i napięciu pracy $U=10\, kV$ . Ile potrzeba kondensatorów i jak należy je połączyć?

Rozwiązanie: Każdy z kondensatorów wytrzymuje napięcie $U_{1}$ . Aby kondensatory wytrzymały razem napięcie $U$ , należałoby zastosować $n=\frac{U}{U_{1}}=20$ kondensatorów. Jednakże wtedy ich łączna pojemność wyniosłaby $C'=\frac{C_{1}}{n}=\frac{10\,\mu F}{20}=0,5\,\mu F$ – wynika to ze wzoru (1.70), na podstawie którego mamy:

\frac{1}{C''}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+...+\frac{1}{C_{n}}=\frac{n}{C_{1}}

zatem:

C'=\frac{C_{1}}{n}

Aby otrzymać większą pojemność, należy połączyć równolegle tyle szeregów, ile wynosi stosunek $m=\frac{C}{C'}$ , ponieważ przy łączeniu równoległym pojemności się dodają zgodnie ze wzorem (1.69), czyli:

C=C'+C'+...+C'=mC'

więc $m=\frac{C}{C'}=\frac{4\,\mu F}{0,5\,\mu F}=8$ . Łącznie zatem należy wziąć $m=8$ szeregów kondensatorów po $n=20$ w każdym z nich, czyli razem: $n\cdot m=160$ kondensatorów.

Pytania i problemy

Po połączeniu równoległym naładowanych kondensatorów o różnych pojemnościach zmieniają się ładunki na ich okładkach i ich potencjały. Jakie obowiązują tu zasady odnoszące się do: a) ładunków, b) potencjałów i c) napięć?
Po połączeniu szeregowym naładowanych kondensatorów o różnych pojemnościach zmieniają się ładunki na ich okładkach i ich potencjały. Jakie obowiązują tu zasady odnoszące się do: a) ładunków, b) potencjałów i c) napięć?
Czy po połączeniu równoległym dwóch kondensatorów o jednakowej pojemności, ich łączna pojemność: a) zwiększy się, czy b) zmniejszy? Odpowiedź uzasadnij.
Czy po połączeniu szeregowym dwóch kondensatorów o jednakowej pojemności, ich łączna pojemność: a) zwiększy się, czy b) zmniejszy? Odpowiedź uzasadnij.