Położenie ciała wykonującego drgania

Innym przykładem jest ruch rzutu punktu poruszającego się ruchem jednostajnym po okręgu na średnicę tego okręgu (il. 5.2). Na rysunku widać, że stosunek współrzędnej $x$ tego punktu do promienia $R$ jest równy sinusowi kąta $\alpha$. Możemy zatem tę współrzędną wyrazić w postaci:

(gdyż $\alpha$ zmienia się w czasie według równania $\alpha =\omega t$, gdzie $\omega$ jest prędkością kątową). Widzimy więc, że położenie punktu drgającego (rzutu punktu poruszającego się po okręgu) zmienia się w czasie według funkcji sinus.

Pojęcia podstawowe

Zdefiniujemy teraz odpowiednie wielkości charakteryzujące ruch drgający:

• amplituda $A$ – wartość bezwzględna maksymalnego wychylenia ciała drgającego od położenia zerowego, tzn. $A=\left|x_{max}\right|$ (w przypadku pokazanym na il. 5.2 $A=R$, gdzie $R$ – promień okręgu);
• okres $T$ – odcinek czasu, po którego upływie drganie się powtarza, czyli punkt drgający przechodzi przez to samo położenie i w tym samym kierunku;
• częstotliwość $\nu$ – jest to liczba pełnych drgań w jednostce czasu (np. w 1 sekundzie); oczywiście:
  $$\nu =\frac{1}{T}$$

  ( 5.2 )
• częstość kołowa $\omega$ – mówi nam, ile pełnych drgań oscylator wykonuje w ciągu $2\pi$ jednostek czasu (np. $2\pi$ sekund), czyli jest to częstotliwość mnożona przez $2\pi$:
  $$\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi }{T}$$

  ( 5.3 )

Ostatnie trzy wielkości są równe liczbowo swoim odpowiednikom w ruchu po okręgu, gdzie między nimi występują takie same związki (rozdział 1.3 Ruch jednostajny po okręgu).

Gdy we wzorze (5.1) podstawimy $R=A$, otrzymamy wzór ogólny na położenie ciała w ruchu drgającym harmonicznym:

Zmienna $\omega t$, będąca argumentem funkcji sinus, nazywa się fazą drgań. Ze wzoru wynika, że wychylenia ciała drgającego zmieniają się okresowo i spełniają warunek $-A\le x\le A$.

Prędkość i przyspieszenie w ruchu harmonicznym

Ponieważ: $v_0=\omega R$,

Zatem:

Stąd wynika, że prędkość w ruchu harmonicznym także zmienia się okresowo. Największą wartość $v=v_{max}=v_0=\omega A$ przyjmuje dwukrotnie w ciągu okresu – dla $\omega t=0$ i dla $\omega t=\pi$, tj. gdy położenie chwilowe ciała $x=0$. Najmniejszą wartość $v=0$ osiąga dla $\omega t=\frac{\pi }{2}$ i $\omega t=\frac{3\pi }{2}$, gdy ciało znajduje się w skrajnych położeniach i zawraca; wtedy $x=A$ lub $x=-A$.

Ponieważ prędkość ciała w tym ruchu ciągle się zmienia, więc musi występować przyśpieszenie. Jest ono równe rzutowi $a_x$ przyśpieszenia dośrodkowego na oś $x$ (il. 5.2), więc:

Skoro:

to:

Po uwzględnieniu (5.4) otrzymamy:

Znak „–” występujący w tym wzorze informuje nas, że przyśpieszenie w ruchu drgającym jest zwrócone przeciwnie do wychylenia, tzn. że jeżeli wychylenie $x$ ma wartość dodatnią, to przyśpieszenie jest zwrócone w stronę ujemnych wartości $x$, jeżeli wychylenie ma wartość ujemną, to przyśpieszenie jest zwrócone w stronę dodatnich wartości $x$. Maksymalną wartość przyśpieszenia ciało drgające ma wtedy, gdy znajduje się w skrajnych położeniach.

Wykresy tych zależności zostały przedstawione na il. 5.3. Widzimy, że dla oscylatora harmonicznego w stosunku do wychylenia prędkość jest przesunięta w fazie o $\frac{\pi }{2}$, natomiast przyśpieszenie – o $\pi$.

Siła kwazisprężysta. Położenie równowagi

Jeżeli drgania harmoniczne są wykonywane przez ciało o masie $m$ (np. przez ciężarek o masie $m$ zawieszony na lekkiej sprężynie), to przyśpieszenie jest wywoływane przez siłę $F=ma$. Stosując wzór (5.11), otrzymujemy:

Widzimy, że siła ta jest proporcjonalna do wychylenia i ma znak przeciwny do wychylenia, czyli jest podobna do siły sprężystej (rozdział 3.2 Energia potencjalna), opisanej w prawie Hooke'a:

Dlatego siłę występującą w oscylatorze harmonicznym nazywamy siłą kwazisprężystą (łac. quasi znaczy jak gdyby) lub harmoniczną. Siła kwazisprężysta w różnych układach może być realizowana w różny sposób. Stały współczynnik $k$ zależy od sposobu realizacji tej siły. Możemy stwierdzić, że jeżeli na jakieś ciało działa siła kwazisprężysta $F=-kx$, to może ono wykonywać drgania harmoniczne.

Na podstawie porównania wzorów (5.12) i (5.13) wnioskujemy, że:

Z tego wzoru wynika, że częstość drgań $\omega$ zależy tylko od własności samego oscylatora – jego masy i sprężystości, dlatego częstość tę nazywamy częstością własną oscylatora i oznaczamy przez ${\omega }_0$. Zatem:

Stąd częstość kołowa tych drgań wynosi:

Jest to bardzo użyteczny wzór, gdyż pozwala obliczyć częstość drgań układu w wielu przypadkach, gdy zależność siły od położenia jest typu (5.13) i znany jest stały współczynnik $k$.

Zgodnie ze wzorami (5.15) i (5.3) okres drgań własnych wynosi: