Napiszemy teraz równanie, które będzie dawało informacje o wychyleniu dowolnej cząstki w fali harmonicznej w każdej chwili. Znajomość tego równania pozwoli nam rozwiązać wiele problemów związanych z ruchem falowym.

Rozważania nasze przeprowadzimy dla fali poprzecznej, ale wyprowadzone równanie będzie również słuszne dla fali podłużnej.

Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi $x$, a wychylenia cząstek odbywają się w kierunku równoległym do osi $y$ (il. 5.22). Widzieliśmy już na il. 5.19, że każda cząstka, do której dotarła fala, wykonuje takie same drgania harmoniczne, ale opóźnione o czas potrzebny na dotarcie fali do niej. Jeżeli więc wychylenie cząstki drgającej w początku układu współrzędnych $\text{(}x=0\text{)}$ jest dane równaniem $y=Asin\omega t$, to dla cząstki $C$ odległej o $x$ od cząstki $0$ drgania będą się odbywać według takiego samego równania, ale będą opóźnione o czas $t\text{'}$ dotarcia fali do tego miejsca:

Ponieważ $t\text{'}=\frac{x}{v}$,

Wiemy, że:

oraz że $v=\frac{\lambda }{T}$, więc czynnik $\frac{\omega }{v}$ można przekształcić w następujący sposób:

Po podstawieniu powyższego wzoru oraz (5.40) do równania (5.39) otrzymamy:

Punkt $C$ wybraliśmy dowolnie, więc równanie (5.41) jest słuszne dla każdego punktu fali o współrzędnej $x$. Zatem równanie to możemy traktować jako równanie fali harmonicznej, gdzie $y$ jest wychyleniem cząstki w punkcie o współrzędnej $x$ w chwili $t$. Równanie to będzie słuszne również dla fali podłużnej (wtedy $y$ będzie oznaczać wychylenie cząstki równoległe do $x$).

Wygodnie jest wprowadzić grecką literę $\Psi$ oznaczającą wychylenie: $\Psi =y$, z kolei amplitudę oznaczyć przez ${\Psi }_0=A$. Przy takim oznaczeniu równanie fali:

może opisywać dowolną falę harmoniczną, np. akustyczną – wtedy $\Psi$ oznacza ciśnienie drgającego powietrza, falę elektromagnetyczną – wtedy $\Psi$ oznacza wektor $\overrightarrow{E}$ lub $\overrightarrow{B}$ drgającego pola elektromagnetycznego.

Warto zauważyć, że równanie to wykazuje ciekawą symetrię. Jak widać, $\Psi$ jest funkcją dwóch zmiennych – czasu $t$ i współrzędnej przestrzennej $x$: $\Psi =\Psi \left(x,t\right)$. Widzimy, że czas i przestrzeń w tej funkcji występują na jednakowych prawach – współrzędna czasowa $t$ jest mnożona przez czynnik $\omega =\frac{2\pi }{T}$, określający periodyczność fali w czasie, natomiast współrzędna przestrzenna $x$ jest mnożona przez czynnik $\frac{2\pi }{\lambda }$, określający periodyczność fali w przestrzeni. Czynnik ten nosi nazwę liczby falowej i zwykle oznacza się go literą $k$:

Stwierdzamy, że liczba falowa $k$ mówi nam, ile długości fali mieści się na odcinku równym $2\pi$ metrów. Podobnie i częstość kołowa $\omega$ mówi nam, ile okresów mieści się w odcinku czasu równym $2\pi$ sekund.

Jeżeli zastosujemy te oznaczenia, jednowymiarowe równanie fali harmonicznej przybierze postać:

Przykład 7

Wyznacz prędkość fali, znając jej równanie:

$$\Psi ={\Psi }_{0}sin\left(At+Bx\right)$$

Rozwiązanie: Porównanie ze wzorem (5.44) prowadzi do wniosku, że $A=\frac{2\pi }{T}$ oraz $B=-\frac{2\pi }{\lambda }$. Stąd $\frac{A}{B}=-\frac{\lambda }{T}=-v$. Gdy zarówno $A$, jak i $B$ są dodatnie, fala rozchodzi się w kierunku ujemnych wartości $x$.

Pytania i problemy

1. Napisz równanie fali harmonicznej w jednym wymiarze. Objaśnij znaczenie symboli.
2. Wyprowadź równanie fali harmonicznej, korzystając z równania drgań harmonicznych.