Dodawanie wektorów. Składanie ruchów

W jaki sposób powinniśmy dodawać wektory? Na przykład, jak powinniśmy dodawać przemieszczenia? Rozpatrzmy następującą sytuację: przypuśćmy, że na poziomej platformie w punkcie $A$ znajduje się człowiek, który następnie przechodzi do punktu $B$ (il. 1.33). Przemieszczenie $AB$ człowieka dane jest przez wektor $\overrightarrow{a}$. Jeżeli platforma przesunie się wzdłuż toru, człowiek zostanie przemieszczony do punktu $C$. Przemieszczenie $BC$ jest dane przez wektor $\overrightarrow{b}$. W rezultacie przemieszczenie $AC$ człowieka względem ziemi dane jest przez wektor $\overrightarrow{c}$. Widzimy więc, że złożenie (czyli zsumowanie) przemieszczeń $AB$ i $BC$ jest równe przemieszczeniu $AC$. W języku wektorów wyrazimy to następująco: suma wektorów $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$ jest równa $\overrightarrow{c}$, co zapisujemy:

Rezultat ten nie zależy od kolejności dokonywanych przemieszczeń. Jeżeli człowiek znajdujący się w punkcie $A$ zostanie najpierw przemieszczony do punktu $D$ (il. 1.33; $AD=BC$), a później przejdzie do punktu $C$ $\text{(}DC=AB\text{)}$, to – jak widać na rysunku – przemieszczenie wypadkowe będzie takie samo jak poprzednio, czyli będzie to $AC$. Zapytajmy teraz, jakie będzie przemieszczenie wypadkowe człowieka, gdy oba przemieszczenia odbywać się będą równocześnie. Oczywiście, jeżeli marsz człowieka i ruch platformy odbywają się równocześnie, w rezultacie obu przemieszczeń człowiek znajdzie się dokładnie w tym samym punkcie $C$. Widzimy zatem, że jeżeli dwa przemieszczenia składowe dokonują się jednocześnie, to przemieszczenie wypadkowe jest dokładnie takie samo, jak w przypadku, gdy oba przemieszczenia dokonują się oddzielnie. Obowiązuje tu zasada dodawania wektorów składowych, w wyniku czego otrzymuje się wektor wypadkowy, któremu odpowiada przekątna równoległoboku zbudowanego na wektorach składowych.

Twierdzenie to można uogólnić i wyrazić następująco:

Wektor będący sumą dwóch wektorów można przedstawić graficznie jako przekątną równoległoboku (il. 1.36a). Można go również przedstawić w ten sposób, że najpierw początek drugiego składnika przykłada się do końca pierwszego, a następnie tworzy się wektor wypadkowy, którego początek pokrywa się z początkiem pierwszego, a koniec – z końcem drugiego składnika (il. 1.36b).

W ogólnym przypadku, aby dodać kilka wektorów, na przykład ${\overrightarrow{a}}_1$, ${\overrightarrow{a}}_2$, ${\overrightarrow{a}}_3$ i ${\overrightarrow{a}}_4$, należy początek drugiego składnika przyłożyć do końca pierwszego, początek trzeciego do końca drugiego itd. Następnie tworzy się wektor wypadkowy $\overrightarrow{b}$, którego początek pokrywa się z początkiem pierwszego składnika, a koniec – z końcem ostatniego składnika (il. 1.37). Ten wektor jest właśnie sumą wektorów składowych:

Taki sposób dodawania wektorów nazywamy regułą wieloboku.

Odejmowanie wektorów

Operacja odejmowania jest operacją odwrotną do dodawania wektorów. Sposób graficznego odejmowania wektorów odczytamy wprost z il. 1.36, gdzie mamy przedstawiony wektor $\overrightarrow{c}$ będący sumą dwóch wektorów, $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$. Oczywiście, z tego zapisu wynika, że wektor $\overrightarrow{b}$ jest różnicą wektorów $\overrightarrow{c}$ i $\overrightarrow{a}$:

Widzimy, że wektor $\overrightarrow{b}$ jest poprowadzony w ten sposób, że łączy końce wektorów $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{c}$. Możemy zatem podać ogólny przepis na odejmowanie wektorów:

Wektor wodzący

Za pomocą różnicy wektorów można określać zmianę położenia ciała wyrażoną wektorem przemieszczenia. W tym celu wprowadza się tak zwany wektor wodzący (lub wektor położenia) $\overrightarrow{r}$. Przyjmijmy, że ciało znajduje się początkowo w punkcie $A$, a później – w punkcie $B$. Wektor łączący te dwa punkty jest wektorem przemieszczenia $\overrightarrow{AB}$. Ustalmy jakiś punkt $O$, w którym umieścimy początek układu współrzędnych $\text{(}x$, $y\text{)}$ – il. 1.38a. Poprowadźmy z punktu $O$ wektor $\overrightarrow{r}$ do chwilowego położenia ciała. Ten właśnie wektor nazywa się wektorem wodzącym. Jest on równy $r_1$, gdy ciało jest w punkcie $A$, oraz $r_2$, gdy jest ono w punkcie $B$ (il. 1.38b). Widzimy, że wektor przemieszczenia $\overrightarrow{AB}$ jest równy różnicy wektorów ${\overrightarrow{r}}_2$ i ${\overrightarrow{r}}_1$, czyli przemieszczenie $AB$ jest równe $\Delta \overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_2-{\overrightarrow{r}}_1$. Różnicę wektorów oznaczyliśmy tutaj jako $\Delta \overrightarrow{r}$, gdyż oznacza ona zmianę wektora wodzącego $\overrightarrow{r}$.

Rozkładanie wektora na składowe

Rozkładanie wektora na składowe jest czynnością odwrotną do składania, czyli sumowania wektorów. Jeżeli mamy dany wektor $\overrightarrow{a}$, który chcemy rozłożyć na dwa składowe wektory wzdłuż z góry ustalonych kierunków, na przykład wzdłuż linii $OA$ i $OB$, jak na il. 1.39a, to musimy postępować następująco: z końca wektora $\overrightarrow{a}$ wyprowadzamy pomocnicze linie równoległe do zadanych linii $OA$ i $OB$. Powstaje w ten sposób równoległobok. Boki równoległoboku, którym nadajemy zwroty, czyli wektory ${\overrightarrow{a}}_1$ i ${\overrightarrow{a}}_2$, są szukanymi składowymi wektora $\overrightarrow{a}$ (il. 1.39b).

Rzutowanie wektora na osie

Z drugiej strony, jeżeli są dane rzuty prostopadłe ${\overrightarrow{a}}_x$ i ${\overrightarrow{a}}_y$ wektora $\overrightarrow{a}$, a wartość wektora jest nieznana, to – korzystając z twierdzenia Pitagorasa – tę nieznaną wartość wektora możemy obliczyć (il. 1.40):