5.5. Prawa Keplera ruchu planet

Johannes Kepler wnikliwie przeanalizował dane dotyczące ruchu planet uzyskane przez Tychona de Brahe. Na tej podstawie wykazał, że planety poruszają się według określonych praw zgodnych z teorią Kopernika; prawa te umożliwiły Newtonowi odkrycie prawa powszechnego ciążenia.

Kepler stwierdził że ruchem planet rządzą trzy proste prawa (prawa Keplera stosują się również do ruchu satelitów okrążających dowolną planetę).

Oto treść praw Keplera:

Trzecie prawo Keplera

Sześciany wielkich półosi orbit jakichkolwiek dwóch planet mają się tak do siebie, jak kwadraty ich okresów obiegu. W przypadku orbit kołowych (okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy):

\frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}=\frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}

( 5.23 )

Newton udowodnił, że prawa Keplera są podrzędne wobec prawa powszechnego ciążenia. My udowodnimy trzecie prawo Keplera w przypadku dwóch planet krążących po orbitach kołowych. Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania momentu pędu i zostało omówione w podrozdziale 4.7. Prawo zachowania momentu pędu (patrz przykład 9).

Pierwsze prawo Keplera wynika z faktu, iż siła grawitacji jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości, jednak dowód tego wykracza poza zakres licealny (dowód tego faktu można znaleźć w licznych podręcznikach akademickich z dziedziny mechaniki i astronomii, na przykład E. Rybka „Astronomia ogólna”).

Niech planeta „1” ma masę $m_{1}$ i promień orbity $r_{1}$ (il. 5.17).

Ilustracja 5.17. **Dwie planety krążące po orbitach kołowych**

Siła z jaką Słońce (o masie $M$ ) przyciąga planetę wynosi:

F_{1}=G\frac{m_{1}M}{r_{1}^{2}}

Jest to siła dośrodkowa i zgodnie z wzorem (2.34) wynosi $\frac{4\pi^{2}r_{1}m_{1}}{T_{1}^{2}}$ . Stąd otrzymujemy równanie:

F_{1}=G\frac{m_{1}M}{r_{1}^{2}}=\frac{4\pi^{2}r_{1}m_{1}}{T_{1}^{2}}

a następnie:

G\frac{M}{r_{1}^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{T_{1}^{2}}

( 5.24 )

Takie samo równanie otrzymamy dla planety „2”:

G\frac{M}{r_{2}^{3}}=\frac{4\pi^{2}}{T_{2}^{2}}

( 5.25 )

Dzieląc stronami równanie (5.25) przez (5.24), otrzymamy równanie (5.23), czyli trzecie prawo Keplera dla orbit kołowych.

Przykład 6

Zarówno na Ziemię, jak i na Księżyc działa Słońce siłą przyciągania. Dlatego układ Ziemia–Księżyc krąży dookoła Słońca po torze prawie kołowym. Ściśle mówiąc, środek masy układu Ziemia–Księżyc krąży po tym torze. Z drugiej strony, jeżeli mówimy, że Księżyc krąży dookoła Ziemi, to nie znaczy, że Księżyc krąży naokoło środka Ziemi. Tak nie jest, ponieważ Ziemia jest przyciągana przez Księżyc z taką samą siłą, z jaką Księżyc przyciąga Ziemię (tylko przeciwnie skierowaną), zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona. Dlatego Ziemia i Księżyc obracają się dookoła wspólnego punktu będącego środkiem masy tego układu (patrz il. 5.18).

Pomiary astronomiczne dostarczają następujących informacji: średnia odległość Ziemia–Księżyc jest równa 60,27 promieni ziemskich, $ZK=60,27R$ , natomiast odległość środka masy układu od środka Ziemi wynosi $ZC=0,73R$ . Oblicz masę Księżyca $m$ , znając masę Ziemi $M=5,97\cdot10^{24}\, kg$ .

Ilustracja 5.18. **Środek masy układu Ziemia-Księżyc**

Ziemia i Księżyc poruszają się dookoła wspólnego środka masy $C$ odległego od środka Ziemi o 0,73 promienia Ziemi, $ZC=0,73R$

Rozwiązanie: Środek masy omówiliśmy w podrozdziale 4.5. Środek ciężkości i środek masy, gdzie podaliśmy wzór (4.36), z którego wynika, że środek masy dzieli odcinek łączący dwa ciała na odcinki odwrotnie proporcjonalne do ich mas. Zatem stosunek odcinków $ZC/KC$ (il. 5.18) jest równy stosunkowi mas $m/M$ . Stąd otrzymujemy wzór na masę Księżyca:

m=\frac{ZC}{KC}M

Odcinek $K C$ jest równy:

$\left(60,27-0,73\right)R=59,54R$

zatem masa Księżyca wynosi:

$m=\left(0,73/59,54\right)M=0,0123M=0,0123\cdot5,97\cdot10^{24}\, kg=7,34\cdot10^{22}\, kg$

Pytania i problemy

Podaj treść pierwszego prawa Keplera. Czy popełnimy duży błąd, jeśli twierdzimy, że Ziemia okrąża Słońce po orbicie kołowej? Odpowiedź uzasadnij.
Podaj treść drugiego prawa Keplera. Czy możesz powiedzieć, że środek Ziemi porusza się ruchem jednostajnym dookoła Słońca, wiedząc, że Ziemia krąży dookoła Słońca po orbicie eliptycznej? Odpowiedź uzasadnij.
Podaj treść trzeciego prawa Keplera. Oblicz, ile wynosi promień orbity Marsa (w przybliżeniu kołowej), znając okres obiegu Marsa dookoła Słońca – rok marsjański $T_{M}=686,98$ dni (ziemskich), promień orbity Ziemi (w przybliżeniu kołowej) $r_{Z}=149,6\cdot10^{6}\, km$ , rok ziemski $T_{Z}=365,25$ dni.
Newton wykazał, że prawa Keplera wynikają z prawa powszechnej grawitacji. Wykaż, że trzecie prawo Keplera dla szczególnego przypadku orbit kołowych wynika z prawa grawitacji Newtona.