6.7. Podstawowe pojęcia teorii kinetycznej gazów

Atomistyczna koncepcja materii była mało popularna wśród naukowców aż do połowy XIX wieku. Jednak już w połowie XVIII wieku rosyjski uczony Michał Łomonosow rozważał pojęcie cząsteczki chemicznej i jej budowy. Zastanawiał się nad prawami rządzącymi ruchem wielu jednakowych cząsteczek – w tym sensie był prekursorem nowego kierunku badań, kontynuowanego przez wielu dziewiętnastowiecznych uczonych, którzy sformułowali kinetyczną teorię gazów. Została ona zapoczątkowana przez niemieckiego fizyka Rudolfa Clausiusa w drugiej połowie XIX wieku. To on właśnie stwierdził, że ciepło jest związane z energią kinetyczną chaotycznego (brownowskiego) ruchu cieplnego cząsteczek gazu. Następnie inni fizycy kontynuowali dzieło Clausiusa. Największe zasługi miał fizyk austriacki Ludwik Boltzmann, który rozwinął teorię kinetyczną, formułując wiele podstawowych praw. Istotny wkład w rozwój teorii kinetycznej wniósł na przełomie XIX i XX wieku Marian Smoluchowski – polski fizyk o niezwykłym talencie.

Warunki normalne cząsteczek w powietrzu

Już w gimnazjum dowiedziałeś się, że gaz jest zbiorem olbrzymiej liczby bardzo małych cząsteczek (niewidocznych nawet pod mikroskopem) będących w nieustannym ruchu. Na przykład w $1\, cm^{3}$ tlenu w warunkach normalnych (przy ciśnieniu równym 1 atm i temperaturze $18^{\circ}C$ ) znajduje się $2,7\cdot10^{19}$ cząsteczek. Stwierdzono, że cząsteczki typowego gazu mają rozmiary około $4\cdot10^{-10}\, m$ .

Cząsteczki typowego gazu mają rozmiary ok.

4\cdot10^{-10}\, m

. Są one tak małe, że nie można ich zobaczyć, nawet pod najdoskonalszym mikroskopem.

Mimo że liczba cząsteczek gazu w 1 centymetrze sześciennym jest bardzo duża, średnie odległości między nimi są znaczne w porównaniu z ich – bardzo małymi – rozmiarami. Zasięg sił międzycząsteczkowych jest mały, porównywalny z rozmiarami cząsteczek, więc podczas swojego ruchu cząsteczki w zasadzie nie oddziałują na siebie – oddziałują tylko w bardzo krótkim czasie zderzenia, gdy znajdują się w bliskiej odległości. Dlatego możemy przyjąć, że między zderzeniami cząsteczki poruszają się swobodnie ruchem jednostajnym, prostoliniowym. Kierunek ruchu poszczególnej cząsteczki przy każdym zderzeniu ulega zmianie, zatem jej tor ma kształt linii łamanej (il. 6.23).

Odcinek toru cząsteczki między dwoma sąsiednimi zderzeniami nazywamy drogą swobodną. Długość drogi swobodnej w trakcie ruchu cząsteczki ulega nieustannym zmianom, dlatego do opisu ruchu cząsteczek w gazie stosujemy pojęcie średniej drogi swobodnej $\overline{\lambda}$ . Średnia droga swobodna cząsteczek powietrza w warunkach normalnych wynosi około $7\cdot10^{-8}\, m$ . Średnia prędkość cząsteczek powietrza w tych warunkach wynosi około 500 m/s. Łatwo można stąd obliczyć, że cząsteczka w ciągu sekundy doznaje około $10^{10}$ zderzeń.

Zygzakowaty tor ruchu cząsteczki w gazie — Ilustracja 6.23. **„Zygzakowaty” tor ruchu cząsteczki w gazie**

Odcinki prostej łamanej mają przypadkowe długości. Cząsteczka poruszająca się swobodnie między sąsiednimi zderzeniami pokonuje drogi o długości $\lambda_{1},\,\lambda_{2},\,\lambda_{3},\,...$ . Średnia droga swobodna oznaczona jest symbolem $\overline{\lambda}$

Model gazu doskonałego (idealnego)

Opisane powyżej warunki ruchu cząsteczek w gazie pozwalają na przyjęcie pewnych uproszczeń i na utworzenie w ten sposób modelu gazu doskonałego. Model ten jest podstawą do wyprowadzania zależności matematycznych opisujących zachowanie się gazu. Przykładem takiej zależności jest poznane już prawo Clapeyrona (6.9).

Przez model gazu doskonałego będziemy rozumieli zbiór cząsteczek, których rozmiary sprowadzimy do punktów materialnych. Wszystkie cząsteczki będziemy uważać za identyczne. Przyjmiemy, że podlegają one tym samym prawom mechaniki Newtona co ciała makroskopowe. Przyjmujemy, że cząsteczki w zasadzie nie oddziałują na siebie – oddziałują tylko w bardzo krótkim czasie zderzenia, gdy znajdują się w małej odległości. Zderzenia cząsteczek między sobą i ze ściankami naczynia przyjmiemy za doskonale sprężyste. Cząsteczki wykonują ruchy chaotyczne i żaden kierunek nie jest wyróżniony; tzn. średnio w każdym kierunku porusza się jednakowa liczba cząsteczek. Średnio w jednostce objętości w warunkach równowagi znajduje się jednakowa liczba cząsteczek.

Zachowanie się większości gazów rzeczywistych w warunkach nieodbiegających znacznie od warunków normalnych jest zgodne z modelem gazu idealnego.

Podstawowe założenia modelu gazu doskonałego (idealnego)

Gaz jest zbiorem bardzo dużej liczby identycznych drobin; mogą to być pojedyncze atomy lub cząsteczki związków chemicznych.
Cząsteczki wykonują ruchy chaotyczne i żaden kierunek ich ruchu nie jest wyróżniony.
Rozmiary cząsteczek są tak małe, że sprowadzamy je do punktów materialnych.
Średnie odległości między cząsteczkami są na tyle duże, że oddziaływania między nimi można pominąć, z wyjątkiem silnego odpychania podczas krótkotrwałych zderzeń.
Cząsteczki podlegają prawom mechaniki Newtona. Zderzenia cząsteczek między sobą i ze ściankami naczynia przyjmujemy za doskonale sprężyste.

Prędkości cząsteczek gazu

Z jak dużą prędkością poruszają się cząsteczki w typowym gazie, np. w powietrzu, w przeciętnych warunkach? Jak wspomniano wcześniej, w powietrzu średnia prędkość cząsteczek wynosi ok. 500 m/s. Jest to prędkość kuli pistoletowej.

Różne cząsteczki gazu poruszają się z różnymi przypadkowymi prędkościami. Pojedyncza cząsteczka przypadkowo wybrana, może mieć dowolną prędkość, choć „wylosowanie” takiej czy innej prędkości nie jest jednakowo prawdopodobne. Tak więc, jeżeli będziemy badać prędkości dużej liczby cząsteczek, to zauważymy pewną prawidłowość statystyczną. Stosunkowo niewiele z nich będzie miało skrajne wartości prędkości, tzn. prędkość bliską zeru i prędkość bardzo dużą. Najwięcej cząsteczek będzie miało prędkość zbliżoną do tzw. prędkości najbardziej prawdopodobnej $v_{p}$ (która jest zbliżona do średniej wartości prędkości). Krzywa przedstawiająca rozkład statystyczny prędkości cząsteczek nazywa się krzywą rozkładu Maxwella (il. 6.25). W uproszczony sposób można ją interpretować jako prawdopodobieństwo znalezienia cząstki o zadanej prędkości $v$ .

Maksimum krzywej rozkładu Maxwella przypada dla prędkości najbardziej prawdopodobnej $v_{p}$ . Wraz ze wzrostem temperatury gazu cząsteczki uzyskują średnio większą prędkość, maksimum krzywej przesuwa się w kierunku większych wartości prędkości i krzywa obejmuje większy zakres prędkości dużych.

Widzimy więc, że temperatura jest związana ze średnią prędkością cząsteczek. Im wyższa temperatura gazu, tym jego cząsteczki szybciej się poruszają. Ściśle: średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek jest proporcjonalna do temperatury $T$ gazu (w skali Kelvina). Do zagadnienia tego wrócimy w następnym rozdziale.

Pytania i problemy

Podaj najważniejsze założenia modelu gazu doskonałego.
Co nazywamy średnią drogą swobodną?
Oblicz, ile razy cząsteczka powietrza doznaje zderzeń w ciągu sekundy. Przyjmij, że średnia droga swobodna wynosi $7\cdot10^{-8}\, m$ , zaś średnia prędkość – $500\, m/s$ .