5.3. Grawitacja wewnątrz planety – temat nadobowiązkowy
Wzór na siłę grawitacji wewnątrz planety
Jak wiadomo, wzór na siłę grawitacji:
pozwala obliczyć siłę przyciągania ciała o masie przez inne ciało kuliste o masie w przypadku, gdy ciało znajduje się na zewnątrz ciała , np. na zewnątrz Ziemi. Natomiast, jeżeli małe ciało znajduje się wewnątrz dużej jednorodnej kuli o masie w odległości od jej środka, to wypadkowa siła grawitacji działająca na ciało jest skierowana do środka kuli i wyraża się za pomocą wzoru:
gdzie oznacza masę rdzenia kuli o promieniu .
Wyprowadzimy wzór (5.10) na siłę grawitacji działającą na ciało wewnątrz kuli o gęstości w zależności od odległości od środka kuli w zakresie .
Podzielimy w myśli kulę na koncentryczne cienkie warstwy. Umieścimy ciało próbne o masie w punkcie (il. 5.9a). Ciało w punkcie wewnątrz kuli o promieniu jest przyciągane do środka kuli przez jej część kulistą o promieniu . Pokażemy teraz, że wypadkowa siła grawitacji pochodząca od skrajnych wewnętrznych warstw, usytuowanych na zewnątrz punktu , wynosi zero.
Najpierw rozważymy siłę pochodzącą od jednej tak usytuowanej warstwy (il. 5.9b). Na ciało będą działać siły przyciągania pochodzące od wszystkich fragmentów tej warstwy. Rozważmy siłę pochodzącą od jednego małego fragmentu o powierzchni . Siła ta jest proporcjonalna do masy tego fragmentu, a więc i do pola jego powierzchni, i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości , tzn. .
Jeżeli z punktu poprowadzimy stożek do fragmentu warstwy o polu , to po drugiej stronie w odległości powstanie stożek wycinający z warstwy fragment o polu . Siła pochodząca od tego fragmentu będzie skierowana przeciwnie do siły i wyrazi się podobną zależnością: .
Stosunek tych sił będzie równy . Ponieważ te dwa stożki (o wspólnym wierzchołku w punkcie ) są do siebie podobne, więc łatwo można wykazać, że:
Zatem:
Widzimy więc, że siły pochodzące od fragmentów warstwy o polach i znoszą się wzajemnie. Każdy element warstwy ma swój odpowiednik „na antypodach”, a ponieważ można w ten sposób podzielić całą powierzchnię warstwy, więc wypadkowa sił grawitacji czaszy działających na ciało próbne umieszczone w dowolnym punkcie wewnątrz niej będzie równa zeru.
A co z pozostałymi warstwami?
Łatwo można wykazać, w podobny sposób, że od każdej z pozostałych warstw wypadkowa siła grawitacji jest równa zeru. Stąd wynika, że tylko część wewnętrzna kuli o promieniu przyciąga ciało próbne, czyli wewnątrz Ziemi siła ciężkości wyrazi się za pomocą wzoru:
gdzie oznacza masę części wewnętrznej kuli o promieniu .
Wykres zależności siły grawitacji od odległości od środka planety kulistej
Zgodnie ze wzorem (5.11) wypadkowa siła działająca na ciało próbne pochodzi tylko od wewnętrznej kuli o promieniu . , czyli masę kuli o promieniu można wyrazić za pomocą gęstości planety:
Po wstawieniu tego wzoru do (5.11) otrzymamy:
Zauważmy, że siła grawitacji wewnątrz jednorodnej planety rośnie liniowo wraz z odległością od środka planety:
i w środku planety jest równa zeru.
Wzór (5.13) można zapisać jako:
gdzie ma stałą wartość:
Widzimy więc, że wykresem siły wewnątrz planety jest linia prosta. Na zewnątrz obowiązuje wzór przedstawiający zależność odwrotnie proporcjonalną siły od kwadratu odległości od środka planety. Pełny wykres siły grawitacji, wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej kuli, w zależności od odległości od jej środka, jest przedstawiony na il. 5.10.
Praca przemieszczenia ciała wewnątrz jednorodnej planety
Z punktu środkowego jednorodnej planety o masie i promieniu przeniesiono ciało o masie na odległość . Jaką pracę wykonano?
Podczas wykonywania tej pracy należy działać siłą przeciwnie skierowaną do siły grawitacji (5.16) i równą jej wartości . Siła ta zmienia się liniowo wraz ze wzrostem – przesunięcia ciała. Wartość średnia tej siły na drodze wynosi:
Praca przesunięcia ciała na tej drodze wynosi . Zatem:
Po podstawieniu stałej z wzoru (5.15) otrzymamy:
W przypadku, gdy ciało zostanie przeniesione z punktu środkowego planety na jej powierzchnię, to droga przesunięcia ciała wyniesie , a siła grawitacji wzrośnie od zera, w środku planety, do wartości:
Tak więc średnia siła na drodze od do wyniesie , z kolei praca lub
Przykład 4: „Pociąg przyszłości”
Pociągiem przyszłości nazwijmy pojazd, który mógłby się poruszać tylko pod wpływem siły grawitacji (przy zaniedbaniu oporu powietrza – bez dodatkowego napędu) w tunelu przewierconym na wylot w Ziemi (il. 5.11). Pojazd ten mógłby poruszać się wahadłowo, osiągając przeciwległy punkt Ziemi. Oblicz prędkość , jaką osiągnąłby pojazd w środku Ziemi, oraz prędkość na drugim końcu tunelu. Przyjmij, że Ziemia jest jednorodną kulą, o jednakowej gęstości w każdym punkcie, i zaniedbaj opór powietrza.
Rozwiązanie: Pojazd w tunelu nabywa prędkości i energii kinetycznej dzięki pracy siły grawitacji. Praca siły grawitacji wewnątrz Ziemi (na drodze od powierzchni Ziemi do jej środka – wzór (5.17)) jest równa energii kinetycznej ciała w tunelu w punkcie środkowym Ziemi:
Stąd:
Wzór ten może przybrać prostszą postać, gdy wykorzystamy równanie siły grawitacji na powierzchni Ziemi:
więc:
Zatem, wstawiając ten wynik do wzoru (5.18), ostatecznie otrzymamy prędkość pojazdu w tunelu w środku Ziemi:
Oczywiście, prędkość na drugim końcu tunelu wynosi zero, ponieważ praca siły grawitacji wewnątrz Ziemi (na drodze od środka do powierzchni Ziemi) zredukuje całkowicie energię kinetyczną ciała w punkcie środkowym Ziemi. Tak więc prędkość końcowa będzie równa zeru.
Na koniec zwróćmy uwagę na ciekawy fakt: prędkość uzyskana w środkowym punkcie tunelu jest tożsama z pierwszą prędkością kosmiczną, którą obliczyliśmy w pierwszym tomie podręcznika w rozdziale 1.7 Prędkości kosmiczne i sztuczne satelity, wzór (1.24). Nie jest to przypadek, mimo że rozwiązywaliśmy różne zagadnienia i zastosowaliśmy różne metody ich rozwiązania. Zastanów się, w czym hipotetyczny orbitalny ruch po okręgu, tuż przy powierzchni Ziemi, może być podobny do hipotetycznego ruchu prostoliniowego w tunelu przechodzącym przez środek Ziemi. Wskazówka: Przypomnij sobie zasadę niezależności ruchów (rozdział 1.10. Operacje na wektorach) i zastosuj ją do ruchu po okręgu.
Pytania i problemy
- Czy na ciało znajdujące się wewnątrz planety działa siła grawitacji? Odpowiedź uzasadnij w kilku słowach.
- Wyjaśnij, dlaczego nie obserwuje się, aby na ciało znajdujące się wewnątrz planety działała wypadkowa siła grawitacji równa zeru, jeżeli jest ono w pewnej odległości od środka planety.
- Wytłumacz, jak działają siły grawitacji na ciało znajdujące się dokładnie w środku kulistej jednorodnej planety?
- Podaj wzór na wypadkową siłę grawitacji działającą na małe ciało wewnątrz dużej jednorodnej kuli o masie w odległości od jej środka. Objaśnij znaczenie symboli w tym wzorze.
- Postaraj się wyjaśnić, dlaczego pojazd umieszczony w tunelu przewierconym na wylot Ziemi (nazwany pociągiem przyszłości) mógłby jeździć bez napędu i osiągać stację znajdującą się na antypodach Ziemi?