1.12. Wektor przyspieszenia

Przyspieszenie średnie zdefiniowane jako stosunek przyrostu wektora prędkości $\Delta\vec{v}$ do czasu $\Delta t$ , w jakim ten przyrost nastąpił:

\vec{a}_{\acute{s}r}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}

( 1.43 )

jest wektorem (ponieważ dzielenie wektora przez skalar $\Delta t$ daje wektor).

Na przyspieszeniach możemy wykonywać, w konkretnych zagadnieniach fizycznych, operacje wcześniej zdefiniowane dla wektorów, jak dodawanie, rozkładanie na wektory składowe, rzutowanie na określone osie i inne.

W ruchu prostoliniowym wektory $\Delta\vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}$ i ${\vec{v}}_{2}$ mają ten sam kierunek, zgodny z torem ruchu. Tak więc wektor $\Delta\vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}$ ma również ten sam kierunek, zgodny z torem (il. 1.48). Z tego zaś wynika, że wektor przyspieszenia $\vec{a}$ także ma kierunek zgodny z torem. Mówimy, że przyspieszenie jest w tej sytuacji styczne do toru. Opisuje ono zmianę wartości prędkości; kierunek prędkości się nie zmienia.

Ilustracja 1.48. Wektory w ruchu prostoliniowym

W ruchu przyspieszonym prostoliniowym wektor

\vec{v}

ma zawsze kierunek zgodny z torem

Inaczej jest w ruchu krzywoliniowym...

Zwróćmy uwagę na to, że wektor przyspieszenia chwilowego w ruchu krzywoliniowym nie jest styczny do toru. Widać to na il. 1.49 – w punktach 1 i 2 wektory prędkości są styczne do toru, natomiast wektor $\Delta\vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}$ , który występuje w liczniku wzoru (1.43), nie jest styczny do toru (nawet wtedy, gdy punkty 1 i 2 zbliżają się do siebie), a przecież kierunek wektora $\vec{a}$ jest zgodny z kierunkiem $\vec{v}$ . W takiej sytuacji wektor przyspieszenia $\vec{a}$ rozkładamy na dwa wektory składowe wzajemnie prostopadłe (il. 1.50): $\vec{a}_{s}$ – styczny do toru i $\vec{a}_{r}$ – prostopadły (normalny); ten ostatni wektor nazywa się przyspieszeniem dośrodkowym.

Taki rozkład wektora przyspieszenia ma sens, ponieważ każda z opisanych składowych powoduje inny skutek. Składowa styczna związana jest ze zmianą wartości prędkości. Zauważmy, że przyspieszenie $a$ – zdefiniowane wcześniej za pomocą wzoru (1.13): rozdz. 1.4. Ruch jednostajnie przyspieszony – jest właśnie wartością składowej stycznej przyspieszenia $a_{s}$ . Natomiast składowa prostopadła przyspieszenia opisuje zmianę kierunku prędkości.

Ilustracja 1.50. **Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym można rozłożyć na wzajemnie prostopadłe składowe $\vec{a}_{s}$ i $\vec{a}_{r}$**

Przykład 11

Ciało zsuwa się po równi pochyłej o długości $l=1\, m$ , z wysokości $h=2\, cm$ (il. 1.51). Pomijając opory ruchu, oblicz czas trwania ruchu i prędkość końcową ciała u podnóża równi. Ile wynosi czas spadania i prędkość końcowa ciała, gdy spada ono swobodnie z tej samej wysokości?

Ilustracja 1.51. **Przyspieszenie ciała na równi pochyłej bez tarcia**

Jest ono równe rzutowi wektora przyspieszenia ziemskiego $\vec{g}$ na kierunek równi, $a=g_{s}=g\sin\alpha$

Rozwiązanie: Przyspieszenie ziemskie jest wektorem i zgodnie z tym, co powiedziano wcześniej, wektor ten można rzutować na dowolne kierunki. W naszym przypadku odpowiednim kierunkiem rzutu jest kierunek równoległy do równi (bo tylko w takim kierunku ciało może się poruszać – ruch w kierunku prostopadłym do powierzchni równi jest niedostępny).

Zatem ciało zsuwa się z równi z przyspieszeniem $\vec{a}$ równym co do wartości rzutowi przyspieszenia ziemskiego $g_{s}=g\sin\alpha$ . Ale $\sin\alpha=\frac{h}{l}$ , więc:

a=g\sin\alpha=g\frac{h}{l}

Wzdłuż równi ciało pokonuje drogę

l

ruchem jednostajnie przyspieszonym w czasie

t

, z zerową prędkością początkową

v_{0}=0

, zatem

l=\frac{at^{2}}{2}

. Po podstawieniu tu wzoru na

a

, otrzymamy:

l=\frac{ght^{2}}{2l}

, stąd:

t=l\sqrt{\frac{2}{gh}}

Po wstawieniu wartości liczbowych

l=1\, m

h=0,02\, m

oraz

g=9,81\, m/s^{2}

otrzymujemy czas ruchu ciała wzdłuż równi

t=3,2\, s

Prędkość ciała u podnóża równi wynosi $v=at$ . Podstawmy tu czas $t$ wyprowadzony ze wzoru $l=\frac{at^{2}}{2}$ :

t=\sqrt{\frac{2l}{a}}

Zatem:

v=at=a\sqrt{\frac{2l}{a}}=\sqrt{2al}

Po podstawieniu otrzymanego wcześniej wzoru na

a

, mamy

v=\sqrt{2\frac{gh}{l}l}

. Stąd:

v=\sqrt{2gh}

Podstawiając dane liczbowe, otrzymamy wynik:

v=0,62\, m/s

Czas swobodnego spadania $t_{0}$ z wysokości $h$ obliczymy, korzystając z równania $h=\frac{gt_{0}^{2}}{2}$ . Wówczas:

t_{0}=\sqrt{\frac{2h}{g}}

Porównajmy ten czas z czasem

t

ruchu ciała wzdłuż równi pochyłej. W tym celu przekształcimy wyprowadzony powyżej wzór na

t

w następujący sposób:

t=l\sqrt{\frac{2}{gh}}=\frac{l}{h}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{l}{h}t_{0}

Widzimy, że czas

t

zsuwania się ciała po równi jest tyle razy dłuższy od czasu

t_{0}

swobodnego spadania, ile razy długość równi jest większa od jej wysokości. Po wstawieniu danych liczbowych otrzymamy

t_{0}=0,064\, s

Prędkość ciała swobodnie spadającego z wysokości $h$ wynosi $v=gt_{0}$ . Po podstawieniu $t_{0}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ , otrzymamy $v=\sqrt{2gh}$ – wzór identyczny ze wzorem na prędkość ciała zsuwającego się po równi. Widzimy zatem, że wartość prędkości końcowej ciała zsuwającego się bez tarcia po równi pochyłej jest równa wartości prędkości ciała swobodnie spadającego z tej samej wysokości.

Pytania i problemy

Zdefiniuj i opisz wektor przyspieszenia średniego.
Rozłóż graficznie wektor przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym na składowe – prostopadłą i styczną do toru. Która z tych składowych związana jest ze zmianą kierunku prędkości?
Uzasadnij wniosek, że na ogół wektor przyspieszenia ma inny kierunek niż wektor prędkości. Wykorzystaj wzór (1.43).
Wyjaśnij, jaki związek ma przyspieszenie $a$ zdefiniowane za pomocą wzoru (1.13) w rozdziale 1.4. Ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem zdefiniowanym we wzorze (1.43).
Przedstaw działania kierowcy, przy których pojawia się niezerowe przyspieszenie styczne samochodu.
Przedstaw działania kierowcy, przy których pojawia się niezerowe przyspieszenie dośrodkowe samochodu.
Opisz ruch, podczas którego składowa prostopadła przyspieszenia równa jest zeru.
Opisz ruch, podczas którego składowa styczna przyspieszenia równa jest zeru. Jeśli to pytanie wydaje ci się za trudne, wyjaśnienie znajdziesz w rozdziale 1.15. Ruch jednostajny po okręgu.