4.3. Twierdzenie Steinera. Zależność momentu bezwładności od położenia osi obrotu

Zgodnie ze wzorem (4.6) moment bezwładności zależy nie tylko od masy bryły, ale również od położenia osi, względem której go określamy. Istnieje zależność między momentem bezwładności $I$ układu względem dowolnej osi a momentem bezwładności $I_{0}$ względem równoległej do niej osi przechodzącej przez środek masy układu:

I=I_{0}+mr_{0}^{2}

( 4.18 )

gdzie $r_{0}$ jest odległością między tymi osiami (il. 4.11). Zależność ta nosi nazwę twierdzenia Steinera.

Ilustracja 4.11. **Moment bezwładności ciała względem różnych osi**

Moment bezwładności dla bryły sztywnej ma wartość $I_{0}$ względem osi $O-O$ przechodzącej przez środek masy, natomiast ma inną wartość $I$ , gdy jest obliczony względem innej osi $O'-O'$

Środek masy

Pojęcie to jest bardzo ważne i często stosowane w fizyce. Dlatego poświęcamy mu cały rozdział 4.5. Środek ciężkości i środek masy. Tutaj skrótowo podajemy najważniejsze dane potrzebne do zrozumienia treści rozdziału.

Pojęcie środka masy najłatwiej można wyjaśnić, rozważając bliskie mu pojęcie środka ciężkości (il. 4.12).

Ilustracja 4.12. **Środek masy dwóch ciał**

Środek masy (jak i środek ciężkości) dwóch ciał o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ znajduje się w punkcie $S$ , dzielącym odcinek $l$ na dwa odcinki $l_{1}$ i $l_{2}$ w stosunku $\frac{l_{1}}{l_{2}}=\frac{m_{2}}{m_{1}}$

Pojęcie środka masy stosuje się nie tylko do dwóch ciał, ale również do układu wielu ciał i do brył sztywnych.

Wykażemy teraz słuszność twierdzenia Steinera dla układu dwóch punktów materialnych. W tym celu obliczymy ich momenty bezwładności względem dwóch równoległych osi, prostopadłych do płaszczyzny rysunku (il. 4.13), odległych od siebie o $r_{0}$ . Moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy $O$ wynosi:

I_{0}=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}

Moment bezwładności $I$ możemy wyrazić wprost z definicji:

I_{0}=m_{1}r'_{1}^{2}+m_{2}r'_{2}^{2}

( 4.19 )

Z twierdzenia Pitagorasa: $r_{1}^{'2}=h^{2}+\left(r_{1}+x\right)^{2}$ i $r_{2}^{'2}=h^{2}+\left(r_{2}-x\right)^{2}$ . Po podstawieniu do wzoru (4.19) i po prostych przekształceniach otrzymamy:

I=I_{0}+\left(m_{1}+m_{2}\right)\left(h^{2}+x^{2}\right)+2x\left(m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}\right)

Ilustracja 4.13. **Układ dwóch punktów materialnych**

Układ dwóch punktów materialnych odległych o $r_{1}$ i $r_{2}$ od osi przechodzącej przez środek masy $O$ i odległych o $r_{1}'$ i $r_{2}'$ od osi przechodzącej przez punkt $O^{'}$

Ponieważ $h^{2}+x^{2}=r_{0}^{2}$ i $m_{1}r_{1}-m_{2}r_{2}=0$ (zob. rozdział 4.5. Środek ciężkości i środek masy – definicja środka masy – oraz wzory (4.36) i (4.37)), więc $I=I_{0}+mr_{0}^{2}$ (co mieliśmy wykazać).

Przykład 2

Znajdź wzór na moment bezwładności $I_{0}$ jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta przechodzącej przez jego środek masy (il. 4.14).

Ilustracja 4.14. **Osie obrotu prostopadłe do pręta**

Przedstawiamy poniżej rozwiązanie, w którym nie korzystamy z wyniku Przykładu 1 z poprzedniego rozdziału. Zapoznaj się z tym rozwiązaniem i spróbuj samodzielnie znaleźć $I_{0}$ jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek masy, ale z wykorzystaniem wyniku z Przykładu 1.

Rozwiązanie: Przyjmiemy, że wzór na moment bezwładności pręta (mającego masę $m$ i długość $l$ ) względem osi przechodzącej przez jego koniec ma postać:

I=kml^{2}

( 4.20 )

gdzie $k$ jest bezwymiarowym współczynnikiem.

Zauważmy, że $I_{0}$ – moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy – można przedstawić jako sumę momentów bezwładności jego połówek względem osi przechodzących przez ich końce. Zatem

I_{0}=2k\frac{m}{2}\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=\frac{k}{4}ml^{2}

( 4.21 )

Zgodnie z twierdzeniem Steinera:

I=m\left(\frac{l}{2}\right)^{2}+I_{0}=ml^{2}+\frac{k}{4}ml^{2}=\frac{1+k}{4}ml^{2}

( 4.22 )

Po przyrównaniu prawych stron równości (4.20) i (4.22) mamy $k=\frac{1+k}{4}$ . Stąd $k=\frac{1}{3}$ . Zatem, korzystając ze wzoru (4.21), otrzymujemy wzór wyrażający moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez środek masy:

I_{0}=\frac{1}{12}ml^{2}

( 4.23 )

Przykład 3

Znajdź wzór na moment bezwładności jednorodnego walca względem osi przechodzącej przez jego środek (il. 4.15a).

Jednorodny walec oraz z walca wycięto pierścień — Ilustracja 4.15. **a) jednorodny walec, b) z walca wycięto pierścień**

Rozwiązanie: Zakładamy, podobnie jak w poprzednim przykładzie, że wzór na moment bezwładności (obecnie dla walca) ma postać:

I_{0}=kmR^{2}

Żeby znaleźć współczynnik $k$ , wytniemy z walca, w myśli, pierścień o wewnętrznym promieniu $R_{1}$ (il. 4.15b). Moment bezwładności $I_{0p}$ będzie równy różnicy momentów dwóch walców o promieniach $R$ i $R_{1}$ oraz masach $m$ i $m_{1}=\frac{mR_{1}^{2}}{R^{2}}$ (masa walca o ustalonej wysokości jest proporcjonalna do pola powierzchni kołowej podstawy $\pi R^{2}$ ), zatem:

I_{0p}=I_{0}=I_{0,1}=kmR^{2}-km_{1}R^{2}=kmR^{2}-k\frac{mR_{1}^{2}}{R^{2}}R_{1}^{2}=\frac{km}{R^{2}}\left(R^{4}-R_{1}^{4}\right)=k\frac{m\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)}{R^{2}}\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right)

Skoro $\frac{m\left(R^{2}-R_{1}^{2}\right)}{R^{2}}=m_{p}$ jest masą pierścienia, to:

I_{0p}=km_{p}\left(R^{2}+R_{1}^{2}\right)

Zatem, jeśli pierścień jest dostatecznie cienki (tzn. $R\approx R_{1}$ ), to:

I_{0p}=2km_{p}R^{2}

( 4.24 )

Z drugiej strony, na podstawie wzoru (4.6) (patrz również Przykład 1),

I_{0p}=\Delta m_{1}R^{2}+\Delta m_{2}R^{2}+...+\Delta m_{n}R^{2}=\left(\Delta m_{1}+\Delta m_{2}+...+\Delta m_{n}\right)R^{2}=m_{p}R^{2}

( 4.25 )

Po porównaniu wzorów (4.24) i (4.25) i po uproszczeniu otrzymujemy:

2k=1

Zatem dochodzimy do wniosku, że $k=\nicefrac{1}{2}$ . Wzór na moment bezwładności dla walca przybiera postać:

I_{0}=\frac{1}{2}mR^{2}

( 4.26 )

Wyprowadzenie wzorów dla innych prostych brył jednorodnych byłoby bardziej skomplikowane pod względem matematycznym, dlatego ograniczymy się tutaj do podania gotowych wzorów w tabeli (il. 4.16).

Ilustracja 4.16. **Moment bezwładności dla wybranych jednorodnych brył $I_{0}$ względem osi przechodzącej przez środek masy, zaznaczonej na rysunku**

Przykład 4

Ile wynosi prędkość liniowa górnego końca słupa upadającego na ziemię? Słup początkowo znajdował się w pozycji pionowej i miał wysokość $H=4 m$ , następnie został podcięty u postawy.

Rozwiązanie: Energia potencjalna słupa o masie $m$ , w pozycji pionowej – środek masy słupa znajduje się na wysokości $\frac{H}{2}$ – wynosi:

E_{p}=mg\frac{H}{2}

Słup tuż przed upadkiem ma energię kinetyczną ruchu obrotowego (wzór (4.5)):

E_{k}=\frac{I\omega^{2}}{2}

Moment bezwładności względem osi u podstawy słupa (patrz wzór (4.23) i twierdzenie Steinera (4.18)) wynosi:

I=m\left(\frac{H}{2}\right)^{2}+m\frac{H^{2}}{12}=m\frac{H^{2}}{3}

Wykorzystując to wyrażenie, po przyrównaniu energii kinetycznej do energii potencjalnej słupa, otrzymamy:

mg\frac{H}{2}=\frac{mH^{2}\omega^{2}}{6}

Po uproszczeniu i uwzględnieniu, że prędkość liniowa górnego punktu słupa (tuż przed upadkiem) wynosi $v=H \omega$ , otrzymujemy:

v=\sqrt{3gH}

czyli:

v=10,85\,\frac{m}{s}

Warto zwrócić uwagę, że prędkość ta jest większa, niż gdyby koniec słupa, rozumiany jako punkt materialny, spadał swobodnie pod wpływem własnego ciężaru. Zastanów się nad przyczyną tego faktu i spróbuj go objaśnić jakościowo.

Pytania i problemy

W jakim celu stosuje się twierdzenie Steinera? Przytocz to twierdzenie.
Znając moment bezwładności pierścienia cienkościennego o promieniu $R$ i masie $m$ względem osi przechodzącej przez jego środek (tabela na il. 4.16), oblicz moment bezwładności tego pierścienia względem osi przechodzącej przez jeden z punktów leżących na jego obwodzie.
W wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku $a$ umieszczono małe kulki o jednakowych masach $m$ . Oblicz moment bezwładności kulek względem osi równoległej do wysokości trójkąta i przechodzącej przez kulkę.

Ilustracja 4.17. Układ kulek umieszczonych w wierzchołkach równobocznego trójkąta