2.7. Siły bezwładności, układy nieinercjalne

Siły bezwładności zostały szczegółowo omówione w klasie pierwszej (patrz tom 1., rozdział 1.4 Siła dośrodkowa). Tutaj ograniczymy się tylko do przypomnienia podstawowych pojęć z tego zakresu.

W poprzednich rozdziałach opisywaliśmy zachowanie się ciał w układach inercjalnych. Teraz rozpatrzymy ruch ciał w układach nieinercjalnych, które poruszają się z przyspieszeniem względem układów inercjalnych.

Przykładem układu nieinercjalnego może być (omówiony w rozdziale 2.1. Pierwsza zasada dynamiki Newtona) tramwaj ruszający z przystanku z przyspieszeniem. Pasażerowie doskonale zdają sobie sprawę, że znajdują się w przyspieszającym tramwaju, czyli w układzie nieinercjalnym, gdyż odczuwają siły bezwładności działające na wszystkie ciała.

W celu prześledzenia działania sił bezwładności rozważymy szczególny przypadek, gdy na ruchomej platformie znajduje się wózek mogący poruszać się prawie bez tarcia (il. 2.30). (Wózek jest wyposażony w sprężynę, która „przyda się” w drugiej części naszych rozważań.) Gdy platforma porusza się w prawo ze stałym przyśpieszeniem, to wózek względem platformy porusza się w lewo z takim samym przyspieszeniem, ale zwróconym przeciwnie. Opiszemy ruch wózka z punktu widzenia dwóch różnych obserwatorów: jednego, znajdującego się na ziemi, „nieruchomego” – w układzie inercjalnym – oraz drugiego, „ruchomego”, znajdującego się na platformie – w układzie nieinercjalnym.

Poniżej przedstawiamy to, jak obaj obserwatorzy interpretują ten sam fakt doświadczalny: ruch wózka względem platformy.

Ilustracja 2.30. **Dwie interpretacje ruchu wózka względem platformy**

Dla obserwatora „nieruchomego” wózek o masie $m$ jest w spoczynku; na wózek nie działa żadna siła. Dla obserwatora „ruchomego” wózek ma przyspieszenie $-\vec{a}$ ; na wózek działa siła bezwładności $\vec{F}_{b}=-m\vec{a}$

Układ inercjalny – (obserwator „nieruchomy”): na wózek nie działają żadne siły skierowane poziomo i wózek pozostaje w spoczynku względem ziemi, zgodnie z zasadą bezwładności. Platforma porusza się z przyspieszeniem $\vec{a}$ , niejako „uciekając” spod wózka.
Układ nieinercjalny – (obserwator „ruchomy”): na wózek nie działają żadne siły, które by pochodziły od innych ciał, a mimo to wózek ma przyspieszenie względem platformy, które wynosi $-\vec{a}$ . To siła bezwładności nadaje wózkowi przyspieszenie zgodnie z drugą zasadą dynamiki: $\vec{F}_{b}=-m\vec{a}$ .

Mamy tu zdecydowanie różne opisy tego samego zjawiska obserwowanego w dwóch różnych układach odniesienia. W układzie inercjalnym siła bezwładności nie występuje, obserwator „nieruchomy” sam nie zauważy jej istnienia. Jeśli zaś dowie się o niej od swego „ruchomego” kolegi, to uzna siłę bezwładności za pozorną – fikcyjną. Natomiast obserwator „ruchomy” – będący w układzie nieinercjalnym – uzna siłę bezwładności za realną, może ją zmierzyć. Jeżeli zaczepi sprężynę znajdującą się na końcu wózka do podpórki platformy (il. 2.31), to sprężyna zostanie napięta, wydłuży się, a wózek będzie wtedy w spoczynku względem platformy. Wydłużenie tej sprężyny jest miarą siły bezwładności w układzie nieinercjalnym. Jednakże obserwator „nieruchomy” zinterpretuje wydłużenie sprężyny inaczej: to platforma, poruszając się ruchem przyspieszonym i oddalając się od wózka, powoduje rozciągnięcie sprężyny i działa za jej pośrednictwem na wózek. Wydłużenie sprężyny jest miarą oddziaływania platformy na wózek zgodnie z właściwościami sił sprężystych.

Ilustracja 2.31. **Siły w układzie inercjalnym i nieinercjalnym**

W układzie nieinercjalnym platformy naciągnięta sprężyna równoważy siłę bezwładności; powoduje to, że wózek względem platformy pozostaje nieruchomy. Tym samym siła sprężystości jest miarą siły bezwładności. Dla obserwatora w układzie inercjalnym siła sprężystości $\vec{F}_{s}$ , z jaką platforma, za pośrednictwem sprężyny, działa na wózek powoduje przyspieszony ruch wózka w prawo

Rozstrzygnijmy ten spór między dwoma obserwatorami. Przede wszystkim zauważmy, że pojęcie siły bezwładności nie jest zgodne z trzecią zasadą dynamiki. Zasada ta wymaga, aby siła była wynikiem oddziaływania dwóch lub więcej ciał. Siła bezwładności nie pochodzi od jakiegokolwiek ciała.

W układzie nieinercjalnym wszystkie ciała swobodne doznają przyśpieszenia, które jest równe co do wartości przyśpieszeniu $a$ całego układu, ale ma przeciwny zwrot. Dlatego we wzorze na siłę bezwładności $\vec{F}_{b}$ pojawia się znak minus:

\vec{F}_{b}=-m\vec{a}

( 2.25 )

(gdzie $\vec{a}$ jest przyspieszeniem układu nieinercjalnego). Wzór ten ma zastosowanie w układach nieinercjalnych, nie dotyczy realnej siły, ale siły specyficznej – siły bezwładności.

W przypadku sił bezwładności trzecia zasada dynamiki Newtona nie ma zastosowania, gdyż siły te są wywołane przez przyspieszenie układu odniesienia i nie pochodzą z oddziaływań z innymi ciałami.

Siły bezwładności są siłami pozornymi, gdyż nie mogą należeć do żadnego z czterech podstawowych rodzajów oddziaływań występujących w przyrodzie.

Siły bezwładności nie występują w układach inercjalnych. Z kolei w układach nieinercjalnych są bardzo użyteczne przy rozwiązywaniu różnych problemów fizycznych. Dozwolone jest wtedy stosowanie ogólnego równania Newtona zawierającego „poprawkę” na siłę bezwładności:

\vec{a}=\frac{(\vec{F}+\vec{F}_{b})}{m}

( 2.26 )

gdzie $\vec{F}$ oznacza wypadkową wszystkich realnych sił działających na ciało.

Przykład 7

W windzie znajduje się równia pochyła (il. 2.32). Gdy winda porusza się pionowo w górę ruchem jednostajnie przyspieszonym, czas zsuwania się klocka po równi od wierzchołka do podstawy jest $n=1,2$ razy krótszy od analogicznego czasu zsuwania się wtedy, kiedy winda jest w spoczynku – tarcie jest znikome. Ile wynosi przyspieszenie windy?

Ilustracja 2.32. **Klocek na równi pochyłej w przyspieszającej windzie**

Rozwiązanie: Załóżmy, że kąt nachylenia równi do poziomu wynosi $\alpha$ , a droga wzdłuż równi wynosi $s$ (il. 2.33).

Ilustracja 2.33. **Rozkład wektorów przyśpieszenia $g$ i $a$ na równi**

Rozważmy dwa przypadki:

a) winda jest w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym – układ inercjalny,

b) winda porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym w górę – układ nieinercjalny.

W przypadku a) ruch klocka wzdłuż równi odbywa się z przyspieszeniem:

g_{s}=g\sin\alpha

Zatem drogę $s$ wzdłuż równi wyrazimy wzorem:

s=\frac{g\sin\alpha}{2}t_{a}^{2}

( 2.27 )

W przypadku b) winda jest układem nieinercjalnym. Oznacza to, że na klocek działa, oprócz siły ciężkości $m\cdot\vec{g}$ (zwróconej w dół), także siła bezwładności $\vec{F}_{b}=-m\vec{a}$ . Przyspieszenie windy $\vec{a}$ zwrócone jest ku górze, więc siła bezwładności $\vec{F}_{b}$ ma zwrot do dołu, tak jak siła ciężkości. To zaś oznacza, że wypadkowa tych dwóch sił ma także zwrot w dół, a wartość jej wynosi $\vec{F}_{wyp}=m(\vec{a}+\vec{g})$ . Widać więc, że klocek na przyspieszającej w górę równi zachowuje się tak, jakby przyspieszenie ziemskie miało wartość nie $g$ , lecz $\left(a+g\right)$ . Możemy zatem stwierdzić, że ruch klocka wzdłuż równi odbywa się z przyspieszeniem:

\left(a+g\right)_{s}=\left(a+g\right)\sin\alpha

Wzór na drogę $s$ wzdłuż równi ma zatem postać:

s=\frac{\left(a+g\right)\sin\alpha}{2}t_{b}^{2}

( 2.28 )

Po podzieleniu równań (2.28) i (2.27) stronami i po prostym przekształceniu otrzymamy:

\frac{t_{b}^{2}}{t_{a}^{2}}=\frac{a+g}{g}

Zgodnie z warunkami zadania stosunek czasów $t_{b}/t_{a}=n$ , zatem:

n^{2}=\frac{a+g}{g}

Stąd:

a=\left(n^{2}-1\right)g

Po podstawieniu $n=1,2$ otrzymamy przyspieszenie windy:

a=0,44g=4,32\, m/s^{2}

Przyjęliśmy, że przyspieszenie ziemskie $g=9,81\, m/s^{2}$ .

Pytania i problemy

Podaj przykłady układów odniesienia, w których pojawiają się siły bezwładności. Czym charakteryzują się te układy?
Sformułuj drugą zasadę dynamiki Newtona dla ciała w układzie nieinercjalnym. Na wybranym przykładzie wyjaśnij zastosowanie tej zasady.
Nazwij podstawowe cztery oddziaływania w przyrodzie. Czy siły bezwładności stanowią przykład któregoś z nich?
W tramwaju pod sufitem zawieszono na nici kulę. Tramwaj porusza się z przyspieszeniem $a=4,9\, m/s^{2}$ . O jaki kąt nić odchyla się od pionu?