Genialnie proste wyjaśnienie prawa powszechnego ciążenia podał Izaak Newton w 1686 roku. Stwierdził, że ta sama siła, która przyciąga przedmioty znajdujące się w pobliżu Ziemi, musi przyciągać również Księżyc krążący dookoła Ziemi. Newton w swoich rozważaniach poszedł dalej. Stwierdził, że skoro Ziemia krąży wokół Słońca, to znaczy, że Słońce przyciąga Ziemię siłą o tym samym charakterze. To samo dotyczy również innych planet krążących wokół Słońca. W myśl trzeciej zasady dynamiki każda z planet musi wzajemnie przyciągać Słońce z taką samą siłą, lecz przeciwnie zwróconą. Ale masa Słońca jest bez porównania wielokrotnie większa od masy jakiejkolwiek z planet, dlatego skutek wzajemnego przyciągania odbija się prawie wyłącznie na planecie: planeta i Słońce krążą wkoło wspólnego środka masy, który znajduje się bardzo blisko środka Słońca.

Oto koncepcja Newtona: wszystkie ciała przyciągają się wzajemnie. Siła przyciągania wzajemnego ciał nazywa się siłą powszechnego ciążenia albo siłą grawitacji. Poniżej przedstawiamy skrótowo rozumowanie Newtona.

Newton postawił sobie następne pytanie: Od jakich czynników zależy siła grawitacji? Ziemia przyciąga ciała znajdujące się w jej pobliżu, takie jak np. piłkę, oraz odległe od niej, np. Księżyc. Siłę, z jaką Ziemia przyciąga piłkę, można wyrazić za pomocą przyśpieszenia ziemskiego $g$, wzorem:

gdzie $m$ jest masą piłki, a $g$ jest przyspieszeniem spadającej piłki w pobliżu Ziemi.

Wiadomo, że Ziemia nadaje wszystkim ciałom jednakowe przyspieszenie $g$, niezależne od ich masy $m$:

Tak samo będzie, gdy ciała będą bardziej odległe od Ziemi – ciała te będą miały jednakowe przyśpieszenie $g_r$, inne (mniejsze) niż $g$ w pobliżu Ziemi. Gdyby piłka znajdowała się w odległości $r$ takiej samej jak Księżyc od Ziemi, to miałaby przyspieszenie takie samo, jakie ma Księżyc (il. 5.2) – równe przyspieszeniu dośrodkowemu Księżyca w jego ruchu na orbicie kołowej.

Przyspieszenie dośrodkowe Księżyca zgodnie ze wzorem (1.67) wynosi:

Mamy następujące dane:

• okres obiegu Księżyca wokół Ziemi $T=\mathrm{2,36}\cdot 10^6\text{s}$ (jest on nieco większy od 27 dni, dokładniej: ma 27,3 dnia),
• orbita Księżyca jest prawie kołowa i jej promień jest równy: $r=\mathrm{3,845}\cdot 10^8\text{m}$,
• promień Ziemi wynosi $R=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{m}$, zatem promień orbity Księżyca jest prawie dokładnie 60 razy większy od promienia Ziemi.

Po podstawieniu tych danych otrzymamy: $g_r=\mathrm{2,73}\cdot 10^{-3}\text{m}/{\text{s}}^2$. Wiemy, że przyspieszenie grawitacyjne dowolnego ciała przy powierzchni Ziemi wynosi $g=\mathrm{9,81}\text{m}/{\text{s}}^2$. Zatem takie przyspieszenie uzyskują ciała w odległości od środka Ziemi równej jednemu promieniowi $R$. Natomiast w odległości 60 promieni Ziemi, czyli w odległości równej promieniowi orbity Księżyca, przyspieszenie wynosi tylko $g_r=\mathrm{2,73}\cdot {10}^{-3}\text{m}/{\text{s}}^2$. Stosunek wartości tych przyspieszeń wynosi:

Jeżeli więc odległość zwiększy się 60 razy, to przyspieszenie zmaleje $3600=60^2$ razy.

Newton na podstawie tego właśnie obliczenia stwierdził, że przyspieszenie grawitacyjne jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości, czyli:

Po przekształceniu tego wyrażenia otrzymamy:

Zatem siła przyciągania działająca na Księżyc jest proporcjonalna do masy Księżyca. Ale w myśl trzeciej zasady dynamiki, taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana działa na Ziemię. Musi być więc proporcjonalna również do masy $M$ Ziemi. Wobec tego:

Na oznaczenie współczynnika proporcjonalności stosuje się dużą literę $G$. Nazywamy go stałą grawitacji. Tak więc:

W ten sposób Newton doszedł do wzoru na prawo powszechnego ciążenia. Chociaż wzór ten został wyprowadzony dla wzajemnego oddziaływania Ziemi i Księżyca, to stosuje się on do dowolnych ciał. W związku z tym prawo powszechnego ciążenia można wyrazić następująco:

To samo prawo, które tłumaczy spadanie ciał na Ziemię, rządzi ruchem planet i komet w Układzie Słonecznym, jak również ruchem gwiazd w Galaktyce oraz ruchami olbrzymich galaktyk. Prawo grawitacji rządzi więc całą mechaniką nieba.

Przykład 1

Newton musiał podać wartość stałej grawitacji, aby jego prawo było pełne. Do oszacowania stałej $G$ potrzebna mu była gęstość Ziemi. Gęstość jest to stosunek masy do objętości:

$\rho =\frac{M}{V}$

( 5.2 )

czyli liczbowo jest to masa, jaka jest zawarta w objętości $1{\text{m}}^3$. Na podstawie znajomości gęstości różnych minerałów występujących na Ziemi przyjął, że gęstość średnia Ziemi wynosi $\rho =5\cdot 10^3\text{kg}/{\text{m}}^3$ (okazało się później, że oszacowana przez niego gęstość nie różni się więcej niż o 10% od wartości rzeczywistej). Idąc śladem myśli Newtona, oblicz stałą grawitacji, mając dane: oszacowaną wartość gęstości Ziemi, przyspieszenie ziemskie $g=\mathrm{9,81}\text{m}/{\text{s}}^2$ oraz promień Ziemi $R=\mathrm{6,37}\cdot {10}^6\text{m}$.

Rozwiązanie: Siła przyciągania ciała o masie $m$ przez Ziemię, przy jej powierzchni, wynosi $F=mg$. Jest ona równa sile grawitacji wyrażonej wzorem (5.1), a zatem:

$mg=G\frac{mM}{R^2}$

( 5.3 )

Stąd po uproszczeniu masy i po przekształceniu otrzymamy:

$G=\frac{g{R}^2}{M}$

( 5.4 )

Masa Ziemi, zgodnie ze wzorem (5.2), wynosi $M=V\rho$. Przyjmując, że Ziemia ma kształt kuli (czyli jej objętość wynosi $V=\frac{4\pi R^3}{3}$), otrzymamy, że masa Ziemi jest równa $M=\frac{4\pi R^3}{3}\rho$. Tak więc:

$G=\frac{g{R}^3}{\frac{4}{3}\pi R^3\rho }=\frac{3g}{4\pi \rho R}=\frac{3\cdot \mathrm{9,81}}{4\cdot \mathrm{3,14}\cdot \left(5\cdot 10^3\right)\cdot \left(\mathrm{6,37}\cdot 10^6\right)}\frac{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}{{\text{kg}}^2}=\mathrm{7,35}\cdot 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$

Taką wartość stałej grawitacji otrzymał Newton. Różni się ona od dzisiaj ogólnie przyjętej wartości:

$G=\mathrm{6,67}\cdot 10^{-11}\text{N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$

o około 10%.

Pytania i problemy

1. Na podstawie jakich obliczeń Newton doszedł do wniosku, że siła grawitacji maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między dwoma ciałami?
2. Podaj wzór prawa powszechnego ciążenia i przytocz to prawo.
3. Przedstaw przyspieszenie ziemskie $g$ za pomocą wzoru zawierającego stałą grawitacji $G$, masę Ziemi $M$ oraz promień Ziemi $R$.
4. Mając do dyspozycji dane: $g$ – przyspieszenie ziemskie, $G$ – stałą grawitacji oraz $R$ – promień Ziemi, wyprowadź wzór na $\rho$ – średnią gęstość Ziemi. Przyjmij, że Ziemia jest jednorodną kulą.