5.7. Praca w polu grawitacyjnym

W rozdziale 3.2. Energia potencjalna wyznaczaliśmy pracę w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi – w polu jednorodnym – i otrzymaliśmy wzór: $W=mgh$ . Obecnie wyznaczymy pracę przemieszczenia ciała w dowolnej odległości od Ziemi oraz w polu grawitacyjnym innych kulistych ciał niebieskich.

Ile wynosi praca siły zewnętrznej $\vec{F}$ równej co do wartości sile grawitacji, lecz przeciwnie skierowanej, działającej na ciało próbne o masie $m$ w polu grawitacyjnym na drodze $s=r_{1}-r_{2}$ wzdłuż linii siły pola, jak na il. 5.22?

Ilustracja 5.22. **Siła zewnętrzna przesuwa ciało próbne wzdłuż linii siły pola grawitacyjnego**

Na drodze od punktu $1$ do $2$ siła $\vec{F}$ zmienia swoją wartość według wzoru: $F=GMm/r^{2}$ . Wiemy już, że na wykresie zależności siły od przesunięcia praca jest równa polu powierzchni pod linią siły (podrozdział 3.1. Praca). Praca jest równa zakolorowanemu polu na il. 5.23a. Zatem w celu wyznaczenia pracy należy obliczyć wartość powierzchni tego pola. Tu napotykamy na pewien problem – Jak obliczyć pole powierzchni takiej figury geometrycznej? Można obliczyć pole prostokąta równoważnego tej figurze. Długość podstawy tego prostokąta wynosi $r_{2} - r_{1}$ . Jego wysokość nie jest jednak równa średniej arytmetycznej sił $F_{1}$ i $F_{2}$ ; wynika to z faktu, że siła $F$ nie zmienia się liniowo wraz z odległością $r$ . Nie reprezentuje ona odpowiedniej średniej siły na tej drodze. Pole powierzchni prostokąta $E J K D$ (il. 5.23b) pod linią średniej arytmetycznej siły byłoby większe niż pole $A B C D E$ odpowiadające pracy wykonanej przez siłę $F$ .

Ilustracja 5.23. **Praca siły w polu grawitacyjnym**

a) pole powierzchni pod krzywą jest miarą pracy wykonanej przez siłę zewnętrzną na drodze od $r_{1}$ do $r_{2}$ , b) odpowiednia wartość $F_{\acute{s}r}$ zapewnia równość pól figur $A B G$ i $B H C$ , więc pole figury $A B C D E$ jest równe polu powierzchni prostokąta $E G H D$ ; pole to jest miarą pracy wykonanej przez siłę $F_{\acute{s}r}$ będącą średnią geometryczną sił $F_{1}$ i $F_{2}$

Okazuje się, że gdy siła jest proporcjonalna do odwrotności kwadratu odległości $F\sim\frac{1}{r^{2}}$ , to właściwą średnią siłą jest średnia geometryczna siły początkowej i końcowej. W matematyce przyjmuje się następującą definicję średniej geometrycznej $a_{\acute{s}r}$ dwóch liczb – $a_{1}$ i $a_{2}$ :

a_{\acute{s}r}=\sqrt{a_{1}a_{2}}

( 5.33 )

Pełne uzasadnienie tego związku wymaga zastosowania rachunku całkowego.

W związku z tym w w naszym przypadku średnia geometryczna sił $F_{1}$ i $F_{2}$ wynosi:

F_{\acute{s}r}=\sqrt{F_{1}F_{2}}=\sqrt{G\frac{Mm}{r_{1}^{2}}G\frac{Mm}{r_{2}^{2}}}=G\frac{Mm}{r_{1}r_{2}}

( 5.34 )

Pole prostokąta (pod linią tej średniej siły) $E G H D$ na il. 5.23b jest równe polu pod krzywą siły $F$ $(E A C D)$ .

Zatem praca siły zewnętrznej przesunięcia masy próbnej $m$ w polu grawitacyjnym pochodzącym od ciała kulistego o masie $M$ wyrazi się wzorem $W_{12}=F_{\acute{s}r}\left(r_{2}-r_{1}\right)$ i po podstawieniu (5.34) otrzymamy:

W_{12}=G\frac{Mm}{r_{1}r_{2}}\left(r_{2}-r_{1}\right)

Po rozbiciu tego wzoru na dwa składniki i po uproszczeniu otrzymujemy ostatecznie ładny, symetryczny wzór:

W_{12}=G\frac{Mm}{r_{1}}-G\frac{Mm}{r_{2}}

( 5.35 )

Ilustracja 5.24. **Praca przemieszczenia ciała po drodze krzywoliniowej w polu grawitacyjnym**

Obliczmy teraz pracę przesunięcia ciała próbnego o masie $m$ w polu grawitacyjnym wzdłuż dowolnej drogi krzywoliniowej – il. 5.24. Całą drogę podzielimy na małe odcinki $\Delta s$ , tak małe, aby można było je traktować jako odcinki proste. Elementarna praca na pojedynczym odcinku drogi jest równa:

\Delta W=F\Delta s\cos\alpha=F\Delta r

( 5.36 )

gdyż, jak pokazano na il. 5.24, $\Delta s\cos\alpha=\Delta r$ .

Widzimy, że ta elementarna praca jest równa elementarnej pracy wzdłuż linii siły pola grawitacyjnego i nie zależy od kąta nachylenia elementu drogi do linii siły. Cała praca będzie równać się sumie prac $\Delta W$ (z dowolnie małym błędem zależnym od długości odcinków, na które podzieliliśmy całą drogę) wzdłuż jednej linii siły pola.

Trzeba zatem stwierdzić, że praca siły zewnętrznej w polu grawitacyjnym nie zależy od kształtu toru, po którym porusza się ciało, a zależy tylko od położenia punktów końcowych toru.

Pytania i problemy

Wyjaśnij, dlaczego zastosowanie średniej arytmetycznej siły grawitacji na odcinku drogi od $r_{1}$ do $r_{2}$ nie prowadzi do prawdziwej wartości pracy pola grawitacyjnego. Jaką średnią należy zastosować w tym przypadku?
Przewożono dwie jednakowe skrzynie z parteru domu handlowego do sklepu położonego na pierwszym piętrze. Jedną skrzynię przewożono windą, a drugą – ruchomymi schodami. Czy wykonana praca przemieszczenia skrzyń (abstrahując od czynników ubocznych) w obu przypadkach jest taka sama, czy różna? Odpowiedź uzasadnij.
Oblicz pracę potrzebną do przemieszczenia ruchem jednostajnym ciała o masie $m=1\, kg$ z powierzchni Ziemi na wysokość $h=2R$ nad nią. Przyjmij, że promień Ziemi wynosi $R=6,4\cdot10^{6}\, m$ , a przyspieszenie ziemskie na powierzchni Ziemi wynosi $g=9,81\, m/s^{2}$ .