4.2. Moment bezwładności i energia kinetyczna

Wyprowadzimy wzór na energię kinetyczną bryły obracającej się z prędkością kątową $\omega$ . W tym celu najpierw rozważymy tylko dwa małe elementy bryły o masach $m_{1}$ i $m_{2}$ , jak na il. 4.5.

Ilustracja 4.5. **Dwie małe kulki umieszczone na lekkim pręcie obracającym się względem osi prostopadłej, przechodzącej przez jego koniec**

Prędkości liniowe obu elementów wyrazimy za pomocą wspólnej prędkości kątowej:

v_{1}=\omega r_{1} \qquad oraz \qquad v_{2}=\omega r_{2}

( 4.1 )

Zatem energię kinetyczną tych elementów bryły wyrazimy następująco:

E_{k1}=\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}=\frac{m_{1}r_{1}^{2}\omega^{2}}{2}\qquad oraz\qquad E_{k2}=\frac{m_{2}v_{2}^{2}}{2}=\frac{m_{2}r_{2}^{2}\omega^{2}}{2}

( 4.2 )

Energia kinetyczna $E_{k}$ bryły składającej się z tych dwóch elementów jest równa:

E_{k}=E_{k1}+E_{k2}=\frac{\left(m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}\right)\omega^{2}}{2}

( 4.3 )

Wielkość fizyczną w nawiasach nazywamy momentem bezwładności układu dwóch punktów materialnych i oznaczamy przez $I$ :

I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}

( 4.4 )

Korzystając z tego pojęcia, energię kinetyczną układu możemy wyrazić za pomocą wzoru:

E_{k}=\frac{I\omega^{2}}{2}

( 4.5 )

Ostatnie dwa wzory uogólnimy – zastosujemy je do całej bryły sztywnej. Podzielimy całą bryłę na dostatecznie dużą liczbę elementów: $n$ małych elementów o masach $\Delta m_{i}$ odległych od osi obrotu o $r_{i}$ (il. 4.6). Te elementy można traktować jako punkty materialne. Zatem moment bezwładności bryły składającej z układu $n$ punktów materialnych po uogólnieniu definicji (4.4) przyjmie postać sumy (nie dwóch, ale) wszystkich $n$ wyrazów: $\Delta m_{i}r_{i}^{2}$ .

Moment bezwładności bryły sztywnej

I=m_{1}r_{1}^{2}+m_{2}r_{2}^{2}+...+m_{i}r_{i}^{2}+m_{n}r_{n}^{2}

( 4.6 )

gdzie cała bryła została podzielona na dużą liczbę elementów: $n$ małych elementów o masach $\Delta m_{i}$ odległych od osi obrotu odpowiednio o $r_{i}$ .

Jednostka momentu bezwładności to kilogram razy metr do kwadratu, $\left[I\right]=kg\cdot m^{2}$ .

Ilustracja 4.6. **Podział całej bryły na małe elementy o masach $\Delta m_{i}$ , które są odległe od osi obrotu odpowiednio o $r_{i}$**

Energia kinetyczna bryły sztywnej

Pokażemy, że wzór na energię kinetyczną bryły sztywnej jest identyczny ze wzorem (4.5). Każdy element ma prędkość:

v_{i}=r_{i}\omega

( 4.7 )

i energię kinetyczną:

E_{i}=\frac{\Delta m_{i}v_{i}^{2}}{2}=\frac{\Delta m_{i}\left(r_{i}\omega\right)^{2}}{2}=\frac{\Delta m_{i}r_{i}^{2}\omega^{2}}{2}=\Delta m_{i}r_{i}^{2}\frac{\omega^{2}}{2}

( 4.8 )

Zatem całkowita energia kinetyczna bryły składającej z układu $n$ elementów przyjmie postać sumy:

E_{k}=E_{1}+E_{2}+...+E_{n}=\Delta m_{1}r_{1}^{2}\frac{\omega^{2}}{2}+\Delta m_{2}r_{2}^{2}\frac{\omega^{2}}{2}+...+\Delta m_{n}r_{n}^{2}\frac{\omega^{2}}{2}=\left(\Delta m_{1}r_{1}^{2}+\Delta m_{2}r_{2}^{2}+...+\Delta m_{n}r_{n}^{2}\right)\frac{\omega^{2}}{2}

Zgodnie z definicją (4.6):

E_{k}=\left(\Delta m_{1}r_{1}^{2}+\Delta m_{2}r_{2}^{2}+...+\Delta m_{n}r_{n}^{2}\right)\frac{\omega^{2}}{2}

( 4.9 )

Przykład 1

Znajdź wzór na moment bezwładności $I$ jednorodnego pręta względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jeden z jego końców (il. 4.8).

Rozwiązanie: Podzielimy cały pręt na $n$ małych fragmentów o długości $\Delta x$ i odpowiednio o masie $\Delta m$ każdy. Moment bezwładności pręta $I$ (mającego masę $m=n\,\Delta m$ i długość $l=n\,\Delta x$ ) względem osi przechodzącej przez jego koniec wyrazimy w postaci sumy momentów bezwładności tych małych fragmentów (które uznamy za punkty materialne). Zatem:

I=\Delta mr_{1}^{2}+\Delta mr_{2}^{2}+...+\Delta mr_{i}^{2}+...+\Delta mr_{n}^{2}

( 4.10 )

Po przekształceniach:

I=\Delta\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+...+r_{i}^{2}+...+r_{n}^{2}\right)

( 4.11 )

Ilustracja 4.9. **Podział pręta na małe fragmenty $\Delta x$**

Ponieważ $r_{i}=i\Delta x$ , więc:

I=\Delta m\left[\Delta x^{2}+\left(2\Delta x\right)^{2}+...+\left(i\Delta x\right)^{2}+...+\left(n\Delta x\right)^{2}\right]=\Delta m\,\Delta x^{2}\left(1+2^{2}+...+n^{2}\right)

( 4.12 )

Występuje tu suma kwadratów liczb naturalnych, która, jak wiadomo, wyraża się wzorem:

1+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}

( 4.13 )

Nasze obliczenia momentu bezwładności będą tym dokładniejsze, im większą liczbę $n$ fragmentów przyjmiemy. Dla dużej liczby $n$ (np. $n=1000$ ) możemy zaniedbać jedynki w nawiasach wzoru (4.13). Otrzymamy wówczas:

1+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n^{3}}{3}

( 4.14 )

Po wstawieniu tego wyniku do wzoru (4.13) otrzymamy:

I=\Delta m\Delta x^{2}\left(1+2^{2}+...+n^{2}\right)=\Delta m\Delta x^{2}\frac{n^{3}}{3}

( 4.15 )

Wzór ten przedstawimy w postaci:

I=n\Delta m\frac{\Delta x^{2}n^{2}}{3}=m\frac{\left(n\Delta x\right)^{2}}{3}=m\frac{l^{2}}{3}

( 4.16 )

Zatem $I$ – moment bezwładności pręta względem osi przechodzącej przez jeden z jego końców – wyraża się wzorem:

I=m\frac{l^{2}}{3}

( 4.17 )

Pytania i problemy

Podaj definicję momentu bezwładności bryły. W jakich jednostkach go wyrażamy?
Podaj wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły sztywnej.
W wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku $a$ umieszczono małe kulki o jednakowych masach $m$ . Oblicz moment bezwładności kulek względem osi będącej przedłużeniem jednej wysokości trójkąta.
Znajdź wzór na moment bezwładności jednorodnego pierścienia cienkościennego względem osi przechodzącej przez jego środek (il. 4.10a). Pierścień ma masę $m_{p}$ i promień $R$ .

Ilustracja 4.10. a) Pierścień cienkościenny o promieniu $R$ , b) ten sam pierścień podzielony na małe elementy
Koło zamachowe o promieniu 25 cm i masie 10 kg obraca się z częstotliwością $v=1200\, min^{-1}$ . Przyjmując, że cała masa koła skupiona jest na jego obwodzie, oblicz jego energię kinetyczną.